Краткий курс математического анализа. Том 2
.pdf
250 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
рования, соединяющего точки A и B. Начнем с доказательства этого утверждения. Предварительно докажем лемму.
Л е м м а. Для того чтобы для любого кусочно-гладкого замкнутого контура Γ, лежащего в области G, циркуляция по нему векторного поля a равнялась нулю, т. е.
a dr = 0, |
(48.43) |
Γ
необходимо и достаточно, чтобы для любых точек A G и B G интеграл a dr не зависел от выбора кривой AB, соединяющей эти
|
|
|
AB |
точки в области G. |
|
|
|
Если выполнено условие (48.43), A G, B G, a AB и (AB)1 — |
|
кусочно-гладкие кривые, соединяющие в G точки A и B, то, заметив,
что кривая Γ = AB (BA)1 |
является кусочно-гладким замкнутым |
||||
контуром (рис. 56), будем иметь |
|
||||
a dr − |
a dr = a dr + a dr = |
||||
|
(45.15) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
(AB)1 |
AB |
(BA)1 |
|
|
|
|
|
= a dr |
= 0, |
|
|
|
|
|
(48.43) |
откуда и следует, что |
Γ |
|
|||
|
|
||||
|
|
|
a dr = |
a dr. |
(48.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
(AB)1 |
|
|
Если, наоборот, для любых точек A G, B G и любых кусочно-
гладких кривых AB G и (AB)1 G выполняется условие (48.44),
аΓ — кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в G, то, выбрав
,B Γ, получим Γ = AB (BA)1
и, следовательно,
a dr = a dr + a dr = a dr − a dr = 0.
Γ |
|
|
|
|
|
AB |
(BA)1 |
AB |
(AB)1 |
Те о р е м а 6. Для того чтобы непрерывное векторное поле было потенциальным в области, необходимо и достаточно, чтобы его циркуляция по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равнялась нулю.
Пусть для определенности G — область в трехмерном про-
странстве. |
Если векторное |
поле a = |
(P , Q, R) потенциальное |
в G, то |
это означает, что |
существует |
потенциальная функция |
§ 48. Скалярные и векторные поля |
251 |
u = u(M ) = u(x, y, z), M = (x, y, z) G, т. е. такая функция u, чтоu = a в G, или, в координатной записи,
∂u |
= P , |
∂u |
= Q, |
∂u |
= R, |
(48.45) |
|
∂x |
∂y |
∂z |
|||||
|
|
|
|
иначе говоря, выражение P dx + Q dy + R dz является дифференциалом функции u = u(x, y, z).
Пусть A G, B G и
{ , , ; }
AB = x(t) y(t) z(t) a t b
— кусочно-гладкая кривая, соединяющая в G точки A и B; тогда
a dr = P dx + Q dy + R dz =
(45.19)
AB |
AB b |
|
∂u(x(t), y(t), z(t)) |
|
+ |
|
∂u(x(t), y(t), z(t)) |
|
||||
|
= |
x (t) |
|
y (t) + |
||||||||
|
(45.19) a |
|
∂x |
|
b |
|
|
∂y |
||||
|
+ |
∂u(x(t) |
, y(t), z(t)) |
z (t) dt = |
|
|
d |
|
||||
|
|
|
|
u(x(t), y(t), z(t)) dt = |
||||||||
|
|
∂z |
|
dt |
||||||||
a
= u(x(b), y(b), z(b)) − u(x(a), y(a), z(a)) = u(B) − u(A).
Таким образом, интеграл a dr не зависит от выбора кривой AB,
AB
соединяющей точки A и B, а зависит только от самих этих точек. Следовательно, согласно лемме выполняется и условие (48.43).
Пусть теперь циркуляция векторного поля a по любому замкнутому контуру, лежащему в области G, равна нулю. Зафиксируем какую-либо точку M0 G. Определим функ-
цию u(M ) по формуле
u(M ) = a dr = P dx + Q dy + R dz,
M0M M0M
M G, (48.46)
где M0M — какая-либо кривая, соединяющая в G точки M0 и M. Формула (48.46) определяет однозначную функцию в G,
так как интеграл (48.46) не зависит от пути интегрирования, соединяющего в G точки
M0 и M (см. лемму). Покажем, что функция u(M ) является потенциальной функцией векторного поля a. Для этого вычислим частные производные функции u(M ) в точке M.
Поскольку точка M внутренняя для области G, то существует такое число δ > 0, что δ-окрестность точки M содержится в G (рис. 57).
252 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
Если 0 < |h| < δ, то отрезок M Mh с концами в точках M = (x, y, z) и Mh = (x + h, y, z) лежит в области G, и, следовательно, по нему
можно брать интеграл a dr. Поскольку отрезок M Mh параллелен
MMh
оси x, то (см. формулу (45.14), в которой в рассматриваемом здесь случае cos α = 1, cos β = cos γ = 0, s = x)
a dr = |
(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds = |
P (x, y, z) dx. |
||||||||||
MMh |
|
|
|
MMh |
|
|
|
|
|
|
MMh |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
y |
, z) |
− u(x |
, |
y |
, |
z) = |
a dr |
− |
a dr = |
a dr = |
|
u(x + h |
|
|
|
|
|
(48.47) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MMh |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0M MMh |
|
M0M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
= |
|
P (x, y, z) dx = P (x + t, y, z) dt = P (x + θh, y, z)h, |
|||||||||
(48.47) |
|
|
|
|
|
|
(45.19) |
|
|
|
||
|
|
MMh |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
0 < θ < 1
(в конце, использовав непрерывность векторного поля a и, следовательно, непрерывность функции P (x, y, z), мы применили интегральную теорему о среднем). Отсюда следует, что существует предел
lim |
u(x + h, y, z) − u(x, y, z) |
= lim P (x + θh, y, z) = P (x, y, z), |
||||||
0 |
h |
0 |
|
|
|
|
|
|
h→ |
|
h→ |
|
|
|
|
|
|
и, таким образом, в точке M имеет место равенство |
∂u |
= P. |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
||
Аналогично доказываются равенства |
∂u |
= Q, |
∂u |
= R, т. е. дей- |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
∂y |
∂z |
||||
ствительно функция u(x, y, z) является потенциальной функцией для векторного поля a.
