27. Представление периодических несинусоидальных величин

Наиболее наглядными способами представления несинусоидальных величин являются графики их зависимости от времени. Также периодические несинусоидальные величины могут быть представлены в виде разложения периодической функции в ряд Фурье:

F(wt) = A0 + A1sin(wt+y 1) + A2sin(2wt+y 2) +ј + Aksin(kwt+y k)+ј =A0 + B1sinwt + B2sin2wt + … + Bksinkwt+…+ C1coswt + C2cos2wt +…+ Ckcoskwt + =A0+a1+a2+ј + ak+ј ,

(1)

где .

первый член ряда A₀ называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой. Второй член A₁sin(wt+y ₁) имеет частоту равную частоте функции F(wt) и называется первой или основной гармонической составляющей (коротко - гармоникой). Остальные члены ряда вида A_ksin(kwt+y _k) имеют частоты в целое число раз kбольше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками. Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

Из выражения (1) следует, что каждую гармонику ряда Фурье можно представить в виде двух составляющих - синусной B_ksinkwt и косинусной C_kcoskwt. Амплитуды этих составляющих B_k и C_k называются коэффициентами ряда Фурье.

Также для исследования несинусоидальных периодических цепей можно применять метод эквивалентных синусоид. Сущность метода состоит в том, что при незначительных искажениях форм кривых несинусоидальные функции токов и напряжений i(t) и u(t) заменяются эквивалентными по действующему значению синусоидальными функциями. При расчете нелинейных цепей методом эквивалентных синусоид физи­ческие харак­теристики нелинейных элементов u(t) – для резистора, ψ(і) – для катушки и q(u)  для кон­денсатора заменяются расчетными вольтамперными характеристиками U(I) или I(U) для дей­ствующих значений эквивалентных си­нусоидальных величин. Расчетные ВАХ для конкрет­ных линейных элементов могут быть получены экспериментально путем проведения изме­рений дейст­вующих значений U и I в произвольном режиме. Если заданы физические ха­рак­теристики для мгновенных значений величин, то соответствующие ВАХ мо­гут быть полу­чены расчетным путем для синусоидального режима по напряже­нию или току.

28. Общий подход к анализу цепей с периодическими величинами.

Известно, что к линейным электрическим цепям применим метод наложения. В соответствии с этим запись периодическо­го несинусоидального напряжения источника энергии рядом Фурье дает возможность представить его несколькими последовательно соединенными и одновременно действующими ис­точниками ЭДС или напряжений и осуществлять анализ электрического   состояния   цепей   на   основе   метода   наложения. Например, рассмотрим электрическую цепь рис. 5.7,а, в которой к источнику с несинусоидальной ЭДС

e(t) = E₀ + E_1m sin ωt + E_2m sin 2ωt

подключены последовательно резистивный, индуктивный и емкостный элементы.

В рассматриваемой электрической цепи ЭДС e(t) может быть представлена тремя ЭДС. Графики E₀(t), а также e₁(t) иe₂(t) изображены. В соответствии с методом наложения данная электрическая цепь рассчитывается как цепь, в которой действуют три независимые ЭДС. При этом определение тока и напряжений от ЭДС E₀осуществляется, как при расчете цепей постоянного тока, а от ЭДС e₁ и е₂ — как при расчете цепей синусоидального тока. При расчете цепи от ЭДС е₂ и ЭДС более высших гармоник необходимо производить пересчет значений x_L и х_C, так как они зависят от частоты

xLk = kωL;    хCk =1/kωС

Расчет первой гармоники в комплексном виде:

полное сопротивление цепи

z = √r²+ (ωL - 1/ωС)² = √6² + (2 - 18)² = 17 Ом;

угол сдвига фаз между ЭДС е₁  и током

φ1 = arctg	ωL - 1/ωС	= - 69°20';
	r

так как φ₁ = ψ_1e - ψ_1i, то

ψ_1i = ψ_1e - φ₁ = - 30° - ( - 69°20') = 39°20';

амплитуда и действующее значение первой гармоники тока

I1m =	E1m	=		; I1 =	I1m
	z1				√2