Metody_optimizatsii_Shatina_A_V
.pdf121
1 |
2 |
|
2 |
|
n |
|
|
B( xn ) = ò (n |
- n(t -1))dt = n |
+ |
® +¥ |
||||
|
|
2 |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
при n → ∞. |
Для последовательности функций ~xn (t) = n
~ |
|
1 |
(- n)dt - |
n2 |
n2 |
|
|
|
|
|
||||
B( xn ) = ò |
|
2 |
= -n - 2 ® -¥ |
при n → ∞. |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
t2 + 3 |
|
|
|
|
|
||||
|
ˆ |
|
|
|
Ïlocextr з, Smax = +¥, Smin = -¥ |
|
||||||||
Ответ: |
x(t) = - |
|
4 |
|
. ● |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. |
π 2 |
|
|
|
|
|
- 4x cost)dt + x |
|
|
|
|
|
||
B( x) = |
|
2 |
- 4x |
2 |
2 |
æ |
π ö |
® extr |
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
ò (x |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Выпишем интегрант задачи и терминант задачи:
|
2 |
|
|
l = x |
2 |
æπ |
ö |
|
|
- 4x |
2 |
|
ç |
2 |
÷ |
||
L(t, x, x) = x |
|
- 4x cost , |
|
è |
ø. |
Необходимые условия локального экстремума: а) уравнение Эйлера
-dtd Lx + Lx = 0 Û - dtd (2x) - 8x - 4cost = 0 Û x + 4x = -2cost ; б) условия трансверсальности
Lx (0) = lx(0) 2x(0) = 0 x(0) = 0,
Lx (π2) = −lx(π2) 2x(π2) = −2x(π2) x(π 2) = −x(π 2) .
Общее решение дифференциального уравнения Эйлера складывается из общего решения соответствующего однородного
уравнения |
x + 4x = 0 |
и частного |
решения неоднородного: |
x = xoo + xч . |
|
|
|
Общее |
решение |
однородного |
уравнения имеет вид: |
xoo = C1 sin 2t + C2 cos 2t . Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде: xч = Acost + B sin t .
Значения постоянных A, B находятся непосредственной подстановкой функции xч в дифференциальное уравнение. Получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 6, B = 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x(t) = C1 sin 2t + C2 cos 2t + 6cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x(t) = 2C1 cos 2t - 2C2 sin 2t - 6sin t . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Постоянные C1,C2 найдем из условий трансверсальности: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = 0 Þ 2C1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(π 2) = -x(π 2) Þ - 2C1 - 6 = C2 . |
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда |
C1 = 0, C2 = -6, |
ˆ |
|
|
= 6(cost - cos 2t) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x(t) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Проведем исследование полученного решения. Для этого |
|||||||||||||||||||||||||||||
возьмем |
|
|
|
|
произвольную |
|
|
|
допустимую |
|
функцию |
||||||||||||||||||
ˆ |
+ h(t), h(t) ÎC |
1 |
([0;π 2]) |
|
и рассмотрим разность |
||||||||||||||||||||||||
x(t) = x(t) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x + h) - B(x) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
- 4( |
ˆ |
+ h) |
2 |
- 4( |
ˆ |
|
|
ù |
ˆ |
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
= ò |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ê(x + h) |
|
|
x |
|
|
x |
+ h) costúdt + (x(π 2) + h(π 2)) - |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
ë |
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
2 |
(π 2) = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
ˆ |
|
- |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ò (x |
|
4x |
|
4x cost)dt - x |
|
|
|
||||||||||||||
|
π 2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
2 |
(π 2) = |
||||
= |
ò |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
4h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2xh |
+ h |
|
|
− 8xh − |
|
− 4h cost)dt + 2x(π 2)h(π 2) + h |
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
- 4hcost)dt + |
||||||
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ˆ |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
- ò |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= 2xh |
|
0 |
2xhdt + ò |
|
(h |
|
- 8xh - 4h |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2xˆ(π2)h(π2) + h2 (π 2) =
=πò2 (- 2xˆ - 8xˆ - 4cost)hdt + πò2 (h2 - 4h2 )dt +
0 |
0 |
+(2xˆ(π2) + 2xˆ(π2))h(π 2) - 2xˆ(0)h(0) + h2 (π 2) .
