15 Корреляционно-регрессионный анализ

Корреляционно-регрессионный анализ – это совокупность статистических и математических методов, позволяющих оценить степень зависимости между результативными и факторными признаками, а также найти аналитическое выражение зависимости.

Корреляционно-регрессионный анализ проводится в следующей последовательности.

1. Исходя из целей и задач исследования зависимости устанавливается результативный (У) признак и факторные (Х_i) признаки.

2. По совокупности объектов определяются значения результативного и факторных признаков.

3. Обосновывается, обычно графическим методом, модель в виде уравнения регрессии.

4. Методом наименьших квадратов рассчитываются параметры уравнения регрессии.

5. Определяется теснота связи между изучаемыми признаками.

6. Оценивается значимость уравнения связи, его параметров и показателей тесноты связи.

При изучении влияния одного фактора Х на изменение результативного признака У линейное уравнение регрессии имеет вид: у=а + bx.

Его параметры находятся методом наименьших квадратов путем составления и решения следующей системы уравнений:

или (15.1)

В линейном уравнении регрессии b коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результативный признак Х при увеличении факторного признака У на единицу.

При линейной зависимости для оценки тесноты связи между признаками используется коэффициент корреляции:

(15.2)

Статистическая гипотеза Н₀ : r = 0, Н₁: r0 при уровне значимости проверяется с использованием критерия Стьюдента:

. (15.3)

Критическое значение t находится по таблице t – Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы k = n -2 для двусторонней критической области. Если , то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Еслито нулевая гипотеза принимается и влияние фактора Х на У статистически не значимо.

D = r² 100% коэффициент детерминации, показывает какая часть общей колеблемости результативного признака объясняется влиянием факторного признака.

Э= коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится результативный признак У, при изменении факторного признака Х на 1 %.

Теснота связи, в случае нелинейной зависимости, выраженной уравнением регрессии , определяется с помощью индекса (коэффициента) корреляцииR:

_(15.4)

Значимость индекса корреляции определяется с помощью критерия F – Фишера – Снедекора при уровне значимости с к₁ = m – числом степеней свободы числителя и к₂ = (n-m-1) – числом степеней свободы знаменателя

, (15.5)

где m – число параметров уравнения регрессии, n – число наблюдений. Если F_н < F_кр, то гипотеза о том, что R не является статистически значимым отклоняется (Н₀:R=0, H₁:R0).

Коэффициент эластичности в общем виде определяется по формуле:

. (15.6)

В зависимости от числа признаков, между которыми изучается связь, различают парную и множественную связь. Если изучается связь между результативным признаком, двумя и более факторными признаками, то она называется множественной связью.

1 На основании имеющихся данных определить параметры линейного уравнения регрессии между уровнем кормления и продуктивностью коров, рассчитать коэффициенты корреляции и детерминации. Оценить существенность величины коэффициентов корреляции и регрессии при уровне значимости 0,05.

Таблица 24 – Уровень кормления и продуктивность коров

№ п/п	Удой молока на фуражную корову, ц	Расход кормов на фуражную корову, ц корм. ед.
1	31,2	33,6
2	44,3	39,7
3	54,5	50,2
4	34,8	36,1
5	46,9	41,2
6	37,2	39,0
7	50,0	45,6
8	34,2	37,4
9	35,0	38,4
10	38,0	40,2
11	53,8	55,7

2 По первым 30 предприятиям, взятых из приложения 4: а) построить график зависимости между двумя признаками, определив какой из них будет результативным, а какой факторным; б) установить аналитическое выражение зависимости между признаками; в) определить методом наименьших квадратов параметры уравнения регрессии; г) оценить тесноту связи между признаками; д) при уровне значимости дать оценку значимости уравнения регрессии и показателей тесноты связи.

