Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 2

.pdf

Скачиваний:

329

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

260Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Те о р е м а 4. Если функция f (x, y) непрерывна на прямоугольнике P (49.11), то

d	d	b	b	d
Φ(y) dy =	dy	f (x, y) dx =	dx	f (x, y) dy.	(49.12)
c	c	a	a	c

Равенство (49.12) следует из того, что оба повторных инте-

грала в этой формуле равны двойному интегралу	f (x, y) dx dy
(см. п. 43.1).	P
(см. п. 43.1).

Установим теперь правило дифференцирования интегралов, зависящих от параметров.

Т е о р е м а 5 (правило Лейбница). Если функция f (x, y) и ее част-

ная производная	∂f (x, y)			непрерывны на прямоугольнике P (49.11),
ная производная				непрерывны на прямоугольнике P (49.11),
то		∂y
то			b		b
			b		b
		d		f (x, y) dx =		∂f (x, y)	dx.	(49.13)
		dy		f (x, y) dx =		∂y	dx.	(49.13)
		dy				∂y

Применив формулу конечных приращений Лагранжа, найдем выражение для ΔΦy :

ΔΦ

Φ(y + y) − Φ(y)

[f (x, y + y)

f (x, y)] dx =

y ≡

−

(49.9)

∂f (x, y + θ y)

dx, (49.14)

∂y

(49.15)

0 < θ < 1.

ΔΦ

∂f (x, y)

Нам

надо

оценить

поведение разности

−

при

∂y

y → 0. Имеем

∂f (x, y)

∂f (x, y + θ y)

∂f (x, y)

ΔΦ

y − a

dx − a

∂y

(49.14) a

∂y

	, y + θ	y)
∂f (x	∂y		−

∂f (x, y) dx. (49.16) ∂y

§ 49. Интегралы, зависящие от параметра

261

Функция ∂f (x, y) по условию непрерывна на прямоугольнике

∂y

P. Поскольку прямоугольник является компактом, то производная

∂f (x, y) равномерно непрерывна на P. Зададим произвольно ε > 0.

∂y

Тогда, согласно определению равномерной непрерывности, существу-

ет такое δ > 0,

что при

| y| < δ,

y [c, d],

y + y [c, d],

x [a, b],

выполняется неравенство

∂f (x

, y + y)

(x, y)

−

∂f

(49.17)

∂y

b − a

Если

< δ,

то

|θ y|

49 18

(49.15) | y| < δ

( . )

поэтому для всех указанных

y выполняется неравенство

∂f (x, y)

ΔΦ

y − a

∂y

dx (49.16)

(49.16)

		, y + θ	y)
a	∂f (x	∂y		−

∂f (x, y)						b
	dx			ε		dx = ε.
				ε

∂y		(49.17)	b	−	a
		(49.18)		−		a

Это означает, что

∂f (x, y)

lim

ΔΦ

dx,

∂y

y→

т. е. производная

dΦ

существует и имеет место формула (49.13).

З а м е ч а н и е 2. Для интеграла

ψ(y)

Ψ(y) =

f (x, y) dx,

ϕ(y)

у которого функции

ϕ и

ψ дифференцируемы на отрезке

[c, d],

а функции

f и

∂f

непрерывны на множестве E (49.10), причем

∂y

E P , по правилу дифференцирования сложной функции

F (y, u, v) = f (x, y) dx,

u = ϕ(y),

v = ψ(y),

имеем

∂F

∂F du

∂F dv

∂f (x, y)

dx + f (v, y)

− f (u, y)

∂y

∂u

∂v dy

∂y

262 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

откуда

	ψ(y)	ψ(y)
d	f (x, y) dx =		∂f (x, y)	dy + f (ψ(y), y)	dψ(y)	− f (ϕ(y), y)	dϕ(y)	.
dy	f (x, y) dx =		∂y	dy + f (ψ(y), y)	dy	− f (ϕ(y), y)	dy	.
	ϕ(y)	ϕ(y)

§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

50.1. Равномерно сходящиеся интегралы. Рассмотрим интеграл

b
Φ(y) = f (x, y) dx, −∞ a < b +∞, y Y ,	(50.1)

где Y — некоторое множество, и при любом фиксированном y Y существует, вообще говоря, несобственный интеграл (50.1).

Здесь возможны следующие три случая:

1)a и b конечны, а функция f ограничена на множестве (a, b) ×

×Y = {(x, y) : a < x < b, y Y };

2) a и b конечны, а функция f не ограничена на множестве

(a, b) × Y ;

3) имеет место либо a = −∞, либо b = +∞, либо и то и другое. В первом случае при любом y Y интеграл (50.1), зависящий

от параметра, является интегралом Римана и называется также собственным интегралом, зависящим от параметра (интегралы, рас-

сматривавшиеся в § 49, относятся к этому типу).

