8 Закон больших чисел

Закон больших чисел представляет собой наиболее общий принцип, в результате которого количественные закономерности, присущие массовым случайным явлениям, отчетливо проявляются при достаточно большом числе наблюдений.

Лемма Чебышева. Если все значения случайной величины Х неотрицательны, то вероятность того, что случайная величина Х будет не меньше некоторого числаt> 0 не больше, чем.

. (8.1)

Неравенство Чебышева.Вероятность того, что абсолютное отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания меньше некоторого числа ε > 0, не меньше чем.

. (8.2)

Теорема Чебышева.Если попарно – независимые случайные величины имеют конечные математические ожидания, дисперсии каждой из случайной величины не превосходят постоянного числа С, то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Если, то

. (8.3)

Воспользовавшись неравенством Чебышева, получаем

. (8.4)

1. Цена акций коммерческой фирмы, реализуемых на фондовом рынке, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 6 тыс. руб. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки цена акций превысит 10 тыс. руб.

2. Количество электроэнергии, потребляемой поселком в течении суток, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 4 тыс. кВт.- ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление энергии: а) превысит 8 тыс. кВт.- ч.; б) не превысит 6 тыс. кВт.- ч.

3. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 5000 семян число взошедших окажется от 3750 до 4250, если известно, что М(Х) = 4000. Определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

4. Вероятность вызревания семян овощной культуры в данной местности составляет 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 растений, число растений с вызревшими семенами составит от 750 до 850. Определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

5. В организации имеется 100 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение определенного времени составляет 0,9. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что: а) отклонение числа безотказно работавших автомобилей за определенный период времени от его математического ожидания не превзойдет по модулю 5; б) отклонение доли безотказно работающих автомобилей от постоянной вероятности 0,9 по модулю будет меньше 0,06.

6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	2	3	6	9
р	0,1	0,4	0,3	0,2

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

>3.

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-1	0	1	3	5
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

< 2,5.

9. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

а) С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того,

что . б) Определить вероятность того, что.

10. Случайная величина задана интегральной функцией:

а) С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что

< . б) Определить вероятность того, что<.

11. Случайная величина задана интегральной функцией

а) используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

<а; б) определить вероятность того, что <а.

12. Выборочным способом определяют вес колосьев ячменя. Сколько необходимо отобрать колосьев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,99, можно было утверждать, что средний вес случайно отобранных колосьев будет отличаться от среднего веса колосьев во всей партии (принимаемого за математическое ожидание) не более чем на 0,1 г? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса не превышает 0,2 г.

13. Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц со специальным образованием, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты лиц со специальным образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не превышало по модулю 0,04.

9. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Многомерной случайной величиной называют совокупность случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Она задается несколькими числами, рассматриваемыми совместно.

Многомерные случайные величины могут быть дискретными, непрерывными и смешанными.

Двумерная дискретная случайная величина (X, У) задается таблицей распределения, как совокупность пар значений (Х = х_i, У = у_j) и соответствующих им вероятностей,.

, ,,

. (9.1)

Условные вероятности инаходятся по формулам:

. (9.2)

Многомерные случайные величины задаются функциями распределения.

, (9.3)

, ,

(9.4)

, (9.5)

Для характеристики двумерной случайной величины используют математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения составляющих Х и У, а также корреляционный момент (ковариацию) cov(x,y) и коэффициент корреляции (r)

. (9.10)

Для дискретных случайных величин Х, У:

.(9.11)

Для непрерывных случайных величин Х, У:

. (9.12)

Коэффициент корреляции случайных величин Х и У:

. (9.13)

1. В группе 8 мужчин и 5 женщин. Наугад отбирается 2 человека из группы. Составить совместный закон распределения случайных величин (Х, У), где Х – случайная величина, отобран мужчина, У – отобрана женщина. Определить коэффициент корреляции между Х и У.

2. В первой группе 8 мужчин, из которых 5 занимаются спортом, во второй 6 женщин, из которых две занимаются спортом. Из каждой группы случайно отобрано по одному человеку. Составить совместное распределение случайных величин (Х, У), где Х – отобранный из первой группы мужчина занимается спортом, У – отобранная из второй группы женщина занимается спортом. Зависимы ли случайные величины Х и У?

3. Задана двумерная дискретная случайная величина ХУ:

а) б)

У	Х					У		Х
	2	4			2			4
0	0,1	0,3			1		0,1		0,25
5	0,2	0,15			3		0,15		0,2
10	0,15	0,1			5		0,05		0,25

Определить:

а) законы распределения составляющих случайных величин;

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение составляющих Х и У;

в) условный закон распределения случайной величины У, если Х = 2;

г) условный закон распределения случайной величины Х, если У = 5.

4. Задана двумерная дискретная случайная величина ХУ:

а) б)

У	Х						У		Х
	0	5	20			-1			0	1
0	0,15	0,2	0,10			1		0,1		0,15	0,1
10	0,10	0,3	0,15			3		0,05		0,4	0,2

Определить:

а) законы распределения составляющих;

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение составляющих случайных величин Х и У;

5. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Определить:

а) двумерную плотность вероятностей системы (Х, У);

б) вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник,

ограниченный прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = 3.

6. Найти вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 3, у = 5, если известна функция распределения:

7. Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы (Х, У).

8. Имеется распределение хозяйств по дозам внесения удобрений и урожайности озимой пшеницы:

Доза удобрений на 1 га, ц д.в.	Урожайность, ц с 1 га
	до 30	30-35	35-40	Свыше 40
до 1	18	а	5	-
1-2	а	15	20	10
свыше 2	-	а	12	20

Найти безусловные и условные законы распределения случайных величин урожайности (Х) и доз внесения удобрений (У), (а – число по указанию преподавателя).

9. Система случайных величин (Х, У) подчинена закону распределения с плотностью в квадратеи

вне квадрата.

Определить: а) коэффициент а; б) М(Х), М(У); в) Д(Х), Д(У).

10. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной

случайной величины в квадратеивне квадрата. Доказать, что составляющие Х и У независимы.

11. Непрерывная двумерная случайная величина (Х,У) распределена равномерно внутри треугольника с вершинами О (0,0), А (0,6) и В (6,0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности составляющих систем.

12. Система случайных величин (Х,У) распределена равномерно внутри квадрата со стороной а, диагонали которого совпадают с осями координат. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности составляющих системы.

13. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной

случайной величины (Х,У):

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

14. Система случайных величин (Х,У) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми х=0, у=0, х+у=а (а>0). Определить: а) математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и У, б) корреляционный момент.

15. Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной случайной величины (Х,У):

Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.

16. Доказать, что если Х и У связаны линейной зависимостью, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1.