- •Кинематика материальной точки
- •1. Механическое движение.
- •Скорость
- •Сравнение выражений (1.9) и (1.10) приводит к соотношениям
- •В математике выражение вида
- •Ускорение
- •Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что
- •Лекция 2 кинематика вращательного движения
- •Движение по криволинейной траектории
- •Поступательное движение твердого тела
- •Продифференцировав соотношение (2.6) по времени, получим
- •Лекция 3 Динамика материальной точки Инерциальные системы отсчета. Закон инерции.
- •Сила и масса.
- •Второй закон Ньютона
- •Единицы и размерности физических величин.
- •Третий закон Ньютона
- •Сила тяжести и вес
- •Упругие силы.
- •Силы трения.
- •Лекция 4 Сохраняющиеся величины.
- •Закон сохранения импульса
- •Энергия и работа.
- •Кинетическая энергия и работа.
- •Лекция 5 Консервативные силы
- •Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле
- •Лекция 6 Потенциальная энергия взаимодействия
- •В случае гравитационного притяжения частиц
- •Нетрудно убедится в том, что в этом случае
- •В этой сумме имеется n(n-1) слагаемых (каждая из n частиц взаимодействует с n-1 частицей).
- •Закон сохранения энергии
- •Где определяется формулой (3.30).
- •Соударения тел
- •Лекция 7 Момент силы
- •Закон сохранения момента импульса
- •Плоское движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Возведение в квадрат дает
- •Лекция 9 Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Возведение в квадрат дает
- •Лекция 10 Механические колебания Колебательное движение, общие сведения о колебаниях
- •Малые колебания
- •Гармонические колебания
- •Введя обозначения
- •Затухающие колебания.
- •Применив обозначения
- •Маятник
- •2.5. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
- •Лекция 11 Упругие волны Распространение волн в упругой среде
- •Уравнения плоской и сферической волн
- •Волновое уравнение
- •Стоячие волны
Момент инерции
Из определения момента инерции
I= (8.8)
следует, что эта величина аддитивна. Это означает, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.
Поэтому суммирование в выражении для момента инерции должно быть заменено интегрированием:
I=. (8.9)
С учетом dm=dV, получим формулу
I= (8.10)
где - плотность тела в точке, в которой взят объем dV, R – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.
Если тело однородно, плотность во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла:
I= (8.11)
Вычисление интеграла (8.11), а тем более интеграла (8.10) представляет собой сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел. В качестве примера найдем момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси ОО (рис. 8.5). Разобьем цилиндр на слои радиуса R и толщины dR. Масса такого слоя равна dm=dV=2RhdR (dV – объем слоя). Все точки слоя отстоят от оси ОО на одинаковое расстояние R. Поэтому вклад слоя в момент инерции равен
dI=R2dV=R22Rh dR=2hR3dR.
Проинтегрировав это выражение по R в пределах от 0 до r (r – радиус цилиндра), получим искомый момент инерции:
I=2h2hhr2r2=mr2 (8.12)
(m=hr2 – масса цилиндра). Отметим, что полученное выражение не зависит от высоты цилиндра h. Следовательно, формула (8.12) определяет и момент инерции тонкого диска относительно перпендикулярной к нему проходящей через его центр оси.
Рассмотрим произвольное тело и две параллельные друг другу оси, одна из которых (ось С) проходит через центр масс тела, а другая (ось О) отстоит от первой на расстоянии а (рис. 8.6). Выберем оси координат x, y и xI, yI так, как показано на рисунке.
Момент инерции I относительно оси О определяется выражением
I=
Разобьем это выражение на три суммы:
I=
Первая сумма представляет собой момент инерции Ic относительно оси, проходящей через центр масс. Сумма дает массу телаm. Наконец, =xcm, где xс – координата центра масс, которая при сделанном выборе начала координат равна нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению
I=Ic+ma2. (8.13)
Это соотношение выражаеттеорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Теорема Штейнера сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно перпендикулярной к нему оси ОО, проходящей через его конец (рис.8.7). Заметим, что стержень можно считать тонким. Если максимальный поперечный размер его много меньше длины l. В соответствии с формулой (8.9)
I= (8.14)
С помощью теоремы Штейнера можно найти момент инерции Ic стержня относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр. Согласно (8.13)
I=Ic+m(
Откуда
Ic=ml2. (8.15)
Наконец приведем без вывода значение момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
I=mr2 (8.16)
(m – масса, а r – радиус шара).