Интеграл (50.1), для которого возможен любой из трех вышеуказанных случаев, называется несобственным интегралом, зависящим от параметра.

Таким образом, собственный интеграл, зависящий от параметра, является частным случаем несобственного интеграла, зависящего от параметра. Однако существенным для нового понятия — понятия н е с о б с т в е н н о г о интеграла, зависящего от параметра, — являются, конечно, случаи 2) и 3).

О п р е д е л е н и е 1. Если для любого y Y интеграл (50.1) сходится, то он называется сходящимся на множестве Y.

Заметим, что сходящийся несобственный интеграл, зависящий от параметра, при некоторых, а иногда и при всех значениях параметра может оказаться даже в вышеуказанном случае 2) собственным интегралом, т. е. интегралом Римана.

Рассмотрим подробно случаи (рис. 61):

1)−∞ < a < b +∞;

2)для каждого y Y функция f (x, y) интегрируема в смысле Римана по переменной x на любом отрезке [a, η], где a < η < b.

§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

263

Другие случаи несобственных интегралов, зависящих от параметра, рассматриваются аналогичным образом.

Сходимость интеграла (50.1) на множестве Y при выполнении условий 1) и 2) означает, что для любого y Y существует конечный предел

ηb

lim f (x, y) dx =		f (x, y) dx.	(50.2)
η→b
a		a
Поскольку	η
b	η	b
f (x, y) dx = f (x, y) dx + f (x, y) dx,			(50.3)
a	a	η
то в случае сходящегося на множестве Y интеграла для каждого
y Y имеем	b
	b
lim	f (x, y) dx = 0.		(50.4)
η→b

О п р е д е л е н и е 2. Если у сходящегося на множестве Y интеграла (50.1) стремление к пределу в формуле (50.4) происходит равномерно на множестве Y , т. е.

f (x, y) dx 0, η	→	b, a < η < b,	(50.5)
Y	→

то интеграл (50.1) называется равномерно сходящимся на множестве Y .

Согласно лемме п. 49.1, условие (50.5) равносильно условию

	b
lim sup		f (x, y) dx	= 0.	(50.6)

η→b y Y η

Вспомнив определение равномерной сходимости семейства функций по параметру (параметром здесь является переменная η [a, b))

264 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

на множестве Y (в данном случае множество, которое играет роль множества X в определении 1 п. 49.1, обозначено через Y ) и заметив, что пересечение любой окрестности точки b с конечным или бесконечным полуинтервалом [a, b) имеет вид интервала (η, b), условие (50.5) «на языке ε–δ» можно сформулировать следующим образом.

Сходящийся на множестве Y интеграл (50.1) называется равномерно сходящимся на этом множестве, если для любого ε > 0 суще-

ствует такое ηε, a ηε < b, что для всех y Y и всех η, ηε < η < b, выполняется неравенство

b
	< ε.	(50.7)
η f (x, y) dx	< ε.	(50.7)

В силу равенства (50.3) условие (50.5) можно записать в виде

bη

f (x, y) dx − f (x, y) dx 0, η → b,

	Y
a	a
откуда	b
η	b
f (x, y) dx f (x, y) dx, η → b.		(50.8)
	Y
a	a
Если положить
	η
	def	(50.9)
Φ(y, η) = f (x, y) dx, a η < b,		(50.9)

и использовать обозначение (50.1), то условие (50.8) можно записать в виде

Φ(y, η) Φ(y), η	→	b.	(50.10)
Y	→
		+∞
П р и м е р 1. Рассмотрим интеграл Φ(y) =			ye−xy dx. В качестве

множества Y возьмем числовую полуось y 0 (при любом y < 0 этот интеграл расходится; почему?). Легко убедиться, что рассматриваемый интеграл сходится на множестве Y. Он даже вычисляется: при y = 0 он равен нулю, а при y > 0 имеем

+∞	ye−xy dx =	+∞	+	∞	= 1.
0	ye−xy dx =	0	e−xy d(xy) = e−xy 0	∞	= 1.

Для каждого α > 0 он сходится равномерно на промежутке [α, +∞).

§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

265

+∞

ye−xy dx = e−ηy, легко проверить,

Действительно, заметив, что

например, выполнение условия (50.6):

+∞

−

= η→+∞ y α

−

η→+∞

−

η→+∞ y α η

lim sup

lim

sup e

ηy =

lim

e αη = 0.

На всей же полуоси Y равномерной сходимости нет. В самом деле,

+∞

−

η→+∞ y 0

xy dx

lim

sup

= lim sup e ηy = 1,

т.е. на множестве Y условие (50.6) не выполняется.

