Metody_optimizatsii_Shatina_A_V
.pdf
|
91 |
|
|
|
æ |
1 |
0 |
1 |
ö |
ç |
0 |
0 |
0 |
÷ |
D = ç |
÷ |
|||
ç |
2 |
0 |
0 |
÷ |
è |
ø. |
Так как D ³ 0 , то третий план перевозок, полученный в пункте 5′
), является оптимальным. Найдем значение функционала (c, x) :
(c, x) = 1× 30 + 2 × 20 + 0 ×10 + 3×10 + 0 ×10 = 100.
Заметим, что в исходной задаче, задаваемой платежной мат-
рицей в виде таблицы 7.1, пункт отправления A3 отсутствовал, он был искусственно введен для сведения задачи к замкнутой моде-
ли. Тот факт, что в полученном плане перевозок x32 = 10 ¹ 0,
x33 = 10 ¹ 0 , означает, что пункты назначения B2 , B3 не будут полностью обслужены. Выпишем ответ для поставленной задачи.
ˆ |
æ |
0 |
20 |
0 |
ö |
|
= 100 |
x = ç |
|
|
|
÷, S |
min |
||
Ответ: |
ç |
30 |
0 |
10 |
÷ |
. |
|
è |
ø |
|
●
Пример 3. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей (табл. 7.5).
Таблица 7.5
|
|
b1 = 11 |
b2 = 2 |
b3 = 6 |
b4 = 7 |
a1 |
= 7 |
2 |
3 |
4 |
1 |
a2 |
= 8 |
3 |
4 |
2 |
5 |
a3 |
= 5 |
1 |
7 |
5 |
7 |
a4 |
= 6 |
5 |
2 |
8 |
2 |
Решение:
4 |
4 |
|
åai = åbj |
= 26 |
|
1) В данной задаче i=1 |
j =1 |
, т.е. имеем замкнутую |
модель |
транспортной задачи. |
|
|
|
|
|||
2) |
Методом северно-западного угла найдем начальный план |
|||||||
перевозок: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
b1 = 11 |
|
b2 = 2 |
b3 = 6 |
b4 = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 = 7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 = 8 |
4 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
a3 = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
a4 = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3) Построим матрицу |
|
: |
|
|
|
|
|
|||
C |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v1 = 2 |
|
v2 = 3 |
v3 = 1 |
v4 = 3 |
||||
|
u1 = 0 |
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
3 |
|
|
u2 = 1 |
3 |
|
|
|
4 |
|
2 |
4 |
|
|
u3 = 4 |
6 |
|
|
|
7 |
|
5 |
7 |
|
|
u4 = −1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Найдем матрицу D = C - C : |
|
|
|
|
||
æ |
0 |
0 |
3 |
− 2 |
ö |
|
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
||||
D = ç |
- 5 |
0 |
0 |
0 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
||||
ç |
4 |
0 |
8 |
0 |
÷ |
|
è |
ø. |
|
||||
Наименьший отрицательный |
элемент матрицы |
равен |
31= −5 < 0.
5)Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий
план перевозок на место нулевого небазисного элемента x31 величину t > 0 :
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − t |
|
2 |
|
2 + t |
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
4 − t |
1 |
|
||
t=4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¾¾® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
2 |
6 |
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
93
Заметим, что здесь обратились в ноль два элемента x21 и x33
. Исключим из числа базисных компонент элемент x33 с большей стоимостью перевозки.
Перейдем к пункту 3′ ). 3′) Построим матрицу C :
|
v1 = 2 |
v2 = 3 |
v3 = 1 |
v4 = 8 |
u1 = 0 |
2 |
3 |
1 |
8 |
u2 = 1 |
3 |
4 |
2 |
9 |
u3 = −1 |
1 |
2 |
0 |
7 |
u4 = −6 |
-4 |
-3 |
-5 |
2 |
4′) Найдем матрицу D = C - C :
æ |
0 |
0 |
3 |
− 7 |
ö |
ç |
0 |
0 |
0 |
- 4 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
D = ç |
0 |
5 |
5 |
0 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
ç |
9 |
5 |
13 |
0 |
÷ |
è |
ø |
Наименьший отрицательный элемент матрицы равен
14 = −7 < 0 .
