Краткий курс математического анализа. Том 2

рический многочлен T (x), что для всех точек x [−π, π] выполняется неравенство

|f (x) − T (x)| < ε.

В силу теоремы 6 в качестве требуемого тригонометрического многочлена T (x) можно взять сумму Фейера с соответствующего порядка.

Т е о р е м а 8 (Вейерштрасс). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то для любого ε > 0 существует такой алгебраический многочлен P (x), что для всех x [a, b] выполняется неравенство

Так как по условиям теоремы функция f непрерывна на отрезке [a, b], то функция f непрерывна на отрезке [−π, π], и в силу ее четности f (−π) = f (π). Поэтому, согласно теореме 7, для любого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T (t), что

Тригонометрический многочлен T (t), являясь конечной линейной комбинацией синусов и косинусов кратных дуг, раскладывается в сте-

пенной ряд:

∞

T (t) = cntn,

n=0

сходящийся на всей числовой оси и, следовательно, равномерно сходящийся на любом конечном отрезке (п. 32.1), в частности на отрезке [−π, π]. Поэтому для выбранного ε > 0 существует такой номер nε,

302 Гл. 6. Гармонический анализ

Найдя t из равенства (51.71),

Отметим, что всякое измерение может быть сделано лишь с определенной точностью, поэтому практически принципиально невозможно установить, что любой нарисованный график непрерывной функции не является графиком многочлена.

З а м е ч а н и е. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то согласно теореме Вейерштрасса (см. теорему 8) существует последовательность многочленов {Pn(x)}, равномерно сходящаяся на отрезке [a, b] к функции f :

(чтобы получить такую последовательность, достаточно обозначить через Pn(x) многочлен, удовлетворяющий условию (51.70) при ε = = 1/n, n = 1, 2, ...), и, таким образом, функция f оказывается представимой в виде суммы равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда

∞

Очевидно и обратное: всякая функция, являющаяся пределом равномерно сходящейся на некотором отрезке последовательности многочленов, является непрерывной на этом отрезке (теорема 7 из п. 31.4). Иначе говоря, условие (51.76), или, что то же самое, условие (51.77), является необходимым и достаточным для того, чтобы функция была непрерывной. Тем самым, всякая непрерывная на отрезке функция может быть записана с помощью формулы вида (51.77).

§52. Функциональные пространства

52.1.Метрические пространства. Одним из основных

свойств n-мерных евклидовых пространств является то, что в них для любых двух точек x и y определено расстояние ρ(x, y),

удовлетворяющее трем условиям:

1)ρ(x, y) 0, причем ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;

2)для любых точек x и y имеет место равенство ρ(x, y) = ρ(y, x);

Метрические пространства, элементами которых являются функции, называются функциональными метрическими пространства-

ми. Примерами таких пространств являются пространства B(X)

и CL[a, b].

Всякое подмножество метрического пространства является также

метрическим пространством с тем же самым расстоянием и называется подпространством исходного пространства.

Например, множество рациональных чисел Q, будучи подмножеством действительных чисел R, является метрическим пространством с расстоянием ρ(x, y) = |x − y|, x Q, y Q.

Если X и Y — метрические пространства с метриками ρX и ρY и отображение f : X → Y является биекцией, т. е. взаимно однозначно отображает множество X на множество Y и сохраняет рас-

стояние (для любых точек x X и x X выполняется равенство ρY (f (x), f (x )) = ρX (x, x )), то отображение f называется изометрией

или изометрическим отображением X на Y , а метрические пространства X и Y — изометрическими.

Например, если на геометрической плоскости, на которой, как обычно, расстоянием между двумя ее точками A и B является длина отрезка с концами в точках A и B (ρ(A, B) = |AB|), задать прямоугольную декартову систему координат и каждой геометрической точке A сопоставить ее координаты (x, y), то получим отображение f (A) = (x, y) геометрической плоскости на арифметическую плоскость, т. е. на множество упорядоченных пар действительных чисел, на котором расстояние между точками (x, y) и (x , y ) определяется

по формуле

ρ((x, y), (x , y )) = (x − x )2 + (y − y )2 .

Можно показать, что f является изометрическим отображением геометрической плоскости на арифметическую и что, следовательно, эти плоскости изометричны.

