Metody_optimizatsii_Shatina_A_V
.pdf
|
|
|
|
111 |
|
ляет в задаче абсолютный минимум. |
|
||||
ˆ( |
t |
) |
æ |
π ö |
|
x |
|
= çt - |
÷sin t Î abs min з |
. ● |
|
Ответ: |
|
|
è |
2 ø |
В качестве следующего примера приведем одну из классических задач вариационного исчисления – задачу о брахистохроне, сформулированную в 1696 году Бернулли. Задача состоит в отыскании траектории быстрейшего ската материальной точки под действием силы тяжести между двумя заданными точками A и B , не лежащими на одной вертикальной прямой. Эта задача была решена самим И. Бернулли, а также Лейбницем, Я. Бернулли и Ньютоном.
Пример 5. Задача о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B . Определить путь, спускаясь по которому под действием собственной тяжести тело M , начав двигаться из точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Решение: Введем в плоскости систему координат Oxy , где ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена вертикально вниз, а точка A совпадает с началом координат (рис. 8.2). Пусть B( x1, y1 )
, а y = y( x) - функция, задающая уравнение кривой, соединяющей точки A и B .
В соответствии с законом Галилея скорость тела M в точке ( x, y( x)) не зависит от формы кривой, а зависит лишь от y( x) и
выражается формулой vM = 2gy( x) , где g - ускорение силы тяжести. Время, требуемое для преодоления участка кривой длины
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
1+ y¢2 ( x)dx |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
dx2 + dy2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
ds = |
равно |
2gy( x) |
2gy( x) |
. Откуда получает- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ся следующая формализация задачи о брахистохроне: |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ y¢ |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
I( y(×)) = ò1 |
|
|
dx ® min, y(0) = 0, y( x1 ) = y1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2gy |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
|
|
|
1+ y |
¢2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрант задачи |
|
|
|
|
2gy |
|
|
не зависит явно от x , следо- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
вательно, имеет место интеграл энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
¢ |
′ |
- L |
= h Û y |
¢ |
× |
|
|
|
|
|
|
y¢ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
1+ y¢2 |
|
= h Û |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y Ly |
|
|
|
|
|
1+ y¢2 |
|
|
2gy |
|
|
|
2gy |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
¢2 ) |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Û - |
1+ y¢2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= h Þ h < 0, |
y 1+ y |
|
|
|
= C1 |
|||||||||||||||||||
|
2gy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.2
Из последнего уравнения получаем (учитывая, что y′ > 0 ) дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
||
y¢ = |
1 |
-1 Þ ò |
|
|
|
|
|
= ò dx |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
C1 - y |
|
|
|||
Выполним замену переменной: |
y = C 2 sin |
2 t |
, тогда |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
dy = 2C 2 cost sin tdt |
|
и |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
C12 ò 2sin2 tdt = ò dx . Интегрируя последнее равенство, полу-
|
|
|
113 |
чаем: |
|
2 |
|
ì |
|
(2t - sin 2t), |
|
ïx = C2 |
+ C1 |
||
ï |
|
2 |
|
í |
C 2 |
|
|
ï |
(1- cos 2t). |
||
ïy = |
1 |
||
î |
2 |
|
(4) |
Так как кривая проходит через точку A(0;0) , то C2 = 0. По-
стоянна C1 находится из условия y( x1) = y1. Уравнения (4) являются параметрическими уравнениями семейства циклоид. Следовательно, кривой наискорейшего спуска является циклоида. ●
Задачи для самостоятельного решения.
