28. Интегрирование некоторых тригонометрических ф-ций

1.

2.

3. (m и n – четные)

Формулы понижения степени:

Тригонометрические подстановки:

1) ,

2)

3)

29. Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а,b] выполним следующие действия:

1)Разбить [а,b] на части

d=max

-разбиение [а,b], d-диаметр разбиения

2) рассмотрим произвольную точкуи назовем ее промежуточная, а также найдем значенияf(x) в этой точке

3)составим интегральную сумму Римана

Если существует предел при d стремящимся 0 от (lim(d→0)In) то он называется определенным интегралом по Риману от f(x) по отрезку[а,b]

И обозначается

Замечания:

Предел интегрирования суммы (определенный интеграл) не зависит от способа разбиения [а,b] на части и выбора промежуточных точек

Достаточное условие интегрируемости

Т. Если f(x) непрерывна на [а,b]то она интегрируема на этом отрезке

Геометрический смысл

1. f(x)≥0 [а,b], то

2. f(x) – знакопеременна на [а,b]

По определению полагаем

1) 2)

Свойства определенного интеграла:

1)

2)

3)

4) Если точка С разбивает [а,b] на [а,с] и [с,b], то интеграл

5)

6) Оценка определенного интеграла

Если

7) Среднее значение ф-ции на отрезке

f(x) непрерывна на [а,b], то

30. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям для определенного интеграла.

f(x) интегрируема на [а,b], т.е.

или

Т1.(Ньютона-Лейбница)

T2. (основная теорема интегрального исчисления)

Если f(x) непрерывна на [а,b] и F(x) первообразная для f(x),то имеет место формула Ньютона- Лейбница.

Из Т1,т.к. , то Ф(х)-первообразная дляf(x),т.к. F(x) другая первообразная, то Ф(х)= F(x)+С или

Замена переменной в определенном интеграле

Интегрирование по частям определенного интеграла

Обозначим

31 . Несобственные интегралы с бесконечными пределами (1-го рода) и несобственные интегралы от неограниченных функций (2-го рода).

Несобственные интегралы 1-го рода

Другое название несобственных интегралов 1-го рода: интегралы с бесконечными пределами.

Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +определяется равенством:

⁼

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Аналогично:

⁼ ,

⁼ .

Несобственные интегралы 2-го рода

Другое название несобственных интегралов 2-го рода: интегралы от разрывных (неограниченных) функций.

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a;b] и непрерывна при a≤<c и c<x≤b, то несобственный интеграл второго рода определяется равенством:

⁼

^{= +}

^{+ (1)}

Несобственный интеграл (1) (где f(c) =,a<c<b) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.