5′) Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий
план перевозок на место нулевого небазисного элемента x14 величину t > 0 :
|
7 − t |
|
|
t |
|
0 |
2 |
6 |
|
|
4 + t |
|
|
1− t |
|
|
|
|
6 |
|
t=1 |
|
|
|
¾¾® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
94 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
6 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
3′′) Построим матрицу C :
|
|
v1 = 2 |
v2 = 3 |
v3 = 1 |
v4 = 1 |
||
u1 = 0 |
2 |
3 |
|
|
1 |
1 |
|
u2 |
= 1 |
3 |
4 |
|
|
2 |
2 |
u3 = −1 |
1 |
2 |
|
|
0 |
0 |
|
u4 |
= 1 |
3 |
4 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4′′) Найдем матрицу D = C - C : |
|
|
|
||
æ |
0 |
0 |
3 |
0 |
ö |
ç |
0 |
0 |
0 |
3 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
D = ç |
0 |
5 |
5 |
7 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
ç |
2 |
- 2 |
6 |
0 |
÷ |
è |
ø |
Наименьший отрицательный элемент матрицы равен
42 = −2 < 0.
5′′) Построим новый план перевозок, добавляя в предыду-
щий план перевозок на место нулевого небазисного элемента x42 величину t > 0 :
|
6 − t |
|
|
3 |
|
0 + t |
2 − t |
6 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
t |
|
4 |
|
t=2 |
|
|
|
¾¾® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
6 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
3′′′) Построим матрицу C :
95
|
|
v1 = 2 |
v2 = 1 |
v3 = 1 |
v4 = 1 |
u1 = 0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
u2 |
= 1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
u3 = -1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
u4 |
= 1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
4¢¢¢) Найдем матрицу D = C - |
|
: |
|
|
|
||
C |
|
|
|
||||
æ |
0 |
2 |
3 |
|
0 |
ö |
|
ç |
0 |
2 |
0 |
|
3 |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
³ 0 |
||||
D = ç |
0 |
7 |
5 |
|
7 |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
||||
ç |
2 |
0 |
6 |
|
0 |
÷ |
. |
è |
|
ø |
Так как D ³ 0 , то четвертый план перевозок, полученный в пункте 5′′), является оптимальным. Найдем значение функционала
(c, x) :
(c, x) = 2 × 4 + 3× 2 +1× 5 + 2 × 2 + 2 × 6 +1× 3 + 2 × 4 = 46.
|
æ |
4 |
0 |
0 |
3 |
ö |
|
|
|
ç |
2 |
0 |
6 |
0 |
÷ |
|
|
ˆ |
ç |
÷ |
, |
Smin = 46 |
||||
x = ç |
5 |
0 |
0 |
0 |
÷ |
|||
|
ç |
÷ |
|
|
||||
Ответ: |
ç |
0 |
2 |
0 |
4 |
÷ |
|
. ● |
è |
ø |
|
Пример 4. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей (табл. 7.6), при дополнительном требовании полно-
го вывоза груза из пункта A2 .
