24. Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства, таблица интегралов.

Ф-ция F(x) называется первообразной для f(x) на некотором интервале. F’(x)=f(x)

Теорема. Если ф-ция f(x) имеет хотя бы одну первообразную F(x),то ф-ция F(x)+C также является первообразной f(x).

Совокупность всех первообразных для f(x) назыв. неопределенным интегралом от этой ф-ции и

обозначается. ∫f(x)dx=F(x)+C f(x)-подынтегральная ф-ция, f(x)dx- подынтегральное выражение.

Свойства. 1) (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2) d∫f(x)dx =(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

3) ∫df(x)dx=∫f’(x)dx =f(x)+C

Теорема. Если f(x) непрерывна на интервале (а,b),то она имеет на нем первообразную.

Геометрический смысл первообразной. ∫f(x)dx =F(x)+C=y эти уравнения определяют множества кривых, которые назыв. интегральными кривыми. Для того чтобы выделить из семейства интегральных кривых одну, задают начальные условия, что равносильно заданию точки, через которую проходит искомая интегральная кривая.

25. Методы интегрирования:метод разложения,метод замены переменной.

1) ∫f1(x)+f2(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx

2) ∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx

3) Если ∫f(x)dx=F(x)+C ,то ∫f(u)du =F(u)+C , где u=φ(x)

I. ∫λ₁f₁(x)+…+λ_nf_n(x)dx= λ₁∫f₁(x)dx+ λ_n∫f_n(x)dx

II. Метод замены переменной

∫f(x)dx=|x=φ(t), dx=φ’(t)dt|=∫f(φ(t))φ’(t)dt

Группы интегралов берущихся с помощью одной и той же подстановки.

I.

II.

III.

IV.

{замена }

V.

26. Интегралы от квадратного трехчлена. Интегрирование по частям.

1.

;

2.

3.

+ln (сумма 2х интегралов)

4.

5.

Интегрирование по частям. u=u(x) и v=v(x)-дифф-емые ф-ци), du*v=u*dv+v*du→u*dv=duv-v*du→- ф-ла интегрирования по частям.

Тригонометрические подстановки:

1) ,

2)

3)

27. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных функций

R(x)=P(x)/Q(x),P(x),Q(x)-многочлены степени m и n, если m<n-правильная рац.дробь, если m=>n-неправ.рац дробь

P(x)/Q(x)-неправ.рац.дробь→P(x)/Q(x)=F(x)+ P1(x) /Q(x)

Среди правильных рациональных дробей разделяют 4 вида простых или простейших дробей

1) 2)

3) 4)

Теорема.Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей

Разложение правильной дроби на простые связано с разложением знаменателя на множители.

(m-степ, n- степ ,m<n)

Установлено, что каждому множителю в разложении знаменателя соответствует суммаk простых дробей вида

, а каждому множителю соответствует суммаs простых дробей вида:

Т.о. зная разложение знаменателя на множители, мы знаем знаменатели тех простых дробей, на сумму которых разлагается данная рациональная дробь; числители этих простых дробей зависят от неопределенных коэффициентов.

1) правильная или неправильная

2) неправильная выделяем целую часть

3) разлагаем правильную на сумму простых дробей

4) берем инт-л от каждого слагаемого

Т.о. интегралы от любой рациональной функции берутся

Интегралы от некоторых иррациональных выражений.

R () – рациональное ф-ция от

I.

II.