О п р е д е л е н и е 2. Последовательность {xn} точек метрического пространства называется сходящейся к точке x этого пространства,

если lim ρ(xn, x) = 0. В этом случае пишут

n→∞

lim xn = x.

n→∞

Рассмотрим, что означает сходимость последовательности функций в пространстве B(X) (см. пример 4). Если ϕn B(X), ϕ B(X)

и в смысле метрики пространства B(X) имеет место lim ϕn = ϕ,

n→∞

то в силу (52.2) это означает, что

lim sup |ϕn(x) − ϕ(x)| = 0,

n→∞ x X

а это означает, что последовательность {ϕn} равномерно на множестве X сходится к функции ϕ. Таким образом, сходимость в пространстве B(X) означает равномерную сходимость.

Опишем еще сходимость в пространстве CL[a, b] (пример 5). Последовательность функций ϕn CL[a, b] сходится к функции ϕ CL[a, b] в пространстве CL[a, b], если

b

lim |ϕn(x) − ϕ(x)| dx = 0.

n→∞

a

Мы уже встречались с подобного рода сходимостью в п. 51.2, правда, в случае, когда функции ϕn были ступенчатыми и поэтому, вообще говоря, разрывными.

О п р е д е л е н и е 3. Последовательность {xn} точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательно-

стью Коши, если для любого ε > 0 существует такой номер nε, что для всех номеров n > nε и m > nε выполняется неравенство

ρ(xn, xm) < ε.

Л е м м а 1. Если последовательность точек метрического пространства сходится, то она является фундаментальной последовательностью.

Если в метрическом пространстве lim xn = x, то согласно опре-

n→∞

делению 2 для любого ε > 0 существует такой номер nε, что для всех номеров n > nε выполняется неравенство ρ(xn, x) < ε/2. Поэтому если n > nε и m > nε, то

Это и означает, что последовательность {xn} фундаментальная.

О п р е д е л е н и е 4. Метрическое пространство называется полным, если всякая его фундаментальная последовательность сходится.

Пространства действительных чисел, комплексных чисел, евклидово пространство Rn являются примерами полных пространств, поскольку для них имеет место критерий Коши сходимости последовательностей (условие, что последовательность удовлетворяет условию Коши, совпадает с условием фундаментальности последовательности).

Множество рациональных чисел является примером неполного пространства. В самом деле, пусть, например, числа xn Q, n = 1, 2, ..., являются соответственно нижними десятичными приближениями порядка n числа √2 . Тогда поскольку в пространстве действительных чисел R последовательность {xn} сходится к √2 , то она фундаментальная в R, а следовательно, и в Q. В силу же того, что предел

сходящейся в R последовательности единствен, и того, что √2 Q, последовательность {xn} не имеет предела в Q.

Примером полного функционального метрического пространства является пространство B(X) (пример 4). Действительно, сходимость в пространстве B(X) означает равномерную сходимость. Отсюда согласно критерию Коши равномерной сходимости (теорема 1 из п. 31.2) вытекает, что всякая фундаментальная в пространстве B(X) последовательность равномерно сходится, а так как предел равномерно сходящейся последовательности ограниченных функций также является ограниченной функцией (почему?), то этот предел принадлежит пространству B(X), что и означает полноту пространства B(X).

Теперь заметим, что совершенно аналогично теореме 7 п. 31.4 доказывается, что если все функции последовательности, равномерно сходящейся на некотором множестве Rn (в теореме 7 было X R), непрерывны в некоторой точке этого пространства, то и предельная функция непрерывна в этой точке. Из этого следует, что предел равномерно сходящейся на множестве X Rn последовательности непрерывных на нем функций также является непрерывной на этом множестве функцией.

Пусть множество X представляет собой компакт, лежащий в пространстве Rn. Обозначим через C(X) пространство всех непрерывных на X функций. Если f C(X), то функция f ограничена (теорема 1 из п. 35.1), следовательно, C(X) B(X). Множество C(X), будучи подмножеством метрического пространства B(X), само является метрическим пространством, а так как согласно сказанному выше предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также является непрерывной функцией, то пространство C(X) является полным подпространством полного пространства B(X).

С помощью понятия расстояния в любом метрическом пространстве совершенно аналогично случаю n-мерного пространства Rn вводятся понятия ε-окрестности, открытого множества, точки прикосновения, предельной, изолированной и граничной точек множества, замыкания множества и замкнутого множества. Переносятся на случай произвольных метрических пространств и все утверждения, сделанные в § 33, при доказательстве которых использовались лишь три свойства расстояния. Мы сохраним принятые в § 33 обозначения: U (x) для окрестности точки x и E для замыкания множества E, лежащего

врассматриваемом метрическом пространстве.

