Определить: а) интегральную функцию случайной величины х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (-).

22. Случайная величина Х распределена по закону Релея

Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2), при а = 1; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

23. Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, имеет вид:

Определить: а) размер годового дохода, который для случайно взятого

лица будет превышен с вероятностью 0,8; б) дифференциальную

функцию случайной величины Х; в) математическое ожидание

случайной величины Х, при .

24. Случайная величина Х распределена по закону прямоугольного треугольника (рис. 1) в интервале (0; а). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероят-

ность попадания случайной величины

в интервал (); г) математическое

ожидание, дисперсию и среднее квад-

ратическое отклонение случайной

величины Х.

0 а х

Рисунок 1.

25. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») (Рис. 2) на интервале (-а; а). Найти: а) дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины Х;

f(x)

б) интегральную функцию и построить ее график; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Рисунок 2.

7 Функции случайных величин

а) Функция одного случайного аргумента.

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины У, то У называют функцией случайного аргумента Х. У = φ(Х).

Пусть аргумент Х дискретная случайная величина. Тогда случайная величина У = φ(Х) также дискретная случайная величина.

Если аргумент Х принимает значение х_iс вероятностью Р_xi, то случайная величина У принимает значениес той же вероятностью.

Пусть аргумент Х – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x). Если у = φ(х) – дифференцируемая, строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = ψ(y), то плотность распределенияg(у) случайной величины У находится:

. (7.1)

Если функция У = φ(Х) в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция φ(х) монотонна, и найти плотности распределения g_i(у) для каждого из интервалов монотонности, а затем представитьg(у) в виде суммы:

. (7/2)

Например, если функция φ(х) монотонна на двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции ито

. (7.3)

б) Функция двух случайных аргументов.

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, тоZназывают функцией двух случайных аргументов Х и У.

. (7/4)

Если Х и У – дискретные независимые случайные величины, то для того чтобы найти распределение функции Z=X+Yнадо найти все возможные значенияи их вероятности.

Если Х и У – непрерывные случайные величины , то плотность распределения g(z) суммыZ=X+Y, при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (- ∞; ∞), находится по формуле:

, или , (7.5)

где f₁иf₂– плотности распределения аргументов Х и У.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величиныZ=X+Yнаходят по формуле:

, или . (7.6)

Если Х и У – независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения и, то вероятность попадания случайной точки (Х, У) в областьSравна:

. (7.7)

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х	0	1	4
р	0,3	0,5	0,2

Найти закон распределения случайной величины У, где: а) У=2Х-1;

б) У=Х+5; в) У=Х²-2; г) У=. Определить М(У).

2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-2	-1	0	1
р	0,2	0,4	0,1	0,3

Найти закон распределения случайной величины У, где: а) У=2Х+1; б)У=Х³-1; в) У=Х²; г) У=. Определить М(У).

3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	2	4	5
р	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины У, если: а) У=4Х-4; б) У=Х².

4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х
р	0,2	0,7	0,1

Найти: а) закон распределения случайной величины У=sin² X; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины У.

4. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2;10). Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) Y= 0,5X– 1; б)Y=X²; в). Определить М(У), Д(У), σ(У).

5. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале ( -;). Найти дифференциальную функцию случайной величины:

а) Y=sinX; б) У=cosX.

4. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = 2, =1. Найти дифференциальную функцию случайной величины:

а) У=2Х+6; б) У=Х³.

4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией

Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) ; б).

4. Сторона квадрата Х имеет равномерное распределение на отрезке [1;2]. Найти плотность вероятности площади квадрата.

5. Случайная величина Х распределена по закону Коши:

.

Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) У=Х³;

б) У=3Х.

4. Независимые случайные величины Х и У распределены равномерно. Случайная величина Х распределена в интервале (0; 2), а случайная величина У в интервале (0; 10). Найти интегральную и дифференциальную функции случайной величины Z=X+У. Построить графики интегральной и дифференциальной функций случайной величиныZ.

5. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-4; 1), а случайная величина У равномерно распределена в интервале (1; 6). Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У и начертить ее график.

6. Независимые случайные величины Х и У заданы дифференциальными функциями:

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У.

4. Независимые случайные величины Х и У распределены по нормальному закону:

, .

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У. Показать, что случайная величинаZраспределяется по нормальному закону.

4. Натуральный логарифм некоторой случайной величины Х распределен по нормальному закону с центром рассеивания и средним квадратическим отклонением. Найти плотность распределения случайной величины Х.