Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metody_optimizatsii_Shatina_A_V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

191

00000000000000000000000000000000d93509300000000004000000 0000ae30163609300000000047169001cc0002020603050405020304ff3a00e0417800c00900000000000000ff01000000000000540069006d00650073002000000065007700200052 006f006d0061006e000000333f00002c0c00001014000074481700387 d086e000000005848170012b50230584817004c6eaf30704817006476 000800000000250000000c00000001000000180000000c0000000000 0002540000005400000000000000000000002c000000710000000100 0000982287408d858740000000005a000000010000004c0000000400 000000000000000000005a080000d0070000500000002000ffff2d00000046000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffff ffff5d080000d10700000000000046000000140000000800000047444943 03000000250000000c0000000e0000800e00000014000000000000001 0000000140000000400000003010800050000000b020000000005000 0000c02f0000101040000002e0118001c000000fb020200010000000000bc02000000cc0102022253797374656d000000003f3f3f3f000000000000000000000 0003f3f3f3f3f00040000002d01000004000000020101001c000000fb02f4ff0000000000009001000000cc0740001254696d6573204e657720526f6d616e000000000000000000 0000000000000000040000002d010100050000000902000000020d00 0000320a0b00000001000400000000000001f00020000500040000002 d010000030000000000

Рис. 14.1

Найдем неизвестные величины C, D1, D2 , D3 ,

D4 ,τ

из крае-

в точке

вых условий задачи и непрерывности функций x1, x2

t = τ :

(

)

= 0 Þ C + D1 = 0;

(

)

0 Þ -

C + D3 = 0

;

(

)

= 17 Þ 12 + 2D2 + D4 = 17;

C(τ − 2)

= 6

;

192

C(τ - 2)		2		+ D = 6τ + D					2 ;
4				+ D = 6τ + D
4					1
C(τ - 2)3 + D τ + D = 3τ								2 + D τ + D		4 .
12	1				3				2	4 .
Решая полученную					систему			уравнений, находим:
C = −12, D1 = 12, D2 = 3,	D3 = −8, D4 = −1, τ = 1. Откуда получа-
ем				3		2		Î[0;1];
ˆ	ì			3	+ 6t	2	, t
ˆ	ï- t				+ 6t		, t
x(t) =	í		2		+ 3t -1, t Î[1;2].
	ï		2
	î3t

С помощью непосредственной проверки покажем, что полу-

доставляет в задаче абсолютный минимум.

ченная функция x(t)

+ h(t) . В силу

Рассмотрим допустимую функцию x(t) = x(t)

ограничений задачи получим условия на функцию h :

h(0)

= 0, h(0) = 0, h(

2) = 0, x + h ³ 6.

³ 0 при t [1;2] .

В частности h

+ h)

- B(

Оценим разность B(x

x) :

)dt =

2 ˆ2

B(x + h) - B(x) = ò

+ h)

dt - ò x

dt = ò

(2xh + h

2 2

dt =

= 2xh

× hdt

+ ò h

2 2

dt =

= 12h(2) -12h(0)

+12ò hdt + ò h

12(h(2) + h(1))

+ ò h

Справедливо равенство:

(s -τ )h(s)ds - (2 -τ )h(2) + h(2)

h(τ ) = ò

Учитывая, что h(2) = 0 и полагая τ = 1, получим:

193

(s -

h(1) = ò(s -1)h(s)ds

- h(2)

h(2) + h(1) = ò

1)h(s)ds ³ 0

- B(

³ 0

Следовательно, B(x + h)

и x(t) Îabsmin з .

Ответ:

t Î[0;1];

+ 6t

ï- t

Îabsmin з

x(t)

= í

+ 3t -1, t Î[1;2].

●

î3t

Задачи для самостоятельного решения.

Решить экстремальные задачи:

14.1.T → inf; −1 ≤ x ≤ 3, x(0) = 1, x(0) = x(T ) = 0, x(T ) = −1.

£ 2, x(-1) = 1,

14.2. T ® inf;

x(-1) = x(T ) = 0, x(T ) = -1.