Сучетом того, что функция xˆ(t) удовлетворяет уравнению Эйлера и условиям трансверсальности, получим:
ˆ |
ˆ |
π 2 |
2 |
- 4h |
2 |
]dt + h |
2 |
(π 2) |
"h(×) ÎC |
1 |
([0; |
π 2]) |
B(x + h) - B(x) = ò |
[h |
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Покажем, что xˆ(t) Ïlocextr з . Для этого рассмотрим две последовательности функций, сходящихся к тождественно нулевой
123
функции по норме пространства C1([0;π2]) . Действительно, для
последовательности функций |
h |
|
(t) |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
π 2 |
é |
|
|
|
4 |
|
ù |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1- 2π |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= ò |
ê- |
|
|
|
|
údt |
+ |
|
|
|
= |
|
< 0 |
|
||||||||||||
|
B(x |
+ hn ) - B(x) |
|
n |
2 |
|
n |
2 |
|
|
n |
2 |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ë |
|
|
|
û |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) = sin 4t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||||||
А для последовательности функций |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ˆ |
~ |
|
ˆ |
|
π 2 é16cos2 4t |
- |
4sin2 4t ù |
|
|
3π |
> 0 |
|||||||||||||||||||
B(x + hn )- B( |
x) |
= ò |
|
ê |
n |
2 |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
údt = |
n |
2 |
||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
0 |
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, x(t) locextr з . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Покажем, что Smax = +∞, Smin = −∞. Действительно, для по- |
||||||||||||||||||||||||||||||
следовательности функций xn (t) |
|
|
= n имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
B( xn ) |
= πò2 (- 4n2 - 4n cost)dt + n2 = (1- 2π )n2 - 4n ® -¥ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
при n → ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для последовательности функций xn (t) = nsin 4t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
~ |
|
π 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò (16n |
cos |
4t - 4n |
sin |
4t - 4nsin 4t cost)dt = |
|||||||||||||||||||||||||
B( xn ) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3πn2 - 16n ® +¥
= 15 при n → ∞.
Ответ: xˆ(t) = 6(cost − cos 2t) locextr з, Smax = +∞, Smin = −∞ .●
Пример 4.
B( x) = πò (x2 + x2 - 4x sin t)dt + 2x2 (0) + 2x(π ) - x2 (π ) ® extr
0 |
. |
Решение: Интегрант и терминант задачи имеют вид:
L = x2 + x2 - 4x sin t, l = 2x2 (0) + 2x(π ) - x2 (π ) . Выпишем необходимые условия локального экстремума:
124
а) уравнение Эйлера
- dtd Lx + Lx = 0 Û - dtd (2x) + 2x - 4sin t = 0 Û x - x = 2sin t ; б) условия трансверсальности
Lx (0) = lx(0) Û 2x(0) = 4x(0) Û x(0) = 2x(0) ,
Lx (π ) = -lx(π ) Û 2x(π ) = -2 + 2x(π ) Û x(π ) = x(π ) -1.
Общее решение уравнения Эйлера имеет вид: x(t) = C1cht + C2 sht + sin t .
Продифференцируем полученную функцию по t : x(t) = C1sht + C2cht + cost .