Пр и м е р 2. Рассмотрим более общий случай. Если функция f

непрерывна и неотрицательна при x 0, а интеграл

+∞

f (x) dx схо-

+∞

дится, то для любого α > 0 интеграл

f (yαx) dx не сходится рав-

номерно на полуоси y > 0, но при любом y0 > 0 сходится равномерно

на полуоси y y0.

Действительно, для любого η > 0 имеем

+∞

sup

f (yαx) dx =α

sup

f (t) dt

y>0

t=y

x y>0

yα η

+∞

0<y<sup 1

f (t) dt 0<y<sup 1

f (t) dt = +∞,

yα

yα η

+∞

f (yαx) dx = +

lim sup

т. е. условие (50.6) не выпол-

поэтому η +

∞

→ ∞ y>0

няется, что и означает, что рассматриваемый интеграл не сходится

равномерно для y > 0. Если же y y0 > 0, то

	+∞	1		+∞	1	+∞
sup	f (yαx) dx = sup	1		f (t) dt =	1	f (t) dt,
sup	f (yαx) dx = sup		α	f (t) dt =	α	f (t) dt,
y y0	t=yα x y y0	y		yα η	y0	yα η
	η			yα η		yα η
						0

266 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

+∞

а так как интеграл f (t) dt сходится, и, следовательно,

lim f (t) dt = 0,

η→+∞

y0α η

то из полученного неравенства имеем

+∞

lim sup f (yαx) dx = 0,

η→+∞ y y0 η

т. е. при y y0 выполняется условие (50.6), а это и означает равно-

мерную сходимость рассматриваемого интеграла при y y0.

+∞

В частности, интеграл e−yx2 dx является интегралом указанно-

го вида при f (t) = e−t2 и α = 1/2. Поэтому этот интеграл не сходится равномерно для y > 0, но при любом y0 > 0 он сходится равномерно для y y0.

З а м е ч а н и е 1. Отметим, что равномерная сходимость интеграла не сохраняется, вообще говоря, при замене переменной интегрирова-

ния, содержащей параметр. Так, в примере 2 сходящийся интеграл

+∞

f (t) dt > 0, f (t) 0, 0 < t < +∞, сходится равномерно, так как во-

0			+∞	f (yαx) dx, получающийся
все не зависит от параметра, а интеграл				f (yαx) dx, получающийся
	из		0
	из	данного заменой переменной t = yαx,
	не сходится равномерно на множестве y > 0.
		Те о р е м а 1 (критерий Коши). Для того
			b
	чтобы интеграл f (x, y) dx равномерно схо-
			a
			a
	дился на множестве Y , необходимо и доста-
	точно, чтобы для любого ε > 0 существова-
	ло такое ηε, a ηε < b, что для всех y Y
и для всех η и η , ηε < η		< b, ηε < η < b, выполнялось неравенство
(рис. 62)		η
		η


		η	f (x, y) dx < ε.

Утверждение сразу следует из критерия Коши равномерной сходимости семейства функций, примененного к функции Φ(y, η)

§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра			267
см. (50.9)), ибо
η	η	η
f (x, y) dx = f (x, y) dx − f (x, y) dx = Φ(y, η ) − Φ(y, η ).
η	a	a
Т е о р е м а 2	(признак Вейерштрасса). Если существует такая
		b

функция ϕ(x) 0, a x < b, что интеграл	ϕ(x) dx сходится и для
	a
любого x [a, b) и любого y Y выполняется неравенство
\|f (x, y)\| ϕ(x),	(50.11)

то интеграл f (x, y) dx равномерно сходится на множестве Y.

Прежде всего заметим, что из неравенства (50.11) в силу признака сравнения для сходимости несобственных интегралов (см. п. 29.3) сле-

дует, что при всех y Y интегралы f (x, y) dx абсолютно, а поэтому

и просто сходятся.	a

Зафиксируем произвольно ε > 0. Из сходимости интеграла

ϕ(x) dx следует, что существует такое число η0 [a, b), что для всех

η [η0, b) выполняется неравенство

ϕ(x) dx < ε, а поэтому для всех

y Y и всех η [η0, b) будем иметь

(50.11) η ϕ(x) dx < ε.

(50.12)

η f (x, y) dx η |f (x, y)| dx

Это и означает равномерную сходимость на множестве Y интегра-

ла f (x, y) dx.