® min;

£ 24, x(0) = 11, x(1) = 0,

ò x

x(1) = 0

14.3. 0

® min;

£ 1, x(0)

= 0, x(1)

= -

ò x

, x(0) = 0

14.4. 0

14.5. Найти допустимую экстремаль:

+ x)dt ® min;

£ 1, x(0)

= 0, x(T ) = 2

ò (x

Ответы к задачам для самостоятельного решения:

1.1. (1;0) absmin f , Smax = +∞ .

1.2. (5;2) locmin f , Smin = −∞, Smax = +∞ .

, Smax

= +¥

ç -

;1÷ Î absmin f , Smin = -

1.3. è

1.4.(2;4) absmin f , Smin = −8, Smax = +∞

1.5.(±1;±1) absmin f , Smin = −2, Smax = +∞ .

1.6.(0;0) locextr f , Smin = −∞, Smax = +∞ .

194

1.7. (1;1) locmax f ; (0;0),(0;3), (3;0) locextr f ,

				Smin = −∞, Smax = +∞ .
æ	±	1	ö	Îabsmin f , Smin = -	9	;(0;0) Îlocmax f ;
ç	±	2	; ±1÷	Îabsmin f , Smin = -	8	;(0;0) Îlocmax f ;
1.8. è		2	ø		8

æ	±	1 ;0	ö,(0;±1)Ïlocextr f ,
ç		2	÷	Smax = +∞ .
è		2	ø	Smax = +∞ .

1.9. (2;3) locmax f ;(0; t) locmax f при t < 0 и t > 6 ; (0; t) locmin f при 0 < t < 6;

(0;0),(0;6), (t;0) locextr f ; Smin = −∞, Smax = +∞ . 1.10.( ±1;0) absmax f ; (0;0) absmin f ;

(0; ±1) Ï locextr f ; Smax = 2e ; Smin = 0.

1.11.(1;3) absmin f , Smin = 10 −18ln 3, Smax = +∞ .

1.12.(t;1+ 2t) absmin f , t ( − ∞;+∞), Smin = 0, Smax = +∞ .

1.13.(− 2;0) absmin f , Smin = − 2e, Smax = +∞ .

1.14.(1;2) absmin f , Smin = 7 −10ln 2, Smax = +∞ .

1.15.(4;4;2) locmax f ; Smin = −∞, Smax = +∞ .

2.1. (3;4) absmin з, Smin = −20;																		( − 3;− 4) absmax з; Smax = 30.
											æ	1	;	1	ö					= -¥, Smax = +¥
(1;0) Îlocmin з, ç												3	;	3	÷Îlocmax з, Smin					= -¥, Smax = +¥
2.2.	3		3								è	3		3	ø					.
æ	3	;	3			ö	Î absmax з, Smax = e									9 4		; Smin = 0
ç	2	;	4			÷	Î absmax з, Smax = e											; Smin = 0		.
2.3. è	2		4			ø														.
æ	1				;-			3	ö		Îabsmin з, Smin						= -
æ	1							3	ö										2;
ç									÷

		2						2
2.4. è		2						2	ø
æ	-			1				3	ö		Î absmax з; Smax						=
æ				1			;	3	ö										2
ç										÷

				2				2
è				2				2	ø										.
2.5. (− 5;2) locmin з,												(5;−2) locmax з, Smin = −∞, Smax = +∞ .

195
	æ	2	;	2	;	1	ö	Îabsmax з;	Smax =	5
2.6. (0;0;−1) absmin з, Smin = −1;	ç	3	;	3	;	3	÷	Îabsmax з;	Smax =	3 .
2.6. (0;0;−1) absmin з, Smin = −1;	è	3		3		3	ø			3 .


æ	1		;		1	;	1	ö	Î absmin f , Smin =		1	, Smax	= +¥
ç	3				3		3	÷			3			.
2.7. è								ø
æ		1		;	1	;	1	ö	Î locmax з;
ç		6			3		2	÷		(t;0;1− t) locmax з				при t (0;1);
2.8. è								ø

(t;0;1− t) locmin з при

t (− ∞;0) (1;+∞);

(0;0;1),(1;0;0) ,(t;1− t;0) locextr з; S

min

= −∞; S

max

= +∞

2.9. (− 4;1) locmin з,

(4;−1) locmax з,

Smin = −∞, Smax = +∞ .

