33. Симметрия периодических функций.

Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидальных функций.

    1) Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию f(t)=-f(-t) (рис. 47.1).

 Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечетных. В разложении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник Bk и отсутствуют постоянная составляющая A0 и косинусные составляющие отдельных гармоник Сk:

    При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегрирование в формуле достаточно выполнить за половину периода T/2:

    

2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетворяет условию f(t)=f(-t) (рис. 47.2).

    Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложении таких функций содержатся только постоянная составляющая А₀ и косинусные составляющие отдельных гармоник C_k и отсутствуют синусные составляющие отдельных гармоник В_к:

    При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегрирование в формулах достаточно выполнить за половину периода:

    3) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [f(t)>0] или отрицательной части [f(t)<0] на отрезок времени +-T/2 и удовлетворяет условию f(t)=-f(t+-T/2) (рис. 47.3):

    Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососим-метричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармоники (синусные и косинусные составляющие):

    Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что кососимметричная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:

    Равенство f(t)=-f(t+-T/2) выполняется при условии A0=0, A2=0, A4=0,…, что и требовалось доказать.

    Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим правилам.

34. Расчет электрических цепей с несинусоидальными функциями.

  Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t) и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполняется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

1)Гармонический анализ.

    На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций источников ЭДС e(t) и источников тока j(t) в гармонический ряд Фурье:

    Для проведения анализа структуры функций e(t) и j(t) количество гармоник в их разложении определяют значительно больше, чем необходимо для расчета схемы.

2)Аналитический расчет.

    Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конденсаторами C размыкается. Расчет схемы для отдельных гармоник производится как для цепи синусоидального тока, т.е. в комплексной форме, при этом определяются не действующие значения, а комплексные амплитуды токов и напряжений (Im, Um). Расчет для каждой гармоники выполняется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зависимость реактивных сопротивлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармоники: X_Lk=kωL=kX_L1, X_Ck=1/(kωC)=X_C1/k.

     Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанавливается исходя из конкретных условий задачи.