|
1 |
2 |
|
2 |
x)dt ® extr, |
x(0) = x(1) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
- t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ò (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.1.0 |
|
|
-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
2 |
dt ® extr, |
x(2) = 0, x(3) = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.2. |
ò (t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1) = 0, x(e) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
® extr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.3. |
òtx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
+ 4xsht)dt ® extr, x(0) |
= -1, x(1) = 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
+ x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
ò (x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.4.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
π 2 |
2 |
- x |
2 |
)dt ® extr; x(0) = 1, |
æπ |
ö |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(x |
|
|
xç |
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||
8.5. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π 2 |
2 |
- x |
2 |
- 4x sin t)dt ® extr; |
x(0) |
= |
|
æπ |
ö |
= 0 |
||||||||||||
|
ò |
|
0, |
||||||||||||||||||||
|
|
(x |
|
|
xç |
2 |
÷ |
||||||||||||||||
8.6. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dt ® extr, x(1) = 1, x(2) = 0 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.7. |
ò (x |
|
2xx + x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
- x)e |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2t |
dt, x(0) = 0, x(1) = e |
−1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
- x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ò (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.8. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114 |
π |
2 |
- x |
2 |
+ 4x cost)dt |
® extr; x(0) = 0, x(π ) = 0 |
|
|
||||||
ò (x |
|
|||||
8.9. 0 |
e |
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
x(1) = 0, x(e) = 1 |
|
|
|
|
|
|||
8.10. |
ò (tx |
|
+ xx)dt ® extr, |
|||
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
I( x) = ò xx |
|
|||
8.11. Найти допустимые экстремали функционала |
|
0 |
|
, |
|
|
x(0) = 1, x(1) = 3 |
|
|
|
|
удовлетворяющие граничным условиям |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 9. Задача Больца.
Определение. Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C1([t0 ;t1]) :
|
|
|
|
|
B( x(×)) |
t1 |
|
|
+ l ( x(t0 ), x(t1) ) ® extr |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= ò L(t, x(t), x(t))dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(з) |
|
|
|
|
|
|
|
|
- функция трех переменных, называемая |
||||||||
|
Здесь L = L(t, x, x) |
|||||||||||||||
интегрантом, l = l( x(t0 ), x(t1 )) |
- функция двух переменных, назы- |
|||||||||||||||
ваемая |
терминантом, |
отрезок [t0 ;t1] |
фиксирован и |
конечен, |
||||||||||||
t0 < t1. Функционал B называется функционалом Больца. |
▲ |
|||||||||||||||
|
Определение. Функции |
x(×) ÎC1([t |
0 |
;t |
]) |
называются допу- |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
стимыми в задаче. |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Говорят, что допустимая функция x(×) доставляет слабый локаль- |
||||||||||||||||
ный |
минимум |
(максимум) |
в |
задаче |
(з), |
пишут: |
||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Îlocmin з (x Îlocmax з) , если δ > 0 такое, что для любой до- |
|||||||||||||||
пустимой |
|
функции |
x(×) , |
|
удовлетворяющей |
условию |
||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
< δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(×) - x(×) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
||
|
|
|
|
1 |
|
, |
выполнено |
неравенство |
|
|
B( x(×)) ³ B(x(×)) |
|||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
▲ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(B( x(×)) £ B(x(×))). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
доставляет слабый локальный |
||||||
|
Теорема. Пусть функция x(×) |
116
λ = 0. В силу условий гладкости функция ϕ(λ) дифференцируема в точке λ = 0 и по теореме Ферма ϕ′(0) = 0.
Продифференцируем функцию ϕ(λ) :
ϕ¢(λ) = tò1 {Lx (t, xˆ(t) + λh(t), xˆ(t) + λh(t) )× h(t) +
t0
+Lx (t, xˆ(t) + λh(t), xˆ(t) + λh(t) )× h(t)}dt +
+lx(t0 ) (xˆ(t0 ) + λh(t0 ), xˆ(t1) + λh(t1)) × h(t0 ) +
+lx(t1) (xˆ(t0 ) + λh(t0 ), xˆ(t1) + λh(t1)) × h(t1) ;
ϕ (0) = |
t1 |
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
× h(t ) = 0 |
|
|
{L |
(t) × h(t) + L |
(t) × h(t)}dt + l |
|
× h(t ) + l |
||||
¢ |
ò x |
|
x |
|
|
x(t0 ) |
0 x(t1) |
1 |
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
"h ÎC1([t0;t1]) .
