17. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции.

Прямая линия наз-ся асимптотой графика ф-ии y=f(x) если расстояние от переменной точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.

{ко всем асимптотам нужны графики!}

1 Вертикальные асимптоты

-

2 Наклонная асимптота

Прямая y=kx+b-накл.ассимп графика ф-ии y=f(x) если

f(x)-kx-b→0, т. к. по формуле нахождения расстояния от точки то графика

Теорема

Для того чтоб прямая y=kx+b была наклон асимп.грфика ф-ии y=(x) необходимо и достаточно чтобы

3 горизонтальная

Если при нахождении накл.ас. к=0 то y=b- г.о.

18. Функции нескольких переменных.

Определение. Если паре значений независимых переменных х; у соответствует определенное значение Z, то Z называется функцией двух переменных х, у и обозначается

z = f(х,y).

Определение. Значения аргументов х и у, для которых функции оп­ределена и существует, называется областью существования функ­ции двух переменных и обозначается D.

Областью определения функции двух переменных служит часть плоскости, называемой границей области. Все точки, попадающие во внутрь области D, называются внутренними точками. Область, состоящая из внутренних точек, называется открытой областью. Если в область входят и точки границ, то такая область называется замкнутой областью.

Определение. Если каждой совокупности независимых переменных х1, х2, х3…х4 соответствует определенное значение величины и, то и называется функцией n - переменных и обозначается

U= f(x1, x2,…xn)

Множество значений x_l;x₂... x_n для которых функция u оп­ределена, называется областью определения или областью существования n-переменных

Предел и непрерывность.

Определение. Окрестностью радиуса r точки М0(х₀,y₀)называется множество точек М(x,y) координаты которых удовлетворяют неравенству

Определение. Число А называется пределом функции f(x,у) при М(х;у)->М₀(х0,у0), если для любого наперед заданного ε > 0 существует такой радиус r, что для всех точек из окрестности радиуса r точки М0 выполняется:

| f (x,y) - f (x0,y0)| < E и обозначается

A=lim {x→х0 y→у0} f (x;y)

причем x;y стремятся к точке М0 произвольным образом.

Замечание. В некоторых случаях предел функции зависит от порядка вычисления предела по аргументам.

Определение. Функция f (х;у) называется непрерывной в точке M0, если в окрестности этой точки выполняется соотношение

(3) Lim{ x→х0; y→у0 } f(x,y) = f(x0;y0)

Определение. Функция, непрерывная во всех точках области, называется непрерывной в этой области,

преобразуем соотношение

Lim {∆x →0 ∆y→0 }[f(x,y) - f(x0;y0)]=0

Так как x→x0 и y→y0, x=x0 + ∆x, y=y0 + ∆y, ∆x→0, ∆y→0

То имеем

Lim{∆x→0, ∆y→0} [f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0;y0)]=0

Определение. Если предел полного приращения при ∆х →0 и ∆y→0 равняется нулю, то функция называется непрерывной в точ­ке x0,y0.

Определение. Точка разрыва x1,y1, может быть в следующих слу­чаи:

1.Функция f(x,у) в точке х1, у1 не определена.

2.Функция f(x, у) определена в самой точке и в окрестности ее, a предел не существует

З.Существует предел функции, функция определена в точке в и ее окрестности, но не выполняется равенство (3) при х→х1, у→y1