4.Первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы ии докажем, что они равны 1

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из :| LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x)  

  Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

      (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величинывозрастают. Поэтому последовательность—возрастающая, при этом

     (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3):.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквойe. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:, гдеn = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку− x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.

5. Непрерывность ф-ции. Точки разрыва. Их классификация.

y=f(x), x₀

x₀→x, x-x₀=∆x, приращение аргумента в т. X,

x =x₀+∆x; f(x)-f(x₀)=∆y – приращение ф-ции в т.x₀

∆y=f(x₀ + x)-f(x₀ )

Опр. Ф-я y=f(x) наз. непрерывной в т. х₀, если lim(∆x→0) y=0 (1),

(1) →lim(∆x→0) [f(x₀ +₀x)-f(x₀)]=0

(2) →lim(x→x ₀ ) f(x)=f(x₀)

(1) и (2) – эквивалентные определения непрерывности

f(x₀ -0)+f(x₀ +0) →f(x₀) (3)

Из предыдущего ясно, что если f(x) непрерывна в т. x₀, то выполняется рав-во (3)

Докажем, что у=sinx непрерывна для всех х: lim(∆x→0)∆y =lim(∆x→0) [sin(x₀ +∆x)-sinx₀ ] =lim(∆x→0) (sinx₀cos∆x+cosx₀sin∆x-sinx₀)=lim(∆x→0) (sinx₀ –sinx₀ )=0

Опр. Ф-я y=f(x) непрерывна в интервале (а,b) если она непрерывна во всех т-ках этого интервала.

Ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке (а,b) если она непрерывна во всех внутренних т-ках этого отрезка, а так же непрерывна справа в т. а(т.е сущ. lim(∆x→0) f(x)=f(a)) и непрерывна слева в т.b (т.е lim(∆x→0) f(x)=f(b)) Аналогично, как для sin можно док-ть, что все основные элементарные ф-ции непрерывны во всех областях, где они определены.

Точки разрыва.

Если для y=f(x) рав-во (3): f(x₀ -0)+f(x₀ +0) =f(x₀) нарушается, то х₀ - точка разрыва

Характер нарушения рав-ва (3) кладется в основу классификации точек разрыва:

1. а) если f(x₀ -0) и f(x₀ +0) сущ-ют и f(x₀ -0) ≠f(x₀ +0), то х₀ - наз. т-кой разрыва 1-го рода с конечным скачком.

Разность f(x₀ -0)-f(x₀ +0) наз скачком ф-ции в т.х₀ b)Если в т. х f(x₀ -0) = f(x₀ +0) ≠f(x₀ ), то х₀ наз т-кой разрыва 1 рода устранимой.

2. Если хотя бы один из пределов f(x ₀-0) или f(x₀ +0) не сущ-ет или =∞, то х₀ наз т-кой разрыва 2-го рода ф-ции y=f(x)