Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metody_optimizatsii_Shatina_A_V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Доказательство:

ˆ	(	)	- f	( ˆ)	³ 0	"x Î R	n	Û
x Î absmin f Û f		x	- f	x	³ 0	"x Î R		Û


Û f	(		x	)	- f			( ˆ)	³	(			ˆ)	"x Î R				n	Û 0 Î ¶f						( ˆ)	.			■
Û f			x		- f			x	³		0, x - x			"x Î R					Û 0 Î ¶f						x	.			■
Задача. Решить выпуклую задачу без ограничений:
f ( x , x							)	= x2		+ x x			+ 2x2			+	x		+ x			- 2		® min
f ( x , x							)	= x2		+ x x			+ 2x2			+	x		+ x			- 2		® min
			1			2			1		1	2			2		1				2							.
			1			2			1		1	2			2		1				2							.
Решение:								Функции							f ( x , x				2	) = x2			+ x x			2	+ 2x2		и
Решение:								Функции							1	1			2			1			1	2		2	и
f2 ( x1, x2 ) =		x1 + x2 - 2									являются				выпуклыми									функциями					двух

переменных. Поэтому их сумма также является выпуклой функцией. Согласно теореме Моро-Рокафеллара субдифференциал суммы функций равен сумме субдифференциалов. Субдифферен-

циалы функций f1,						f2 имеют вид:
¶f		( x , x		æ	¶f	1	( x , x	2	)	,	¶f	1	( x , x	2	) ö	= (2x	+ x		, x	+ 4x		)
¶f	1	( x , x	2	) = ç		1	1	2		,		1	1	2	÷	= (2x	+ x	2	, x	+ 4x	2	)
	1	1	2	ç			¶x1						¶x2		÷	1		2	1		2	,
				è			¶x1						¶x2		ø							,

		ì(1;1), если x1 + x2 − 2 > 0,
¶f2	( x1	, x2 ) = íï(-1;-1), если	x1 + x2 - 2 < 0,
		ï(2α -1, 2α -1), α Î[0;1], если x		+ x	2	- 2 = 0.
		î	1		2

Тогда

ì( 2x1 + x2 +1; x1 + 4x2 +1), если

x1 + x2 − 2 > 0,

¶f ( x , x

) =

ïï( 2x1 + x2 -1; x1 + 4x2 -1), если

x1 + x2 - 2 < 0,

ï( 2x1 + x2 + 2α -1, x1 + 4x2 + 2α -1), α Î[0;1],

если x1 + x2 - 2 = 0.

Используя необходимые и достаточные условия абсолютно-

го минимума в выпуклой задаче без ограничений, получим:

∂

( ˆ)

ì2x1 + x2 + 2α −1 = 0

ì2x1 + x2 +1 = 0

ì2x1 + x2 −1 = 0

ïx1 + 4x2 + 2α -1 = 0

+ 4x2 +1

= 0

íx1

íx1 + 4x2 -1 = 0

ïx1 + x2 - 2 = 0

ïx + x

- 2 > 0

ïx + x

- 2 < 0

ï0 £ α £ 1

î 1

или î 1

или î

Первая и третья системы уравнений и неравенств решений

не имеют, а решение второй системы имеет вид:			x		=	3	, x		=	1
не имеют, а решение второй системы имеет вид:				1		7		2		7 .
æ	3	;	1	ö	Î absmin з
ç	7	;	7	÷	Î absmin з
Ответ: è	7		7	ø						. ●

Выпуклые задачи с ограничением (выпуклые задачи).

Постановка задачи:

f ( x) ® min,

x Î B ,

f : Rn ®

- выпуклая функция, B Ì Rn

где

- выпуклое множе-

ство.

Теорема. В выпуклой задаче локальный минимум является

абсолютным.

Доказательство: Пусть x Î locmin з , следовательно,

(

ˆ)

( ˆ)

Ç B f

( ~)

³ f

( ˆ)

:"x ÎU

Возьмем произвольную точку x B . При α → +0 точка

(

α ) ˆ

(

ˆ)

Ç B .

x =

x +

x ÎU

Тогда

( ˆ)

£ f

(

)

= f

(α

x +

(

α ) ˆ)

(

)

(

α )

(

ˆ)

( ˆ)

(

)

£ f

Þ x Î absmin з .