+∞

равномерно сходится на всей

П р и м е р 3. Интеграл

1 + x

+ y

+∞

числовой оси, так как интеграл

сходится и для всех x R,

1 + x2

y R выполняется неравенство

1 + x2 + y2

1 + x2

268 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

З а м е ч а н и е 2. Если интеграл f (x, y) dx (равномерно) сходится

на множестве	Y и	ηn → b,	a	η0 = a,	n = 1, 2, ..., то
на множестве	Y и	ηn → b,	a ηn < b,	η0 = a,	n = 1, 2, ..., то
последовательность функций
			ηn
			def		(50.13)
		Φn(y) = f (x, y) dx			(50.13)
			a
(равномерно)	сходится на Y		к функции	(50.1) (см. замечание 1
в п. 49.1) и, следовательно, на множестве Y (равномерно) сходится ряд
	∞	ηn	b
	∞	f (x, y) dx = f (x, y) dx,			(50.14)
		f (x, y) dx = f (x, y) dx,			(50.14)
	n=1		a
		ηn−1	a

для которого последовательность (50.13) является последовательностью его частичных сумм sn(y):

n	ηk	ηn
n
sn(y) =		f (x, y) dx = f (x, y) dx = Φn(y),
k=1		η0
ηk−1		η0

ибо η0 = a.

Представление несобственного интеграла, зависящего от параметра, в виде ряда (50.14) часто бывает удобным использовать для изучения этого интеграла, в чем мы убедимся уже в п. 50.2.

50.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра. Для единообразия терминологии будем полуполосу

P = {(x, y) : −∞ < a x < +∞, c y d}

(50.15)

называть бесконечным прямоугольником, в отличие от обычного «полуоткрытого» прямоугольника

P = {(x, y) : −∞ < a x < b < +∞,

c y d},

который будет называться также и конечным прямоугольником (рис. 63). Здесь, как

и выше, c и d — числа, т. е. −∞ < c < +∞,

−∞ < d < +∞.

Те о р е м а 3. Если функция f (x, y) непрерывна на конечном или бесконечном

прямоугольнике P , а интеграл f (x, y) dx равномерно сходится на

отрезке [c, d], то этот интеграл является непрерывной функцией переменной y на указанном отрезке.

§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

269

С л е д с т в и е. В условиях теоремы

b b b

lim

f (x

y) dx =

lim f (x, y) dx =

f (x

y0) dx

y0 [c

d].

y y0

→

Согласно формуле (50.14) интеграл

f (x, y) dx является суммой

∞

ηn

равномерно сходящегося на отрезке [c, d] ряда

f (x, y) dx, чле-

n=1

ηn−1

ны которого, согласно теореме 2 п. 49.2, непрерывны на этом отрезке,

поэтому сам интеграл f (x, y) dx также является непрерывной на [c, d]

функцией (теорема 7 из п. 31.4), т. е. для любого y [c, d] имеет место равенство

lim f (x, y) dx = f (x, y0) dx.

y→y0

Следствие вытекает из того, что в силу непрерывности функции f выполняется равенство

b b

lim f (x, y) dx =	f (x, y0) dx.
y→y0
a	a

Т е о р е м а 4. Если функция f (x, y) непрерывна на конечном или

бесконечном прямоугольнике P , а интеграл f (x, y) dx равномерно

сходится на отрезке [c, d], то			a
сходится на отрезке [c, d], то
d	b	b	d
dy	f (x, y) dx =	dx	f (x, y) dy.	(50.16)
c	a	a	c
		b
Прежде всего, поскольку интеграл			f (x, y) dx, согласно теореме 3,

является непрерывной на отрезке [c, d] функцией, то интеграл, стоящий в левой части равенства (50.16), существует.

Для доказательства формулы (50.16) снова используем разложение (50.14), заметив, что в условиях теоремы каждый член ряда (50.14) в силу теоремы 2 п. 49.2 является непрерывной функцией. Применив теорему о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда непрерывных на отрезке функций (см. теорему 8 в п. 31.4)

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019317.95 Кб15Копия Т Ф К П.doc
#
10.05.20151.13 Mб10КР по ТПР Чекменёв А.С..docx
#
10.05.2015649.22 Кб77КР_Ромашин_РС110_2012_1.doc
#
24.09.2019131.07 Кб5КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ АХОВ.doc
#
10.05.20155.57 Mб752Краткий курс математического анализа. Том 1.pdf
#
10.05.20154.49 Mб329Краткий курс математического анализа. Том 2.pdf
#
10.05.20151.56 Mб90краткое сожержание курса БЖД.doc
#
16.11.201929.92 Кб28кризис.docx
#
16.03.20162.51 Mб726Криминология Малков В. Д..doc
#
27.11.2019524.29 Кб69Курс лекций Интернет-технологии.doc
#
10.05.20151.03 Mб197Курс лекций Сети ЭВМ Петров.doc