2.10. (± 3; 2) absmin з, Smin = −50; .

Îabsmax з;

Smax =

425

ç ± 4;±

2.11. (1;0) absmin з, Smin = 1, Smax = +∞ .

æ 5

;

2 ö

;

5 ö æ

;

Î absmin з, Smin

÷,

÷,ç

2.12. è

ø è

(1;1;2), (2;1;1), (1;2;1) absmax з , Smax = 2.

2.13. (−1;0) absmin з, Smin = 1; (3;0) absmax з; Smax = 9.

2.14. (6;12;18) locmin з,

Smin = −∞, Smax = +∞ .

2.15. (6;4;3) absmin з, Smin = 156, Smax = +∞.

Î absmax з, Smax =

, -

Î absmin з, Smin

= -

2.16.

b - (a,ξ )

(a,ξ ) − b

= ξ + a

, Smin =

2.17.

(ξ - b,a)

ö1 2

min

ξ - b

2.18.

ø .

196

æ	±			1					;							1							ö		Îabsmin з, Smin = -																						1	;
ç																							÷

					2												2																														2
3.1. è					2												2						ø																								2
æ				1										1							ö																									1
ç	±							; ±													÷ Î absmax з; Smax =

					2											2																														2 .
è					2											2					ø																									2 .
æ			1																			ö																									2
æ			1														2					ö																									2
ç	-							;±													÷				Îabsmin з, S													min					= -						;
ç	-							;±													÷				Îabsmin з, S																		= -						;
ç					3												3				÷																										3 3
3.2. è					3												3				ø																										3 3
æ	1														ö																												2
æ	1											2			ö																												2
ç				;		±								÷				Î absmax з; S																	max			=
ç				;		±								÷				Î absmax з; S																				=
ç		3									3			÷																										3			3 ,
è		3									3			ø																										3			3 ,
(t;0) locmax з																											при t [−1;0) ;
(t;0) locmin з																											при t (0;1] ; (0;0) locextr з .
3.3. (1;0) absmax з, Smax = e −1; (0;1) absmin з,
Smin = e−1 -1;(0;0) Ï locextr з .
3.4. (3;0),(0;3) absmax з, Smax = 6;																																		(1;1) absmin з, Smin = −1.
æ	-		1					;-						1						;-						1			ö æ		-				1				1							1	ö
ç																													÷,ç								;						;				÷,

					3											3											3								3					3						3
3.5. è					3											3											3		ø è						3					3						3	ø
æ 1					;-						1										1					ö æ				1				1		;-			1				ö		Îabsmin з
ç																;										÷,ç					;													÷

		3											3										3							3					3					3
è		3											3				1						3			ø è				3					3					3			ø						,
Smin = -																	1

														3							3 ;
														3							3 ;
æ		1								1							1								ö æ			-		1			;-			1					1					ö
ç							;							;											÷,ç														;							÷,

		3									3										3									3							3						3
è		3									3										3				ø è					3							3						3			ø
æ		1									1										1					ö æ				1				1					1		ö
ç					;-									;-												÷,ç		-				;				;-						÷Îabsmax з
ç					;-									;-												÷,ç		-				;				;-						÷Îabsmax з
è		3									3					1							3			ø è				3					3					3	ø								,
	Smax								=							1								; (t;0;0), (0;t;0),(0;0;t) Ï locextr з "t Î[-1;1]

													3						3
													3						3																														.
æ	1	;	1				;-				1			ö			Îabsmin з, Smin																						=				1			;
ç														÷
ç	6		6								6			÷																											12
3.6. è	6		6								6			ø																											12

197

;

Îlocmax з;

Smax = +¥

;

Ï locextr з

÷,

Î absmin з, Smin

= -52,5; Smax

= +¥

ç -

; 0;20÷

3.7. è

174

(1;0;3) Îlocmax з;

;

Îlocmin з;

3.8.