■

Задачи выпуклого программирования.

Постановка задачи:

f0 ( x) ® min; f1( x) £ 0,..., fm ( x) £ 0,

x Î A ,

(1)

: Rn ®

(

j = 0,1,...,m)

где

выпуклые

функции,

A Ì R

выпуклое множество.

Определение. Точка x называется допустимой в задаче

выпуклого

программирования,

если

x A

f1( x)

£ 0,..., fm ( x) £ 0 .

▲

Задача выпуклого программирования является выпуклой задачей, т.е. множество допустимых элементов является выпуклым.

такой, что выпол-

Теорема Куна-Таккера.

1) Пусть xˆ Î absmin з . - точка абсолютного минимума в задаче выпуклого программирования. Тогда существует ненулевой

вектор множителей Лагранжа λ = (λ0 ,λ1,...,λm )

няются условия:
а)	принцип			минимума				для функции Лагранжа
L( x,λ )	m	( x)
L( x,λ )	= åλ j f j	( x)
	j=0		:		(	x,	λ )	( ˆ	λ )
				min L		x,		= L x,	;
				x A					;
б) условия дополняющей нежесткости:
			λ	j f j	( ˆ)	= 0,		j = 1,...,m ;
				j f j	x	= 0,		j = 1,...,m ;

в) условия неотрицательности:

λj ³ 0, j = 0,1,...,m.

2)Если для допустимой точки xˆ выполнены условия а), б), в) и λ0 ¹ 0, то xˆ Î absmin з .

3)Если для допустимой точки xˆ выполнены условия а), б),

в) и	выполнено		условие Слейтера (т.е.	x A :
f j ( x) < 0,	j = 1,..., m		ˆ	■
		), то x Î absmin з .		■

Теорема Куна-Таккера дает необходимые и достаточные условия абсолютного минимума в задаче выпуклого программирования.

Замечание. Если в выпуклой задаче (1) отсутствует ограни-

чение в виде включения x A, (т.е. A = Rn ), то условие а) теоремы Куна-Таккера равносильно условию стационарности функции

	m
	Λ( x) = åλ j f j ( x)
Лагранжа	j	=	0	( ˆ)	. Это следует из того, что
Лагранжа	j		0	: 0 Î ¶L x	. Это следует из того, что
				m
				Λ( x) = åλ j f j ( x)
функция Лагранжа				j=0	с неотрицательными мно-

жителями Лагранжа является выпуклой функцией. А по аналогу

теоремы Ферма для выпуклых функций условие 0 ∂Λ( xˆ) является необходимым и достаточным условием абсолютного миниму-

ма функции Лагранжа в точке xˆ .

Задача. Найти расстояние от точки M (ξ1,ξ2 ,ξ3 ) до конуса

K :x12 + x22 - x3 £ 0 .

Решение. Формализуем поставленную задачу, взяв в качестве целевой функции квадрат расстояния от точки M до точки, принадлежащей конусу:

( x - ξ				) 2	+ ( x						) 2			+ ( x								) 2
( x - ξ			1	) 2	+ ( x	2	- ξ		2		) 2			+ ( x				3	- ξ	3		) 2		® min;							x1	+ x		2		- x		3	£ 0			.
1			1			2			2									3		3											1			2				3				.
Составим функцию Лагранжа
	L( x) = L( x,λ ) = λ													[( x - ξ )2 + ( x											2	- ξ		2		)2 + ( x - ξ					3		)2 ]	+
													0			1			1						2			2			3				3
													+ λ (											− x )
													+ λ (						x2 + x2					− x )			.
																1			1				2			3	.
Выпишем необходимые условия абсолютного минимума:
а) 0 ∂Λ( x) ,
	ì																									æ				x1						x2						ö
	ï2λ				( x - ξ , x					2		- ξ			2	, x - ξ					3		) + λ ç							x1			,			x2					,-1÷,