Так как равенство (1) справедливо для любой функции
h ÎC1([t0 ;t1]) , то оно остается справедливым и для любой функции h ÎC01 ([t0 ;t1]) с нулевыми граничными условиями. Поэтому
|
|
|
|
t1 |
ˆ |
|
(t) |
× h(t) |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
"h ÎC |
1 |
([t |
|
;t ]) |
|
||||||||||
|
|
|
|
ò |
{L |
x |
+ L (t) × h(t)}dt = |
|
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
ˆ |
|
Согласно лемме Дюбуа-Реймона (см. предыдущее занятие) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(t) ÎC |
1 |
([t |
;t ]) |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 1 |
|
и функция |
x(×) |
удовлетворяет уравнению Эйлера: |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
"t Î[t |
|
|
;t ] |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
L (t) + L |
x |
(t) = 0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Осталось вывести условия трансверсальности. Проинтегри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
руем по частям второе слагаемое в равенстве (1): |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t1 ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
t1 |
|
t1 d |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
(t) × h(t)dt = |
L |
(t) × h(t) |
|
- |
|
|
|
|
L (t) ×h(t)dt |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ò |
|
ò dt |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
t0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (2) в (1):
117
t1 é ˆ |
|
|
d ˆ |
|
|
ù |
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
||||||
ò |
ê |
L |
x |
(t) - |
|
L |
(t) |
ú |
h(t)dt + L |
(t |
)h(t |
) - L |
(t |
0 |
)h(t |
0 |
) + l |
x(t0 ) |
h(t |
0 |
) + l |
x(t1) |
h(t |
) = 0 |
||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
x |
|
|
x |
1 |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
t0 |
ë |
|
|
|
|
|
|
û |
|
"h ÎC1([t |
|
|
|
]) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
;t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу уравнения Эйлера выражение в квадратных скобках, стоящее под знаком интеграла в равенстве (3), тождественно рав-
но нулю. Поэтому получаем следующее равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
(t |
|
|
ˆ |
|
)h(t ) |
|
|
ˆ |
|
(t |
|
|
|
ˆ |
|
)h(t |
|
) = 0 "h ÎC |
1 |
([t |
|
|
, t |
]) |
|
|
|
||||||||||
(L |
) + l |
x(t1) |
+ (- L |
0 |
) + l |
x |
(t0 ) |
0 |
|
0 |
. (4) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) = t - t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
) |
|
||||||
|
Положим |
0 |
. Тогда из (4) получим: |
|
Lx (t1) |
= -lx(t |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Положим h(t) = t - t1. Тогда из (4) получим: |
L |
0 |
) = l |
x(t0 ) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема полностью доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
+ 2tx)dt + x |
2 |
(2) - 2x(0) ® extr |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B( x(×)) = ò (x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Пример 1. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение: Интегрант задачи равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2tx , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
L = L(t, x, x) = x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
терминант задачи имеет вид |
|
l = l( x(0), x(2)) = x2 (2) - 2x(0) |
. Выпи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
шем необходимые условия локального экстремума: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) уравнение Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
- |
|
d |
L |
|
+ L |
|
= 0 Û - |
|
d |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
б) условия трансверсальности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L (0) = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
Û 2x(0) = -2 Û x(0) = -1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
L |
(2) = -l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем уравнение Эйлера:
x = t, x = t22 + C1, x = t63 + C1t + C2 .
Постоянные C1,C2 найдем из условий трансверсальности: x(0) = -1Þ C1 = -1,
|
+ C |
æ |
4 |
+ 2C + C |
|
ö |
x(2) = -x(2) Þ 2 |
= -ç |
3 |
|
÷ |
||
|
1 |
è |
1 |
2 |
ø. |
Откуда получаем C1 = -1, C2
экстремаль задачи имеет вид:
Покажем, что xˆ(t) доставляет абсолютный минимум в задаче, т.е. покажем, что для любой допустимой функции x выполне-
но неравенство B( x) ³ B(xˆ). Представим функцию x в виде: x(t) = xˆ(t) + h(t) , где h ÎC1([0;2]) . Рассмотрим разность
B(xˆ + h) - B(xˆ):
B(x + h) - B( |
x) |
2 |
ì |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ü |
(x( |
2) + h(2)) |
2 |
- 2(x(0) + h(0)) - |
||||||||||||
= |
í(x + h) |
|
+ 2t(x + h)ýdt + |
|
||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
0ò |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
î |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
2 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ò (x |
|
+ 2tx)dt - x |
|
(2) + 2x(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= ò{2xh + h |
|
+ 2ht}dt + 2x(2)h(2) + h (2) - 2h(0) = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2ht }dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
ˆ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
ˆ |
|
|
- ò |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
2xh |
|
0 |
2xhdt |
+ ò{h |
|
+ 2x(2)h(2) + h (2) - 2h(0) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ 2t]dt + |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
(2) |
||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
+ h |
|
||||||
= (2x(2) + 2x(2))h(2) |
- (2x(0) + 2)h(0) + ò[- |
2x |
ò h dt |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
Учитывая уравнение Эйлера и условия трансверсальности, полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||
чим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
+ h) - B( |
ˆ |
|
|
2 |
dt |
+ h |
2 |
( |
2) ³ 0 |
|
"h ÎC |
1 |
([0;2]) |
|
|
|
|||||||||
|
B(x |
x) = ò h |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда следует, что найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум.