З а м е ч а н и е 1. Отметим, что в процессе доказательства теоремы мы получили полезную формулу для вычисления интеграла a dr в случае, когда известна потенциальная функция u(M ) век-
AB
торного поля a(M ): a dr = u(B) − u(A).
AB
Эта формула является прямым обобщением формулы Ньютона– Лейбница для интегралов по отрезку.
Условие (48.43) потенциальности поля так же, как и существование потенциальной функции, трудно проверяемы. Докажем для одного класса областей более удобный для применения критерий потенциальности поля.
§ 48. Скалярные и векторные поля |
253 |
О п р е д е л е н и е 1. Множество X R3 называется односвязным, если для любого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в X, существует кусочно-гладкая ориентируемая поверхность S, краем которой он является и которая также лежит в X.
Рассматриваемые здесь поверхности S могут самопересекаться. В случае, когда множество X лежит на некоторой плоскости R2 R3, согласно сделанному определению поверхность S также помещается на той же плоскости.
Можно показать, что определение односвязности для п л о с к и х о б л а с т е й равносильно выполнению следующего условия: каков бы ни был кусочно-гладкий простой замкнутый контур, лежащий в области G, ограниченная им конечная об-
ласть D также содержится в G (рис. 58).
Наглядно это означает, что плоская область односвязна тогда, когда она не имеет «дыр».
Примерами односвязных областей являются выпуклые области, в частности, вся плоскость в плоском случае и все пространство
в пространственном случае. В пространстве 
односвязной областью может быть и область с «дырами», например, открытый шаровой слой, т. е. множество то-
чек, лежащих между двумя концентрическими сферами. Примером неодносвязной области на плоскости является плоское кольцо, а в пространстве — тор.
Те о р е м а 7. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было потенциальным в односвязной области (плоской или пространственной), необходимо и достаточно, чтобы его вихрь в этой области равнялся нулю.
Таким образом, непрерывно дифференцируемое векторное поле a потенциально в односвязной области G тогда и только тогда, когда в G
rot a = 0. |
(48.48) |
Если G — трехмерная область и a = (P , Q, R), то в координатной записи условие (48.48) имеет вид (см. (48.5))
∂R |
= |
∂Q |
, |
∂P |
= |
∂R , |
∂Q |
= |
∂P |
. |
(48.49) |
|
∂y |
|
∂z |
∂x |
|
|
|||||||
|
∂z |
|
∂x |
|
∂y |
|
||||||
Если же G — плоская область, a = (P , Q), P = P (x, y), Q = Q(x, y), то координатная запись условия (48.48) приобретает вид
∂P |
= |
∂Q . |
(48.50) |
|
∂x |
||||
|
∂y |
|
254 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
Если поле a потенциальное, т. е. у него существует потенциальная функция u, то (см. (48.45))
P = |
∂u |
, Q = |
∂u |
, R = |
∂u |
. |
(48.51) |
∂x |
|
|
|||||
|
|
∂y |
∂z |
|
|||
В этом случае равенства (48.49) имеют место (даже и без условия односвязности области G), так как они означают равенство смешанных вторых производных потенциальной функции u, например,
∂R |
= ∂ |
|
∂u |
|
= |
∂ |
|
∂u |
|
= ∂Q . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂y |
(48.51) ∂y |
∂z |
|
∂z |
∂y |
(48.51) ∂z |
|||||||
Наоборот, если выполняется условие (48.48), или, что то же самое, условие (48.49), и Γ — кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области G, то в силу ее односвязности существует кусочно-гладкая ориентируемая поверхность S G, для которой контур Γ является ее краем, а тогда по теореме Стокса
a dr = rot a dS = 0,
(48.48)
ΓS
т.е. выполняется условие потенциальности векторного поля a (см. теорему 6).
За м е ч а н и е 2. При доказательстве необходимости условий теоремы не использовалась односвязность области, в которой задано векторное поле. Это означает, что потенциальное поле в любой области является безвихревым, т. е. его вихрь равен нулю во всех точках области.
За м е ч а н и е 3. Условие потенциальности a = u непрерывного векторного поля a = (P , Q, R) в некоторой области равносильно тому,
что функция P dx + Q dy + R dz является полным дифференциалом функции u = u(x, y, z) в указанной области. Поэтому теорема 7 может
быть перефразирована следующим образом.
Если функции P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) непрерывно дифференцируемы в односвязной области G, то для того, чтобы функция P dx + Q dy + R dz была в G полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы в области G выполнялись условия (48.49).
З а м е ч а н и е 4. Если функции P , Q, R непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (x0, y0, z0), то теорема 7 дает ответ на вопрос: когда существует окрестность точки (x0, y0, z0), в которой функция P dx + Q dy + R dz является полным дифференциалом некоторой функции u = u(x, y, z)? Действительно, поскольку открытый шар является односвязной областью, то согласно теореме 7 ответ на поставленный вопрос гласит: тогда и только тогда, когда у точки (x0, y0, z0) существует окрестность, в которой выполняются условия