																														2	2				2				2
	ï			0 1			1											3							1ç					2	2				2				2			÷
	ï																									è			x1 + x2					x1			+ x2					ø
¶L( x) = íï																																	если x12 + x22 ¹ 0,
	ï				( - ξ1,- ξ2, x3 - ξ3 ) + λ1( y1, y2,-1), y12 + y22 £ 1,
	ï2λ0				( - ξ1,- ξ2, x3 - ξ3 ) + λ1( y1, y2,-1), y12 + y22 £ 1,
	ï																																если x2					+ x2				= 0.
	î																																если x2					+ x2				= 0.
	î		(										)																								1			2
б)	λ		(		x2 + x		2	- x				3	)	= 0			;
б)	1				1		2					3					;
в)	λ	0		³ 0, λ ³ 0						(λ2				+ λ2					¹ 0)			.
в)		0			1								0				1					.
Если λ0 = 0, то из условия а) получим																															λ1 = 0, т.е. вектор

множителей Лагранжа равен нулю, поэтому этот случай не подходит.

Положим λ0 = 12. Разберем отдельно два случая:

x12 + x22 ¹ 0 и x12 + x22 = 0 .

ìx

+ x

¹ 0,

λ1x1

ïx - ξ +

= 0,

+ x2

- ξ

λ1x2

= 0,

ïx

+ x2

ïx3

(

- ξ3 - λ1 =

)= 0,

ïλ

- x

+ x2

ïx

x2 + x2

ïλ

³ 0.

Рассмотрим два варианта выполнения условия дополняю-

щей нежесткости.

ìλ1 = 0,

ïx

= ξ ,

ïx

= ξ

íx3 = ξ3,

ïξ3 ³

ξ12 + ξ22

Iа)

ïξ

¹ 0.

> 0

Следовательно, если

+ ξ

, то

= (ξ

2 ,

)

absmin з, Smin

0 .

																			ìλ1 > 0,
																			ï					æ										λ1					ö
																			ïx					ç1+										λ1					÷ = ξ ,


																			ï				1ç									x12 + x22 ÷													1
																			ï					è															ø												Û
																			í						æ		+							λ						ö											Û
																			ïx2ç1								+							1						÷ = ξ2,
																			ï						ç								x	2 + x2						÷
																			ï						è= ξ					1								2		ø
																			ïx						è= ξ			3		+ λ ,										ø
																			ï				3					3						1
Iб)																			ïx						=				x2 + x2									> 0.
Iб)																			î				3							1						2
																																		ìλ				> 0,
		λ																																ï		1
		λ																																ï						ξ		(ξ						+ ξ						2			+ ξ				2 )
		ì	1 > 0,																															ï						ξ		(ξ			3			+ ξ						2			+ ξ				2 )
		ï			ξ1(ξ3 + λ1 )																													ïx1 =						1					3								1							2					,
		ïx =																		,
		ïx =																		,																								2					ξ 2				+		ξ			2
		ï	1				ξ			3 +					2		λ																	ï										2						1			+			2									)
		ï								3 +					2		1																	ï									(ξ
		ï				ξ					(ξ					+ λ				)														ï						ξ									+ ξ						2			+ ξ					2
		ï																																ï																					2								2
		ï							2				3																					ï							2						3															2
Û		íx2 =							2				3				1					,								Û				íx2 =							2						3							1								2				,

									ξ3 + 2λ1																																				2 ξ12 + ξ22
		ï							ξ3 + 2λ1																									ï											2 ξ12 + ξ22
		ï			ξ						+		λ				> 0,																	ï						1		(																						)
		ï			ξ								λ																					ï																		ξ 2
		ïx3 =						3							1																			ï												ξ		2				ξ 2							ξ
		ïλ =				1			(																		).							ïx3 =						2							1			+				2		+					3				> 0,
		ïλ =				1			(			ξ 2					+ ξ			2			- ξ				).							ïx3 =						2		(					1			+				2		+					3			).	> 0,
		ï	1			2							1						2							3								ï						1
		ï	1										1						2							3								ï																+ ξ							- ξ
		î																																ïλ =											ξ			2		+ ξ				2			- ξ
																																		î		1				2							1							2						3