Постоянные C1,C2 найдем из условий трансверсальности: x(0) = 2x(0) Þ C2 +1 = 2C1 ;
x(π ) = x(π ) -1Þ C1shπ + C2chπ -1 = C1chπ + C2shπ -1. Решая систему линейных уравнений второго порядка относитель-
но C1,C2 , получим: |
x(t) |
= sht + cht + sin t = et |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
C |
= 1, C |
2 |
= 1, |
+ sin t |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Исследуем полученное решение. Для этого возьмем произ- |
||||||||||||||||||||||||||
вольную допустимую функцию x(t) |
|
ˆ |
|
+ h(t), |
h(t) |
ÎC |
1 |
([0; |
π ]) и |
|||||||||||||||||
= x(t) |
|
|||||||||||||||||||||||||
рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ˆ |
ˆ |
|
π |
é |
|
2 |
+ ( |
ˆ |
2 |
|
|
ˆ |
|
|
|
ù |
|
|
ˆ |
|
|
2 |
||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
B(x + h) |
- B(x) = ò |
ê(x |
+ h) |
|
x + h) - 4(x |
+ h)sin túdt + 2(x(0) + h(0)) + |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
+ h(π )) |
2 |
|
|
ˆ2 |
ˆ |
2 |
- |
ˆ |
|
|
|
|
|
||
+ 2(x(π ) + h(π )) - (x(π ) |
|
- ò |
[x |
+ x |
|
4x sin t]dt - |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(π ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(0) - 2x(π ) + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ2 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
π |
ˆ |
|
|
2 |
|
ˆ |
+ h |
2 |
- 4hsin t]dt |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= ò[2xh + h |
|
|
+ 2xh |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(0) + 2h(π ) - 2x(π )h(π ) - h |
|
(π ) = |
|
|
|||||||||||||
|
= +4x(0)h(0) + 2h |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
126
Так как интегрант не зависит явно от t , то уравнение Эйлера имеет интеграл энергии:
xLx - L = const Û x × 2xex - ex x2 = const Û ex x2 = const .
Тогда
xex2 = C1, ex2dx = C1dt, 2ex2 = C1t + C2,
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
2ln |
C1t + C2 |
, |
|
= |
|
|
2C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C t + C |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Из условий трансверсальности найдем постоянные C1, C2 : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C1 |
= 2 Û C1 = C2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(0) |
= |
2 Þ |
C2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
2C |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ C + C |
|
= 16ç C + C |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(1) = 16e |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
1 |
|
|
ø . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда получаем следующие значения для C1, C2 : C1 =C2 = 2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
Единственная |
|
|
допустимая |
|
|
экстремаль |
|
|
имеет |
|
|
вид: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = 2ln(t +1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Проведем исследование полученного решения. Для этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возьмем |
|
произвольную |
|
|
|
|
допустимую |
|
|
|
|
функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
([0;1]) |
и рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x(t) = x(t) + h(t), h(t) ÎC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
ˆ |
1 |
|
x+h |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x(0)+h(0) |
|
|
|
−x(1)−h(1) |
|
|
|||||||||||||
B(x + h) - B(x) |
|
ˆ |
|
(x + 2xh + h )dt + |
4e |
ˆ |
|
|
|
|
|
+ 32e |
|
ˆ |
|
|
|
- |
|
|||||||||||||||||||||||
= òe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 ˆ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
−x(1) |
= ò[e |
x |
|
2 |
(e |
h |
-1) |
|
|
|
|
x+h |
|
|
x+h |
2 |
]dt |
|
|||||||||||||
- òe |
|
× x |
|
dt - 4e |
|
- 32e |
|
|
|
|
× x |
|
|
+ |
2xhe |
|
|
+ e |
|
h |
|
+ |
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+4exˆ(0)+h(0) + 32e−xˆ(1)−h(1) - 4exˆ(0) - 32e−xˆ(1) .