Таблица 7.6
|
b1 = 10 |
b2 = 20 |
a1 = 25 |
1 |
2 |
a2 = 15 |
3 |
4 |
Решение:
96 |
|
|
|
2 |
2 |
1) Так как a1 + a2 = 40, b1 + b2 = 30 |
å ai > åbj |
|
, то i=1 |
j =1 . Для |
приведения к замкнутой модели введем фиктивный пункт назна-
чения B3 с требуемой величиной ввоза b3 = 40 − 30 = 10. Так как в задаче имеется дополнительное требование полного удовлетво-
рения вывоза груза из пункта A2 , то положим c31 = 0, c32 = M , где M - достаточно большое положительное число. Получим замкнутую модель транспортной задачи со следующей платежной матрицей:
|
|
|
|
b1 = 10 |
b2 = 20 |
b3 = 10 |
|
|
|||||||
|
|
|
a1 = 25 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
a2 = 15 |
3 |
|
|
|
|
4 |
M |
|
|
|||
|
2) Найдем начальный план перевозок методом «северо-за- |
||||||||||||||
падного угла». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Первоначальный план перевозок: |
||||||||||||
|
|
|
|
b1 = 10 |
b2 = 20 |
b3 = 10 |
|
|
|||||||
|
|
|
a1 = 25 |
10 |
|
|
|
15 |
|
|
|
||||
|
|
|
a2 = 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
|
|
|
3) Построим матрицу |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
v1 = 1 |
|
|
|
v2 = 2 |
v3 = M − 2 |
||||||
|
|
|
u1 = 0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
M − 2 |
|
||||
|
|
|
u2 = 2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
M |
|
||||
|
4) Найдем матрицу D = C - |
|
: |
|
|
|
|
||||||||
|
C |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
æ |
0 |
0 |
|
2 − M ö |
|
|
|
||||
|
|
|
|
D = ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
|
0 |
÷ |
|
|
|
|||
|
|
|
как M |
è |
|
ø. |
|
|
|
||||||
|
Так |
|
- |
|
достаточно |
большое число, то |
|||||||||
min |
ij = |
13 = 2 − M < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i, j |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий
97
план перевозок на место нулевого небазисного элемента x13 величину t > 0 :
10 |
15 - t |
5 |
t |
10 |
|
10 |
|
||
|
5 + t 1510 - t |
3′) Построим матрицу C :
|
|
v1 = 1 |
|
|
v2 = 2 |
v3 = 0 |
|
|||||||
|
u1 = 0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
u2 = 2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4′) Найдем матрицу D = C - |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
æ |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
D = ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 M |
- 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
è |
ø. |
|
|
|
|
|
||||||
Так как D ³ 0 , то полученный в пункте 5) план перевозок являет- |
||||||||||||||
ся оптимальным. При этом из пункта A2 весь груз будет вывезен, |
||||||||||||||
а в пункте A1 останется 10 единиц груза. Найдем значение функ- |
||||||||||||||
ционала (c, x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c, x) = 1×10 + 2 × 5 + 0 ×10 + 4 ×15 = 80 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
æ10 |
5 |
ö |
S |
|
= 80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= ç |
|
÷, |
min |
||
|
|
|
|
Ответ: |
ç |
15 |
÷ |
|
. ● |
|||||
|
|
|
|
è 0 |
ø |
|
|
Задачи для самостоятельного решения.
Решить транспортные задачи с заданными платежными матрицами:
7.1.
|
|
b1 = 2 |
b2 = 3 |
b3 = 4 |
b4 = 3 |
a1 |
= 3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
a2 |
= 4 |
4 |
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 = 5 |
0 |
2 |
2 |
1 |
|
7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 = 50 |
b2 = 100 |
b3 = 40 |
b4 = 110 |
|
a1 |
= 85 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
a2 |
= 90 |
5 |
2 |
4 |
1 |
|
a3 = 125 |
4 |
2 |
3 |
5 |
7.3.
|
|
b1 = 30 |
b2 = 30 |
b3 = 20 |
a1 |
= 20 |
1 |
2 |
3 |
a2 |
= 40 |
2 |
3 |
3 |
7.4.
|
|
b1 = 130 |
b2 = 220 |
b3 = 60 |
b4 = 70 |
a1 |
= 120 |
1 |
7 |
9 |
5 |
a2 = 280 |
4 |
2 |
6 |
8 |
|
a3 |
= 160 |
3 |
8 |
1 |
2 |
7.5. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей, при дополнительном требовании удовлетворения пункта на-
значения B2 :
|
b1 = 25 |
b2 = 15 |
a1 = 10 |
1 |
2 |
a2 = 20 |
3 |
4 |
Занятие 8. Простейшая задача классического вариационного исчисления.
Рассмотрим некоторое функциональное пространство X .