Следовательно, если																							- ξ					2			+ ξ 2					< ξ				3	< ξ									2	+ ξ					2		, то
Следовательно, если																											1							2						3									1							2		, то
		æ																												ö
		æ		ξ1κ														ξ2κ												ö												1		(ξ																				2 )
ˆ		ç		ξ1κ														ξ2κ									κ			÷								κ		=		1								+				ξ		2		+		ξ

				ξ 2					ξ 2 ,									ξ 2					ξ		2 ,																	2						3
x =		ç		ξ 2		+			ξ 2 ,									ξ 2		+			ξ		2 ,					÷, где												2						3							1									2		,
		è	1			+					2						1			+					2					ø																																				,
			1 (ξ						-															)2
S		=	1 (ξ						-					ξ 2 + ξ								2		)2																																										M до
	min		2			3									1						2				. Тогда расстояние от точки																																									M до
конуса K равно																														1					(																		)
				ρ( M , K ) =
																											=										ξ 2			+ ξ				2				- ξ
																						S																						2

																														2
																								min						2								1						2							3		.

ìx

+ x2

= 0,

ï- ξ1 + λ1 y1 = 0,

ï- ξ

+ λ y

= 0,

- ξ3 - λ1 = 0,

ïx3

ïy12 + y22 £ 1,

ïx

³ 0,

)

= 0,

ïλ

(- x

II.

îλ1 ³ 0.

ìλ1 = 0,

= ξ2

= 0,

íξ1

ïx

= ξ

³ 0.

Þ если

ξ = ξ

= 0, ξ

³ 0

, то

IIа) î

(

0;0;

)

, Smin = 0.

x =

ìλ

> 0,

ïx3 = 0,

= -ξ

ïλ1

= ξ1

λ1 ,

íy1

ïy

= ξ

λ ,

ïx

+ x

= 0,

ï(ξ ξ

) 2

(ξ

) 2

если

3 £ -

ξ 2

, то

IIб) î

(

)

x =

0;0;0

min

Ответ: Если

2 + ξ

, то

(ξ

2 ,

)

Î absmin з,

ρ(

, K

)

= 0.

x =

Если

- ξ

+ ξ

< ξ

+ ξ

, то

ξ1κ

ξ2κ

(ξ

ξ 2 )

κ ÷

Î absmin з, где

ξ 2

2 ,

ξ 2

ξ 2 ,

x =

1 +

(

)

ρ( M , K ) =

ξ 2

+ ξ 2

- ξ

Если

£ -

ξ 2 + ξ 2

= (

0;0;0

)

absmin з ,

, то x

ρ( M , K ) =

ξ 2

+ ξ 2

●

Задачи для самостоятельного решения.

В задачах 4.1-4.5 выяснить, является ли выпуклой заданная функция одной переменной. В случае положительного ответа найти субдифференциал функции.

4.1.f ( x) = min{x12 + x22 x1 + x2 = x}.

4.2.f ( x) = x - 2 + 2 x .

4.3.f ( x) = max{x2 ; x + 2}.

4.4.f ( x) = x -1 .

4.5.f ( x) = max{ x , x -1} .

В задачах 4.6-4.8 найти субдифференциалы заданных выпуклых функций.


	f ( x) =		x + x			+				x - x					, x Î R2
	f ( x) =		x + x			+				x - x					, x Î R2
4.6.		1			2				1				2			.
4.6.		1			2				1				2			.
4.7.	f ( x) =		( a, x) - b					, x Î Rn , a Î Rn , b Î R										.
	f ( x) =		( a, x) - b					, x Î Rn , a Î Rn , b Î R
	f ( x) =			x - a			+			x		- a					, x Î R2


4.8.				1	1						2			2			.
4.8.				1	1						2			2			.

Решить выпуклые задачи:

4.9.x12 - x1x2 + x22 + 3 x1 - x2 - 2 ® min .

4.10.x12 + x1x2 + 4x22 + max{2x1, x2} ® min .