Оп р е д е л е н и е 5. Подмножество E метрического пространства X называется плотным в пространстве X, если его замыка-

ние E совпадает со всем пространством X: E = X.

О п р е д е л е н и е 6. Полное метрическое пространство X называется пополнением метрического пространства X, если X плотно в нем:

X = X .

П р и м е р. Множество действительных чисел является пополнением множества рациональных чисел.

Прежде чем рассматривать вопрос о пополнении метрических пространств, докажем одну простую лемму.

Л е м м а 2. Для любых четырех точек x, y, u, v метрического пространства X имеет место неравенство (называемое неравенством четырехугольника)

В самом деле, применив дважды неравенство треугольника, получим

ρ(x, y) ρ(x, u) + ρ(u, y) ρ(x, u) + ρ(u, v) + ρ(v, y).

Отсюда

ρ(x, y) − ρ(u, v) ρ(x, u) + ρ(v, y).

Аналогично,

ρ(u, v) − ρ(x, y) ρ(x, u) + ρ(v, y).

Из последних двух неравенств следует неравенство (52.4).

Те о р е м а 1. Для всякого метрического пространства существует его пополнение.

Пусть дано метрическое пространство X. Построение его пополнения, которое обозначим через X , разобьем на несколько шагов.

1. К о н с т р у к ц и я X . Последовательности xn X, yn X, n = 1, 2, ..., называются эквивалентными, если

В этом случае будем писать {xn} {yn}.

Рассмотрим множество X , состоящее из классов x эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей простран-

ства X:

X = {x }, x = {{xn}},

где {xn} — фундаментальные в пространстве X последовательности, причем если {xn} x X и {yn} y X , то {xn} {yn} в том и только том случае, если x = y .

2. О п р е д е л е н и е р а с с т о я н и я в X . Пусть x X , y

X , {xn} x , {yn} y . Положим

Покажем, что это определение корректно, т.е. что указанный предел существует и не зависит от выбора указанных последовательностей {xn} и {yn} соответственно в классах x и y .

Применив неравенство (52.4) к точкам xm, ym, xn, yn, получим

Последовательности {xn} и {yn} по условию фундаментальные, поэтому для любого ε > 0 существует такой номер nε, что для всех n > nε и m > nε выполняются неравенства

ρ(xm, xn) < 2ε , ρ(ym, yn) < 2ε .

Следовательно, при m > nε и n > nε из (52.7) имеем

|ρ(xm, ym) − ρ(xn, yn)| < 2ε + 2ε = ε,

т. е. числовая последовательность {ρ(xn, yn)} фундаментальная, и потому, согласно критерию Коши, сходится. Таким образом, предел (52.6) действительно всегда существует.

Если {xn} x и {yn} y , то в силу доказанного существует

предел lim ρ(xn, yn). Из неравенства четырехугольника (52.4), при-

n→∞

мененного к точкам xn, yn, xn, yn, следует, что

|ρ(xn, yn) − ρ(xn, yn)| ρ(xn, xn) + ρ(yn, yn).

Согласно же определению (52.5) для эквивалентных последовательностей {xn} {xn} и {yn} {yn} имеют место равенства

т. е. действительно значение функции ρ (x , y ) не зависит от выбора

последовательностей {xn} x и {yn} y .

3. П р о в е р к а с в о й с т в р а с с т о я н и я д л я ф у н к ц и и ρ . Пусть {xn} x и {yn} y . Из неравенств ρ(xn, yn) 0, n = 1, 2, ..., предельным переходом при n → ∞ получим в силу (52.6) неравенство

ρ (x , y ) 0. Условие ρ (x , y ) = 0 в силу того же определения (52.6)

равносильно условию lim ρ(xn, yn) = 0, что согласно определению

n→∞

(52.5) эквивалентных последовательностей означает, что последовательности {xn} и {yn} эквивалентны, т. е. принадлежат одному и тому же классу. Иначе говоря, x = y .

Далее,

ρ (x , y ) = lim ρ(xn, yn) = lim ρ(yn, xn) = ρ (y , x ).

n→∞ n→∞

Наконец, если еще {zn} z X , то, перейдя к пределу в неравенстве

ρ(xn, yn) ρ(xn, zn) + ρ(zn, yn), n = 1, 2, ...,