119
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
t3 |
- t - |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x(t) |
|
= 6 |
3 Îabsmin з . ● |
||||||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
- x)dt - |
|
x2 (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
B( x( |
×)) = ò |
|
|
|
|
2 |
|
® extr |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Решение: Интегрант и терминант задачи имеют вид: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
- x, l = - |
x2 (1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
L = x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Выпишем необходимые условия локального экстремума: |
|||||||||||||||||||||||
а) уравнение Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- |
d |
L |
+ L |
|
= 0 Û - |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 = 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dt |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) условия трансверсальности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
L (0) = l |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
L (1) = -l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
x(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Найдем общее решение дифференциального уравнения Эй-
лера:
x = - 12 , x = - 2t + C1, x = - t42 + C1t + C2 .
Постоянные C1,C2 найдем из условий трансверсальности: x(0) = 0 Þ C1 = 0 ;
|
|
|
|
|
|
1 |
2x(1) = x(1) Þ -1+ 2C1 = - |
4 + C1 + C2 . |
|||||
Получаем: C1 = 0, C2 = - |
3 |
ˆ |
t2 + 3 |
|||
4 |
, x(t) = - |
4 . |
||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
Проведем исследование полученного решения x(t) . Для это- |
||||||
го возьмем произвольную допустимую функцию |
||||||
ˆ |
h(t) ÎC |
1 |
([0;1]) |
и рассмотрим разность: |
||
x(t) = x(t) + h(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
(x(1) + h(1)) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
2 |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
B(x + h) - B( |
x) = |
0ò |
í(x |
+ h) - ( |
x + h)ýdt - |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ2 |
(1) |
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)) = |
|
||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- ò{x |
|
- x}dt + |
|
|
= ò{2xh |
+ h |
|
- h}dt - 2 (2x(1)h(1) + h |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
ˆ |
|
|
- ò |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
h (1) = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2xh |
|
0 |
2xhdt + ò{h |
|
- h}dt - x(1)h(1) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-1]hdt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
(1) = |
|
|||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (2x(1) |
- x(1))h(1) - 2x(0)h(0) + ò |
[- 2x |
ò h dt - 2 h |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dt - |
1 |
2 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò h |
2 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
Рассмотрим |
последовательность |
функций |
|
yn (t) = x(t) + |
n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого значения n = 1,2,... функции yn являются допустимы-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ми и, кроме того, |
|
|
|
|
yn (×) - x(×) |
|
|
|
1 ® 0 при n → ∞. Тогда |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
< 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B( yn ) - B(x) = - |
2n2 |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для |
другой |
допустимой |
|
последовательности |
функций |
||||||||||||||||||||||
|
ˆ |
|
|
t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
zn (t) = x(t) + |
n , |
сходящейся |
к |
|
|
ˆ |
|
|
|
по |
норме пространства |
|||||||||||||||||
C1([0;1]) |
|
|
|
x(×) |
|
|||||||||||||||||||||||
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
é |
1 |
|
ù |
|
= |
|
1 |
> 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
údt |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
B( zn ) - B(x) = ò |
|
2 |
|
|
n |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ën |
|
û |
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
Следовательно, единственная |
|
допустимая |
экстремаль |
||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
t2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = - |
|
4 не доставляет локального экстремума в поставлен- |
||||||||||||||||||||||||||
ной задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Покажем, что Smax = +¥, |
Smin = -¥. Действительно, для по- |
||||||||||||||||||||||||||
следовательности функций xn (t) |
= n(t -1) |
|
имеем: |
|