4.11.x12 + x22 + ( x1 -1) 2 + ( x2 - 2) 2 ® min .

4.12.x12 + x22 + 2( x1 - a1 ) 2 + ( x2 - a2 ) 2 ® min , где a1,a2 - задан- ные числа.

4.13.2x12 + x1x2 + x22 + 2x1 - x2 ® min; x1 + x2 £ 1, x2 - x1 £ 2.

4.14.x1 + x2 - 4 ® min, x12 + x22 £ 1.

4.15.x12 + x1x2 + 4x22 + 2x32 ® min; x1 + x2 - x3 £ 1, x3 ³ 2.

4.16.max{2x1, x2} + x12 ® min, x12 + 2x22 £ 4 .

Занятие 5. Графический метод решения задач линейного программирования.

Постановка задачи. Общая постановка задачи линейного программирования состоит в нахождении экстремума линейной

f ( x) =	n
f ( x) =	f ( x1,..., xn ) = åc j x j
функции	j=1	при наличии ограничений,
задаваемых в виде линейных уравнений и неравенств:
	f ( x) = c1x1 + ××× + cn xn ® extr
	n
	åaij x j = bi ,	i = 1,...,l,
	j =1		(1)
	n
	åaij x j £ bi ,	i = l +1,...,m,
	j=1		(2)
	x j ³ 0, j = 1,..., n.		(3)

Отметим, что в условии задачи линейного программирования могут содержаться неравенства и противоположного, чем в

(2) знака, однако, такие неравенства легко сводятся к виду (2) умножением на –1.

Если задача линейного программирования содержит только две переменные, и в ее условии нет ограничений в виде равенств

(1), то такую задачу можно решить графически.
Рассмотрим задачу:
f ( x) = c1x1 + c2 x2 ® extr		(4)
ai1x1 + ai2 x2 £ bi ,	i = 1,...,m,	(5)
x1 ³ 0, x2 ³ 0.		(6)
На плоскости Ox1x2 любое из неравенств (5) определяет по-
луплоскость, лежащую по	одну из сторон	прямой

ai1x1 + ai2 x2 = bi . Для того чтобы определить расположение этой полуплоскости относительно граничной прямой, можно подставить координаты какой-либо точки в соответствующее неравенство (5) и проверить его выполнение. Таким образом, допустимое

множество Dз задачи линейного программирования (4)–(6) является пересечением первой четверти, задаваемой неравенствами (6), и полуплоскостей, задаваемых неравенствами (5). Поэтому

множество Dз представляет собой одно из множеств на плоскости Ox1x2 :

а) пустое множество (тогда задача (4)–(6) не имеет решения);

б) выпуклый многоугольник (рис. 5.1); в) неограниченное многоугольное множество (рис. 5.2); г) луч; д) отрезок;

е) точку (тогда эта точка и будет решением задачи).

Для решения задачи линейного программирования в случае,

когда	Dз ¹ , рассмотрим множество линий уровня	функции
f ( x) :	c1x1 + c2 x2 = c, c = const .
	c1x1 + c2 x2 = c, c = const .	(7)

Прямые (7) представляют собой семейство параллельных пря-

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015553.47 Кб8metodichka_Arkh_EVM_k_rabota_2011g.doc
#
12.11.2019702.98 Кб4Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc
#
10.05.2015697.34 Кб14Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc
#
10.05.2015237.39 Кб12Metodika_Po_Oech_Diplomov.pdf
#
10.05.201561.44 Кб9Metodologia_portalov (2).doc
#
10.05.20151.01 Mб33Metody_optimizatsii_Shatina_A_V.pdf
#
10.05.20153.97 Mб9metod_ACM.doc
#
19.11.201993.7 Кб3Metod_ukaz2.doc
#
10.05.2015687.76 Кб17MIREA_Ekonomika_Metodichka_1076_2011.pdf
#
10.05.2015479.74 Кб26MIR_Kursovoy_proekt_Morina_A_I_ISB-3-12.doc
#
10.05.20153.2 Mб88mukrrtc2ssss011.doc