(−1;6;−3) locextr з

Smin = −∞; Smax = +∞ .

3.9.A = 22, ( x, y) = (− 58;5) .

æ	2;	3	ö	Îabsmin з, Smin = -6,25;	æ	-	4	;-	3	ö	Îabsmax з;
ç	2;	2	÷	Îabsmin з, Smin = -6,25;	ç	-	5	;-	5	÷	Îabsmax з;
3.10. è		2	ø		è		5		5	ø

Smax = 6 .

3.11.(4;2) absmin з, Smin = −32; (1;2) absmax з; Smax = 4.

4.1.да,

4.2.да,

4.3.да,

4.4.не

∂f ( x) = x.

ì- 3, x < 0, ïï[- 3;1], x = 0,

¶f ( x) = ïí1, 0 < x < 2,

ïï[1;3], x = 2,

ï3, x > 2.

ì2x, x < −1 или x

ï[- 2;1], x = -1,

¶f ( x) = ï

íï1, -1 < x < 2,

ïî[1;4], x = 2.

является выпуклой.

> 2,

		198
	ì-1,	x < 1 2,
	¶f ( x) = íï[-1;1], x = 1 2,
4.5. да,	ï	> 1 2.
4.5. да,	î1, x	> 1 2.

4.6.

ì(2;0), x1 + x2 > 0, x1 - x2 > 0,

ï(0;2), x + x

> 0, x - x

< 0,

ï(

2α 2 ;2 - 2α 2 ), α 2 Î[0;1], если

x1 = x2 > 0,

ïï(0;- 2), x1 + x2 < 0, x1 - x2 > 0,

¶f ( x) = íï(- 2; 0), x1 + x2

< 0, x1 - x2 < 0,

ï(2α

- 2;- 2α

), α

Î[0;1], если

x = x

< 0,

ï(

2α1;2α1 - 2), α1 Î[0;1], если

x1 = -x2 > 0,

ï(2α

- 2;2α

), α

Î[0;1], если

= -x

< 0,

[

]

ï(

α α

)

= x2

= 0

2 1

+ 2 2

2; 2

- 2

2 Î

0;1 , если x1

В точке (0;0)

субдифференциал представляет собой квадрат с

вершинами в точках

(2;0), (0;2),( − 2;0),(0;−2) .

ìa, если (a, x) - b > 0,

¶f ( x)

(a, x) - b < 0,

= í- a, если

4.7.

ï(2α -1)a, α Î[0;1], если (a, x) - b = 0.

4.8.

199

						ì(1;1), если x1 > a1, x2 > a2 ,
						ï(1;-1), если x																	> a , x											2	< a		2		,
						ï															1							1						2			2
						ï(1;2α 2 -1), α 2 Î[0;1], если x1 > a1, x2 = a2 ,
						ïï(-1;1), если x1 < a1, x2 > a2 ,
¶f ( x)			= íï(-1;-1), если x1 < a1, x2 < a2 ,
						ï(-1;2α										2		-1), α						2			Î[0;1], если x														< a , x				2		= a			2		,
						ï										2								2															1			1			2					2
						ï(2α1									-1;1), α1 Î											[0;1], если x1 = a1, x2 > a2 ,
						ï(2α								1	-1;-1), α								1		Î[0;1], если x																= a , x			2			< a		2		,
						ï								1									1																1			1		2					2
						ï(						α		1				α			2 -				)			α	1		,		α			[			]								= a1, x2 = a2.
						î		2						1	-1;2						2 -		1 ,						1		,				2 Î			0;1 , если x1									= a1, x2 = a2.
В точке (a1;a2 )															субдифференциал представляет собой квадрат с
вершинами в точках (1;1), (1;−1),(−1;1),(−1;−1) .
4.9. (1;−1) absmin з, Smin = 3.
æ			1							2				ö																							1
ç-						;-								÷	Î absmin								з, Smin = -
ç-		19				;-			19					÷	Î absmin								з, Smin = -													19 .
4.10. è		19							19					ø																						19 .
æ										ö																													1
		5					5
		5					5
ç				;									÷ Î absmin з, S														min					=			5 -
ç				;									÷ Î absmin з, S																			=			5 -
ç	10					5				÷																													4 .
4.11. è	10					5				ø																													4 .
4.12. Если						a	2						+ a2			£ 1			, то			( a ,a								2			) Î absmin з, S										min			= a2					+ a2
4.12. Если						1									2				, то							1				2													min					1					2 ;
если						a2							+ a2			> 1				, то
если							1								2					, то
æ					a1													a2							ö
æ																									ö
ç															,										÷ Î absmin з, S															min		= 2					a2	+ a2					-1
ç

