Краткий курс математического анализа. Том 2

272 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

зависящий от двух параметров p и q, называется бета-функцией. Гамма-функция и бета-функция называются эйлеровыми интеграла-

ми. Разобьем интеграл (50.24) на два интеграла:

1

Так как интеграл xs−1 dx сходится при s > 0 и расходится при

0

+∞

s 0, а интеграл e−x/2 dx сходится, то в силу равенства (50.26)

1

формула (50.24) для определения гамма-функции Γ(s) имеет смысл только при s > 0. Иначе говоря, если s > 0, то интеграл (50.24) сходится; если же s 0, то он расходится.

Аналогично,

1

B(p, q) = xp−1(1 − x)q−1 dx =

xp−1(1 − x)q−1 (1 − x)q−1 при x → 1.

1/2

Поскольку интеграл xp−1 dx сходится при p > 0 и расходится

0

1

при p 0, а интеграл (1 − x)q−1 dx сходится при q > 0 и расходится

1/2

при q 0, то в силу равенства (50.27) формула (50.25) для определения бета-функции B(p, q) имеет смысл только при p > 0 и q > 0, т. е. при этих значениях параметров интеграл (50.25) сходится, а если хотя бы одно из условий p > 0 и q > 0 не выполняется, то интеграл (50.25) расходится.

50.4. Интеграл Дирихле. Рассмотрим на примере интеграла

метод вычисления определенных интегралов с помощью интегралов, зависящих от параметра.

жается через элементарные функции и тем самым интеграл (50.28) нельзя вычислить с помощью формулы Ньютона–Лейбница.

Интеграл (50.28) сходится при всех значениях α. В самом деле, если α = 0, то, очевидно, I(0) = 0. Если же α = 0, то, сделав замену переменной t = αx при α > 0 и t = −αx при α < 0, получим

Интеграл же I(1) сходится (см. п. 29.6), поэтому сходится и инте-

грал I(α).

Интеграл (50.28) называют интегралом Дирихле или разрывным множителем Дирихле (поскольку этот интеграл как функция пара-

метра α, −∞ < α < +∞, имеет разрыв при α = 0).

Если формально продифференцировать по правилу Лейбница ин-

+∞

0

Поэтому для вычисления интеграла I(α) рассмотрим более общий

интеграл

+∞

I(α, β) = e−βx sin αx dx. x

0

Продифференцировав по правилу Лейбница интеграл I(α, β) по параметру α, получим интеграл

+∞

0

который при любом фиксированном β > 0 равномерно сходится относительно параметра α, −∞ < α < +∞. Следовательно, к интегралу I(α, β) при β > 0 можно применить правило Лейбница дифференцирования по параметру α. Заметив, что интеграл (50.29)

что и доказывает равномерную сходимость интеграла I(α, β) по параметру β на отрезке [0, b]. Теперь, в силу следствия теоремы 3 п. 50.2,

т. е. функция sign x может быть задана не только словесным описанием, но и аналитическим выражением.

Действительно, например,

Аналогично доказываются другие равенства (51.3). Прежде всего возникает вопрос, как найти коэффициенты триго-

нометрического ряда (51.1), если известна его сумма. Ответ на него легко дать, когда ряд (51.1) сходится равномерно на всей числовой оси.

Те о р е м а 1. Если тригонометрический ряд (51.1) равномерно сходится на всей числовой оси и f — его сумма, т. е.

∞

−π

Поскольку ряд, стоящий в правой части равенства (51.4), равномерно сходится, то его можно почленно интегрировать (теорема 8 из п. 31.4) на отрезке [−π, π]. Поэтому, проинтегрировав обе части равенства (51.4), будем иметь

Отсюда сразу следует первая формула (51.5).

Если обе части равенства (51.4) умножить на cos mx или на sin mx, m N, то, поскольку эти функции ограничены на числовой оси, в правой части будут снова стоять ряды, равномерно сходящиеся

на всей числовой оси (см. замечание 3 в п. 31.2). Для доказательства оставшихся формул (51.5) достаточно проинтегрировать обе части каждого из получившихся равенств и воспользоваться формулами (51.3). Например,

π

f (x) cos mx dx =

−π

З а м е ч а н и е 1. Напомним (см. п. 29.5), что функция f называется абсолютно интегрируемой на некотором конечном или бесконечном промежутке с концами a и b, −∞ a < b +∞, если существует конечное число точек xj , j = 0, 1, ..., k, расширенной числовой прямой R таких, что:

1)a = x0 < x1 < ... < xj < ... < xk = b;

2)функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [ξ, η]

(xj−1, xj ), j = 1, 2, ..., k;

Всякое множество {x0, x1, ..., xk} указанных точек называется правильным разбиением на интервалы (xj−1, xj ) промежутка интегриро-

вания абсолютно интегрируемой функции f. Отметим, что интеграл (51.6) не зависит от выбора правильного разбиения промежутка интегрирования.

З а м е ч а н и е 2. Если функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π], то из неравенств |f (x) cos nx| |f (x)|, |f (x) sin nx|

также абсолютно (см. замечание из п. 29.5), а следовательно, и просто сходятся. Таким образом, формулы (51.5) имеют смысл для любой абсолютно интегрируемой на отрезке [−π, π] функции.

О п р е д е л е н и е 1. Если функция f абсолютно интегрируема на

отрезке [−π, π], то тригонометрический ряд (51.1), коэффициенты которого заданы формулами (51.5), называется тригонометрическим рядом Фурье (или, короче, рядом Фурье) функции f , его коэффициенты (51.5) — коэффициентами Фурье функции f (по тригонометри-

ческой системе функций (51.2)), а частичные суммы порядка n ряда Фурье — суммами Фурье порядка n функции f.

Если ряд (51.1) является рядом Фурье функции f , то пишут

∞

f a0 + an cos nx + bn sin nx.

n=1

Используя введенные термины, теорему 1 можно перефразировать следующим образом.

Т е о р е м а 1. Равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

За м е ч а н и е 3. Если у интегрируемой (в собственном или не собственном смысле) функции изменить ее значения на конечном множестве точек, то она останется интегрируемой, и значение инте-

грала от нее по указанному промежутку не изменится. Поэтому две абсолютно интегрируемые на отрезке [−π, π] функции, отличающиеся друг от друга лишь на конечном множестве точек, имеют одинаковые ряды Фурье.

За м е ч а н и е 4. Напомним еще, что число T > 0 называется периодом функции f , если для любого числа x, принадлежащего области определения X R функции f , числа x + T и x − T также принад-

лежат X и для всякого x X выполняется условие f (x + T ) = f (x). Функция, имеющая период T , называется T -периодической.

Если функция f определена, например, на отрезке [−π, π], то при f (−π) = f (π) ее нельзя продолжить на всю числовую ось так, чтобы получилась 2π-периодическая функция, а ее сужение на полуинтервале [−π, π) можно продолжить указанным образом: следует положить

Функция f , очевидно, 2π-периодическая и на отрезке [−π, π] отличается от функции f , быть может, только в одной точке x = π.