Пусть каждому элементу x = x(t) Î G Ì X поставлено в соответствие число I . Тогда говорят, что на множестве G X задан
функционал I( x) = I( x(×)) .
Линейное пространство X называется нормированным, если
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
на |
X |
определен функционал |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
: X ® R , называемый нормой и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющий условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
³ 0 "x Î X , причем |
|
|
|
x |
|
|
|
= 0 Û x = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
αx |
|
|
|
= |
|
α |
|
× |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
"α Î R, "x Î X ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
|
|
|
x1 + x2 |
|
|
|
£ |
|
|
|
x1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
"x1, x2 Î X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Будем рассматривать следующие функциональные про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
странства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1) C([t0 ;t1]) |
|
|
|
|
- пространство функций, непрерывных на отрез- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[t |
|
;t |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(×) |
|
|
|
0 |
= |
max |
|
|
x(t) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
[t |
|
,t |
] |
|
|
|
|
||||||||||
ке |
0 |
|
с введенной в нем нормой |
|
0 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
C1([t |
0 |
;t |
]) |
|
|
|
|
- пространство функций, имеющих непрерыв- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную производную на отрезке [t0 ;t1] с нормой
x(×)1 = max{ x(×)0, x(×)0} .
Определение. Простейшей задачей классического вариационного исчисления (КВИ) называется следующая экстремальная
задача в пространстве C1([t0 ;t1]) :
I( x(×)) = |
t1 |
|
x(t0 ) = x0, x(t1) = x1 |
|
ò |
|
|||
L(t, x(t) , x(t))dt ® extr; |
|
|||
|
t0 |
|
. |
(з) |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь L = L(t, x, x) - функция трех переменных, называемая |
||||||
интегрантом, отрезок [t0 ;t1] фиксирован и конечен, t0 < t1. |
▲ |
|||||
Определение. Функции |
x(×) ÎC1([t |
0 |
;t |
]) |
, удовлетворяющие |
|
|
1 |
|
||||
краевым условиям x(t0 ) = x0 , |
x(t1 ) = x1, называются допустимы- |
|||||
ми. |
|
|
|
|
|
▲ |
0100090000030202000002008a01000000008a01000026060f000a03
574d464301000000000001005e860000000001000000e80200000000
0000e8020000010000006c00000000000000000000002c0000007100
00000000000000000000582300001221000020454d4600000100e802
100
00000e0000000200000000000000000000000000000080120000a81a
0000c800000021010000000000000000000000000000400d0300e868
0400160000000c000000180000000a00000010000000000000000000
000009000000100000005c080000d0070000250000000c0000000e00
0080120000000c000000010000005200000070010000010000009cffff
ff00000000000000000000000090010000000000cc074000125400690
06d006500730020004e0065007700200052006f006d0061006e000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000d935093000000000040000000000ae3016360930
0000000047169001cc0002020603050405020304ff3a00e0417800c00
900000000000000ff01000000000000540069006d0065007300200000
0065007700200052006f006d0061006e000000333f00002c0c0000101
4000074481700387d086e000000005848170012b50230584817004c6
eaf30704817006476000800000000250000000c000000010000001800
00000c00000000000002540000005400000000000000000000002c00
00007100000001000000982287408d858740000000005a0000000100
00004c0000000400000000000000000000005a080000d00700005000
00002000ffff2d00000046000000280000001c0000004744494302000
000ffffffffffffffff5d080000d107000000000000460000001400000008
0000004744494303000000250000000c0000000e0000800e00000014
0000000000000010000000140000000400000003010800050000000b
0200000000050000000c02f0000101040000002e0118001c000000fb0
20200010000000000bc02000000cc0102022253797374656d0000000
03f3f3f3f0000000000000000000000003f3f3f3f3f00040000002d0100
0004000000020101001c000000fb02f4ff0000000000009001000000cc
0740001254696d6573204e657720526f6d616e0000000000000000000
000000000000000040000002d010100050000000902000000020d000
000320a0b00000001000400000000000001f00020000500040000002
d010000030000000000
Рис. 8.1
Определение. Говорят, что допустимая функция xˆ(×) достав-