Сучетом уравнения Эйлера проинтегрируем по частям первое слагаемое, стоящее под знаком интеграла и учтем условия трансверсальности:
1 |
ˆ |
|
2 |
|
h |
1 |
d |
ˆ |
h |
|
|
x |
|
|
x |
||||||
|
|
ˆ |
|
(e |
|
|
|
ˆ |
|
)×(e -1)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
òe × x |
|
|
-1)dt = ò dt (2xe |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
127
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
h |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
ˆ |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2xe )× (e -1) |
0 |
- ò(2xe |
|
)× e hdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
h(1) |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
h(0) |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−x(1) |
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 32e |
|
|
|
|
(e |
|
|
|
|
-1)- 4e |
|
|
|
(e |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1)- ò (2xe |
|
|
|
)×e hdt |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x+h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x + h) - B(x) = |
|
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
−x(1) |
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x(0)+h(0) |
|
|
|
|
|
−x(1)−h(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ˆ |
h dt |
+ 4e |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
+ 32e |
|
ˆ |
|
|
|
|
- 4e |
ˆ |
|
|
- |
32e |
|
ˆ |
|
+ |
|
||||||||||||||||
= òe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
32e−x(1) (eh(1) -1) |
- 4ex(0) (eh(0) -1) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
x+h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−x(1) |
|
2ch(h(1)) |
|
|
|
|
|
−x(1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
h dt |
+ 32e |
|
ˆ |
|
|
× |
- 32× 2e |
|
|
ˆ |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= òe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+h |
|
2 |
|
|
+16(ch(h(1)) -1) ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
òe |
x |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
+ h(×) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вы- |
|||
Так как для любой допустимой функции x(×) = x(×) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
³ 0, то найденная экстремаль |
|||||||||||||||||||
полнено неравенство B(x + h) - B(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = 2ln(t +1) доставляет в задаче абсолютный минимум. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
= 2ln(t +1) Î abs min з . |
● |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x(t) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задачи для самостоятельного решения. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
+ x |
2 |
)dt - 2x(1)sh1 ® extr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ò (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9.1.0 |
|
|
|
|
- 6xt)dt + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
(1) - 4x(0) ® extr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ò (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9.2. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- x |
2 |
(0) + 6x(1) |
® extr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ò (12xt - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
9.3. 0 |
|
|
+ x(12t |
|
|
|
|
8))dt + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
- |
2 |
(0) + 4x(2) |
® extr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ò (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9.4.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π 2 |
|
2 |
- x |
2 |
)dt |
+ x |
2 |
( |
0) - x |
2 |
æπ |
ö |
|
æ |
π ö |
® extr |
||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
÷ |
+ 4 xç |
÷ |
|||||||||||||
9.5. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
è |
2 ø |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π 2 |
|
2 |
- x |
2 |
- 2x)dt - 2x |
2 |
(0) |
- x |
2æ |
π ö |
® extr |
|||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
ç |
÷ |
|||||||||||||||||||
9.6. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
dt |
- |
2x(1) + x |
2 |
(2) ® extr |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9.7. |
òt |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1) - x |
2 |
(e) - 4x(e) ® extr |
||||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9.8. |
2(tx |
|
|
+ xx)dt + 3x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dt + 2x(1)( x(0) |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
1 |
|
|
t+1 |
|
2 |
+ 2x |
2 |
+1) |
® extr |
|||||||||||||||||||
|
òe |
|
|
(x |
|
||||||||||||||||||||||||
9.9. 0 |
e−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
dt + 2x(0)( x(e -1) +1) ® extr |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9.10. |
|
ò(t +1)x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.11. Найти допустимые экстремали функционала Больца
3 |
2 2 |
|
4 |
|
|
B( x) = ò 4x |
dt + x |
(0) -8x(3) |
|||
x |
|
||||
0 |
|
|
|
. |
Занятие 10. Изопериметрическая задача.
Определение. Изоперимтерической задачей классического вариационного исчисления называется следующая экстремальная
задача в пространстве C1([t0 ;t1]) :
I0 ( x(×)) |
= |
t1 |
|
|
|
ò |
|
|
|||
f0 (t, x(t), x(t))dt ® extr; |
|
||||
t1 |
|
t0 |
|
|
(з) |
|
|
|
|
|
|
Ii ( x(×)) = ò |
|
|
i = 1,..., m |
|
|
fi (t, x(t), x(t))dt = αi , |
|
||||
t0 |
x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1. |
, |
(1) |
||
|
|
(2) |
129
Здесь α1,...,αm - заданные числа, отрезок [t0 ;t1] фиксирован и конечен, t0 < t1. Ограничения (1) называются изопериметриче-
скими. Функции x(×) ÎC1([t0 ;t1]) , удовлетворяющие условиям (1), (2), называются допустимыми.
