8. Основные правила дифференцирования.
Пусть ф-ции u=u(x) и v=v(x) дифф-мые ф-ции.
1.(u±v)' =u'±v'. Док-во для разности f(x)=u(x)-v(x). Найдем приращение из y+∆y=u+∆u-(v+∆v),
∆y=(u+∆u)-(v+∆v)-(u-v)+ ∆u-∆v и вычислим предел lim(∆x→0) ∆y/∆x=lim(∆x→0) (∆u-∆v)/ ∆x=
lim(∆x→0) ∆u/∆x-lim(∆x→0) ∆v/∆x=u'(x)-v'(x).
2.(u v)'=v'u*u'v. Док-во. Рассмотрим произведение 2-х ф-ций f(x)=uv и предположим, что ф-ции u(x) и v(x) дифференцир-мы, тогда y+∆y=(u+∆u)*(v+∆v). Найдем приращение произведения и вычислим предел
lim(∆x→0) ∆y/∆x=lim(∆x→0) ((u+ ∆u)(v+∆v)-uv)/ ∆x=lim(∆x→0) (uv+v∆u+u∆v+∆u∆v-uv)/ ∆x=v*lim(∆x→0) ∆u/∆x+u*lim(∆x→0) ∆v/∆x+lim(∆x→0) ∆u∆v/∆x=u'v+v'u
Т.к. произведение есть бесконечно малая более высокого порядка, чем приращение, поэтому последний предел =0. А два первых предела по определению есть производные.
3.(u/v)'=( u'v-v'u)/v2. Док-во Рассм. частное двух ф-ций y=u(x)/v(x), v(x) ≠ 0 и предположим, что ф-ции u(x) и v(x) диф-мы. Приращению аргумента соответствует значение ф-ции x+∆x =>y+∆y, которое = y+∆y=(u+∆u)/(v+∆v). Тогда приращение частного 2-х ф-ции представляется в виде ∆y=(u+∆u)/(v+∆v)-u/v. Найдем производную y'=lim(∆x→0) ∆y/∆x=(u/v)'=lim(∆x→0) (uv+v∆u-uv-u∆v)/ ∆x(v∆v)v .
Почленно числитель разделим на ∆x , учитывая, что пределы отношений ∆u, ∆v к приращению аргумента при ∆x→0 являются производными получим
y'=
=
=(u'v-v'u)/v2
4.
5. y=f(x) и x=g(y) – взаимно-обратные ф-ции, то yx'=1/xy'
Следствия.
1) (cu)'=cu', где с=const
2) (u*v*w)=u'vw+v'uw+w'uv
9. Производные основных элементарных фун-й
10.Логарифмическое дифференцирование.
Принимается для диф-ния степенно-показательных ф-ций, т.е. вида y=f(x)g(x), а также сложных, но удобных для логарифмирования (например для нахождения производной произведения нескольких функций). Для этого нужно прологарифмировать обе части функции, а затем просто выразить из результата y’.
Производные высших порядков.
Пусть ф-ция y=f(x) дифф-ма, т.е. сущ-ет f’(x). Т.к. f’(x) – ф-ция от х, то ее также можно продиф-ть, т.е. от нее взять производную.
Производная от производной ф-ции, если она сущ-ет, наз пр-ной 2-го порядка(2-я пр-ная) и обозначается y’’.
f’’(x)=(f’(x))’ =lim(∆x→0) (f’(x+∆x)-f’(x))/∆x
Произв-я от произв-ной (n-1)-го порядка наз производной n-го порядка, обозначается
f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ =lim(∆x→0) (f(n-1)(x+∆x)-f(n-1)(x))/∆x
Правила дифф-ния соотв-ют осн правилам дифф-ния.
11. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
У=f(x)-явная. F(x;y)=0 (1) неявная ф-ия. yx’-?
Для нахождения yx надо диф-ть (1) по переменным х и у. рассматривая при этом у как сложную ф-ию от х т.е. домножая на yx’. В полученном выражении находим подобные члены содержащие yx’ и решая его как Ур-е найдем yx’.
Произ-ие ф-ий заданных параметрически
Y=f(x) задана
{X=z(t),y=h(t),
z,h-диф-уемы по параметру t, zt’ не равен 0
Пусть для x=z(t) существует ф-ия t=g(x);
Y=f(x) – сложная функция
{y=h(t), t=g(x) то
y’=h’(t)*g’(x), но по правилу 5
{5. y=f(x) и x=g(y) – взаимно-обратные ф-ции, то yx'=1/xy'}
g’(x)=1/z’(t)
Yx’=Yt’/Xt’=F(t)
Yxx’’=F’(t)/X’t
Ур.кас-ой. нормали.
Касательная - предельное положение секущей.
Нормаль-прямая, перпендик. касательной в точке. Геом.смысл производной
f’(x)=tgA=K
Из аналит.геом
Ур.кос:y-y0=f’(x0)(x-x0) K=-1/f’(x0)
Ур.нормали y-y0=-(x-x0)/f’(x0)