Metody_optimizatsii_Shatina_A_V

61

координат, изменения матрицы A, изменения знака целевой функции f ( x) . Например, задача (зн) сводится к задаче (зк) путем

введения дополнительных координат x = ( xn+1,..., xn+m ) :

(c, x) ® max; Ax + Ix = b, x ³ 0, x ³ 0 ,

где I – единичная матрица размера m × m.

Более подробно рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме. Множество допустимых точек

и представляет собой выпуклый многогранник в пространстве

Rn .

Определение. Точка d выпуклого множества D называется

У многогранников крайними точками являются вершины. Поэтому, если существует экстремум линейной функции, то он достигается в крайней точке выпуклого многогранника. Число крайних точек множества D , задаваемого в виде конечного числа линейных равенств и неравенств, конечно. Таким образом, для решения задачи линейного программирования (если оно существует) достаточно перебрать значение целевой функции

f ( x) = (c, x) во всех крайних точках множества D . Но нахождение всех этих крайних точек и перебор значений целевой функции в них – операция довольно трудоемкая.

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования позволяет, начиная с некоторой исходной точки, переходить к другой по направлению наибольшего возрастания функ- ции f ( x) = (c, x) .

Определение. Задача (зк) называется невырожденной, если

Пусть x = ( x1, ... , xm ,0, ... ,0), xi > 0, i = 1, ... ,m – крайняя точ-

62

A можно представить в виде A = ( Ab , An ) , где Ab – матрица, состоящая из первых m столбцов матрицы A.

Столбцы матрицы Ab линейно независимы, т.е. матрица Ab является невырожденной. Действительно, допустим противное,

что столбцы a1, ... ,am линейно зависимы. Тогда существует не-

чит Aλ = 0 для вектора

ка xt = x + tλ Dзк при малых t как больших нуля, так и меньших нуля. Это означает, что точка x не является крайней. Получили противоречие.

i= 1, ... , m , x Dзк .

3)Построить симплексную таблицу для начальной крайней точки. В таблице m + 4 строки и n + 4 столбца. В первом столбце,

начиная с 3-его по (m + 2) -ое место находятся базисные векторы

a1, ... , am , соответствующие положительным координатам начальной крайней точки x = ( x1, ... , xm ,0, ... ,0) . Во втором столбце на аналогичных местах стоят соответствующие координаты вектора c . Последний столбец заполняется при исследовании симплексной таблицы.

В первой строке, начиная с 4-го столбца, располагаются элементы c1, ... ,cn .

63

Во второй строке, начиная с 3-его столбца – векторы b, a1, ... , an . Под ними – разложения этих векторов по базису

j = 1, ... , m z j = c j .

64

г) В последнюю строку, начиная с 4-го столбца, заносится разность между элементами предпоследней строки и элементами первой строки:

= z − c i = zi − ci , i = 1, ... , n.

4) Исследовать симплексную таблицу.

а) Если D ³ 0 , то крайняя точка x является решением задачи, Smax = (cb , xb ) .

и x j £ 0 , то Smax = +∞ .

в) Пусть в строке D имеются отрицательные числа, а соот-

ti ставим соответственно в последнем столбце таблицы. Пусть ti0 = mini ti > 0. Тогда строка с номером i0 является разрешающей,

65

а разрешающим элементом симплексной таблицы является эле-

мент xi0 , j0 .

Далее необходимо из числа базисных векторов исключить вектор ai0 , и вместо него взять вектор a j0 . Значение целевой функции при этом возрастает на величину (− ti0 j0 ).

по новому базису.

Элементы таблицы x′ , не лежащие в разрешающем столбце

ij

и разрешающей строке, вычисляются по правилу прямоугольника:

Далее перейти к исследованию новой симплексной таблице, т.е. к пункту 4).

Симплекс-метод позволяет решать точно также и вырожденные задачи линейного программирования. Число положительных координат крайней точки в таких задачах меньше m, но число базисных векторов всегда равняется рангу матрицы A. Перейти от вырожденной задачи к невырожденной можно путем сколь угодно малого изменения начальных данных задачи. В вырожденных задачах возможны холостые шаги симплекс-метода, т.е. шаги, в результате которых значение целевой функции не изменяется. При этом теоретически возможно и зацикливание, т.е. бесконечное повторение холостых шагов. Для того чтобы избежать зацикливания, разработаны специальные алгоритмы – антициклины (см., например, Ф.П. Васильев «Методы оптимизации». М.: Факториал Пресс, 2002). На практике зацикливание происходит крайне редко, поэтому в данном курсе антициклины не рассмат-

66

риваются.

Пример 1. Решить задачу линейного программирования в канонической форме с заданной начальной крайней точкой x0 = (0;0;2;4) , используя симплекс-метод:

f ( x) = -x1 + 2x2 - x3 - x4 ® max;

- x1 + x2 + x3 = 2, x1 + x2 + x4 = 4, xi ³ 0, i = 1, ... ,4.

Решение: Данная задача задана в канонической форме, также задана начальная крайняя точка. Построим симплексную таблицу. Матрица системы ограничений имеет вид:

Базисная матрица задачи состоит из третьего и четвертого столбцов матрицы A, соответствующих положительным координатам начальной крайней точки:

Так как базисная матрица в данной задаче является единич-

В последней строке таблицы содержится только один отрицательный элемент, соответствующий столбцу a2 . Поэтому этот

67

столбец будет разрешающим. Заполним соответствующие позиции последнего столбца и выберем минимальный положительный элемент. В данном случае этот минимальный элемент равен

2, он соответствует базисному вектору a3 . Строка, соответствующая a3 , является разрешающей, а вектор a3 в базисе следует за-

менить на a2 . Строим новую симплексную таблицу для нового базиса a2 , a4 .

Из таблицы видно, что разрешающим столбцом является столбец a1, содержащий только один положительный элемент, соответствующий a4 . Поэтому разрешающей строкой является строка, соответствующая a4 . Столбец a4 в базисе заменяем на столбец a1 и для нового базиса строим симплексную таблицу.

Пример 2. Решить задачу линейного программирования в канонической форме с заданной начальной крайней точкой

Далее находим разложения векторов a1,a4 по базису a2 , a3, a5 :

Разложением вектора b является вектор (1;2;1) ненулевых координат крайней точки. Составим симплексную таблицу:

В последней строке имеются два отрицательных числа. Меньшее из них соответствует столбцу a1. Этот столбец будет разрешающим. В столбце a1 имеется один положительный элемент, соответствующий a5 , поэтому строка a5 будет разрешающей. Из числа базисных векторов исключаем вектор a5 и вместо

него вводим вектор a1. Строим симплексную таблицу для нового базиса:

Последняя строка новой таблицы содержит один отрица-

тельный элемент, соответствующий вектору a4 . В соответствующем столбце только одно число является положительным. Это

число соответствует вектору a2 . На следующем этапе из числа базисных векторов исключаем вектор a2 и вводим вместо него вектор a4 . Строим новую симплексную таблицу:

Метод искусственного базиса нахождения начальной крайней точки

Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме:

A = (aij )i=1, ... ,m

j=1, ... ,n – заданная матрица размера m × n. Будем считать,