Определение. Говорят, что допустимая функция xˆ(×) доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з), пишут:
|
ˆ |
ˆ |
|
δ > 0 такое, что для любой до- |
||||||
|
x Îlocmin з (x Îlocmax з) , если |
|||||||||
пустимой |
функции |
x(×) , |
удовлетворяющей |
условию |
||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x(×) - x(×) |
|
|
|
1 |
< δ , выполнено неравенство |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
(I0 ( x(×)) £ I0 |
ˆ |
▲ |
|
|
|
|
|
|
I0 ( x(×)) ³ I0 (x(×)) |
(x(×))) . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(t, x, x) = åλi |
fi (t, x, x) |
называется |
|
|
Определение. Функция |
i=0 |
|
лагранжианом задачи, а числа λ0 ,λ1,...,λm - множителями Ла-
гранжа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
доставляет слабый локальный |
||||||
Теорема. Пусть функция x(×) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
экстремум в поставленной задаче (з) (x(×) Îlocextr з) , а функции |
||||||||||||||||||||||||
fi , fix , fix |
(i = 0,1,...,m) |
непрерывны как функции трех перемен- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
ных в |
некоторой |
окрестности |
|
множества {(t, x(t), x(t)) |
|
t Î[t0;t1]}. |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
существует |
|
ненулевой |
|
вектор |
|
множителей |
Лагранжа |
|||||||||||||||
λ = (λ |
0 |
,λ ,...,λ |
m |
) Î Rm+1 |
|
такой, что для функции Лагранжа задачи |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
([t |
|
;t ]) |
|
|
|
|
|
|
||
L выполнено условие |
L (t) ÎC |
|
0 |
и справедливо уравнение |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||
Эйлера: |
|
|
|
d |
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
[t |
|
;t ] |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- |
|
dt |
L (t) |
+ L |
x |
(t) = 0 "t Î |
0 |
. |
|
■ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Рассмотрим примеры решения изопериметрических задач.
Пример 1.
|
|
|
|
130 |
|
|
1 |
|
2 |
dt ® extr; |
I1( x(×)) |
1 |
x(0) =1, x(1) = 6 |
I0 ( x(×)) = ò x |
|
= ò xdt = 3, |
||||
0 |
|
|
|
|
0 |
. |
Решение: Составим Лагранжиан задачи: L = λ0x2 + λ1x . Выпишем необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера:
- dtd Lx + Lx = 0 Û - dtd (2λ0x) + λ1 = 0 Û -2λ0x + λ1 = 0 .
Если λ0 = 0, то из уравнения Эйлера получим, что λ1 = 0, следовательно, вектор множителей Лагранжа получается нулевым.
Поэтому λ0 ¹ 0. Положим λ0 = 12. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = λ , x = λ t + C , |
x = |
1 |
|
|
+ C t + C |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Неизвестные постоянные λ1, C1,C2 найдем из граничных |
|||||||||||||||||||||||||
условий и изопериметрического условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(0) = 1 Þ C2 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(1) = 6 Þ |
λ1 |
+ C + C |
2 |
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
1 |
xdt = 3 Þ |
1 |
æ |
λ t |
2 |
|
ö |
|
|
= 3 Û |
λ t3 |
C t2 |
+ C |
t |
|
= 3 Û |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ò |
ò |
ç |
1 |
+ C t + C |
÷dt |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
ç |
2 |
1 |
|
2 ÷ |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
0 |
è |
|
|
λ1 |
ø |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Û |
+ |
|
+ C2 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда |
получаем: λ1 = 6, C1 = 2, C2 = 1. Единственная |
допусти- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
3t |
2 |
+ 2t +1. |
|
|
|
|
|
|||||
мая экстремаль задачи имеет вид: x(t) = |
|
|
|
|
|
|
Покажем с помощью непосредственной проверки, что xˆ(t) доставляет абсолютный минимум в задаче, т.е. покажем, что для
любой допустимой |
функции |
x |
выполнено |
неравенство |
|||
ˆ |
функцию |
h( |
×) ÎC |
1 |
([t0 |
;t1]) |
такую, чтобы |
I0 ( x) ³ I0 (x) . Возьмем |
|
функция x(t) = xˆ(t) + h(t) была допустимой. Из ограничений задачи получим условия, которым должна удовлетворять функция h :