Зависимость изучить по следующим парам признаков:

1) площадь сельскохозяйственных угодий и валовая продукция сельского хозяйства;

2) площадь сельскохозяйственных угодий и реализованная продукция;

3) среднегодовая стоимость основных фондов и валовая продукция;

4) среднегодовая стоимость основных фондов и реализованная продукция;

5) затраты по оплате труда и валовая продукция;

6) материальные затраты и валовая продукция;

7) затраты по оплате труда и реализованная продукция;

8) энергетические мощности и валовая продукция;

9) среднегодовая численность работников предприятия и валовая продукция сельского хозяйства;

10) среднегодовая численность работников и реализованная продукция;

11) энергетические мощности и реализованная продукция;

12) затраты на производство и валовая продукция сельского хозяйства;

13) затраты на реализованную продукцию и стоимость реализованной продукции;

14) затраты на производство на 100 га сельскохозяйственных угодий и валовая продукция на 100 га сельскохозяйственных угодий;

15) затраты по оплате труда на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

16) затраты на реализованную продукцию на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

17) среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

18) среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

19) затраты по оплате труда на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий.

20) затраты по оплате труда на среднегодового работник и валовая продукция на среднегодового работника;

21) энергетические мощности на среднегодового работника и реализованная продукция на работника;

22) энергетические мощности на среднегодового работника и валовая продукция на среднегодового работника;

23) энергетические мощности на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

24) энергетические мощности на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

25) затраты по оплате труда на среднегодового работника и реализованная продукция на среднегодового работника;

26) среднегодовая стоимость основных фондов на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

27) среднегодовая стоимость основных фондов на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

28) среднегодовая стоимость основных фондов на работника и валовая продукция на работника;

29) среднегодовая стоимость основных фондов на работника и реализованная продукция на работника;

30) материальные затраты на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий.

3 По совокупности 69 сельскохозяйственных предприятий Краснодарского края за 2007 год изучаются зависимости между результатами производства и влияющими на них факторами. Предварительные результаты по каждому признаку представлены в приложении 5, а парные коэффициенты корреляции в приложении 6.

По одному варианту заданий определить:

- линейные уравнения парной регрессии между результативными и факторными признаками;

- значимость парных уравнений регрессии, коэффициентов регрессии и корреляции;

- уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе;

- коэффициенты эластичности;

- множественные коэффициенты корреляции и детерминации;

- частные коэффициенты корреляции.

Оценить статистическую значимость уравнения множественной регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Варианты заданий: 1) у₁; х₁; х₂; 2) у₁;х₁; х₃; 3) у₁; х₁; х₄; 4) у₁; х₁; х₅; 5) у₁; х₂; х₃; 6) у₁; х₂; х₄; 7) у₁; х₂; х₆; 8) у₂; х₇; х₈; 9) у₂; х₇; х₉; 10) у₂; х₈; х₉; 11) у₂; х₈; х₁₀; 12) у₂; х₉; х₁₀; 13) у₃; х₁; х₂; 14) у₃; х₁; х₃; 15) у₃; х₁; х₄; 16) у₃; х₁; х₅; 17) у₃; х₂; х₃; 18) у₃; х₂; х₄; 19) у₃; х₂; х₆; 20) у₁; х₃; х₆; 21) у₃; х₃; х₆; 22) у₁; х₄; х₅; 23) у₃; х₄; х₅; 24) у₁; х₄; х₆; 25) у₃; х₄; х₆; 26) у₁; х₅; х₆; 27) у₃; х₅; х₆.

4Рейтинг 9 банков был оценен тремя экспертами. С помощью коэффициента ранговой корреляции найти пары экспертов, оценки которых наиболее близко соответствует друг другу. Оценить значимость различий в оценке рейтинга банков экспертами.

Таблица 25 - Рейтинг банков (номер предпочтительности)

Эксперт	Номер банка
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3	2	1	4	5	6	7	8	9
2	2	3	1	4	7	9	8	5	6
3	1	2	5	3	4	6	9	7	8