ç			a2 + a2														a2			+ a		2			÷																						1					2
ç			a2 + a2														a2			+ a		2			÷																												.
è		5		1		6				2								1				2			ø										8																		.
æ		5		;		6	ö				Î absmin з, Smin = -																								8
ç-		7		;		7	÷				Î absmin з, Smin = -																								7 .
4.13. è		7				7	ø																												7 .
æ	1					1				ö				Î absmin з, Smin = 4 -
æ	1			;		1				ö																													2
ç													÷

		2
4.14. è		2					2 ø																																.

4.15. (0;0;2) absmin з, Smin = 8.

						200
æ	-	2	;-	4	ö	Î absmin з, Smin = -	8
ç	-	3	;-	3	÷	Î absmin з, Smin = -	9 .
4.16. è		3		3	ø		9 .

5.1.(1;1) abs min з, fmin = −1.

5.2.(23;23) abs min з, fmin = −83.


5.3. (2	− α;α + 1) abs max з,α [0;1], fmax = 3.
5.4. (4	− α;1− α;7 + 2α;0;3α ) abs min з,α [0;1], fmin = −3,
(0;2;0;5;7) abs max з,			fmax = 2.
5.5. (1;0;4;0;7)		abs min з,	fmin = 5,
(8;0;11;7;0)		abs max з,	fmax = 12.

5.6. (0;2;1;0) abs min з, fmin = 3.

5.7.( 2; 283) .

5.8.10500 руб. и 12600 руб.

5.9.(2; 0; 14).

5.10.(3; 6).

6.1.(2;1;0;0) abs max з, Smax = 5.

6.2.(0;4;0;0) abs max з, Smax = 4.

6.3.(5;3;0;0;0) abs max з, Smax = 8.

6.4.(5;0;3;4;0) abs max з, Smax = 15 .

6.5.(5;2;0) abs max з, Smax = 13.

6.6.(5;2;0;0) abs min з, Smin = −46 .

6.7.	(1 2; 0; 6; 3 2; 0) abs max з, Smax = 6,5.
	æ	13	;	9	;	11	ö	Î abs min з, Smin	=	3
6.8.	ç	14		7		14	÷			7 .
	è						ø

6.9.(0;0;4;13) abs max з, Smax = 77.

	æ	0	3	0	0	ö
ˆ	ç	0	0	1	3	÷	, Smin = 14
x = ç						÷
7.1.	ç	2	0	3	0	÷	.
	è					ø

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015553.47 Кб8metodichka_Arkh_EVM_k_rabota_2011g.doc
#
12.11.2019702.98 Кб4Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc
#
10.05.2015697.34 Кб14Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc
#
10.05.2015237.39 Кб12Metodika_Po_Oech_Diplomov.pdf
#
10.05.201561.44 Кб9Metodologia_portalov (2).doc
#
10.05.20151.01 Mб33Metody_optimizatsii_Shatina_A_V.pdf
#
10.05.20153.97 Mб9metod_ACM.doc
#
19.11.201993.7 Кб3Metod_ukaz2.doc
#
10.05.2015687.76 Кб17MIREA_Ekonomika_Metodichka_1076_2011.pdf
#
10.05.2015479.74 Кб26MIR_Kursovoy_proekt_Morina_A_I_ISB-3-12.doc
#
10.05.20153.2 Mб88mukrrtc2ssss011.doc