- •Лекция №1
- •§ 1. Задача вычисления.
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
- •§ 3. Неустранимая погрешность значения функций для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.
- •Лекция №2 Численные методы линейной алгебры
- •Формальное решение. Устойчивость.
- •Обусловленность матрицы. Погрешности.
- •Лекция №3
- •1. Схема единственного деления
- •3. Расчетные формулы
- •Лекция № 4 Метод Гаусса с выбором главного элемента (оптимальный метод).
- •Применения метода Гаусса к вычислению определителей и обратных матриц.
- •Лекция № 5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Лекция № 6 Метод Зейделя (модификация метода итераций).
- •Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:
- •Лекция № 7 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
- •Метод хорд (метод линейной интерполяции).
- •3. Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации).
- •4. Метод итераций (задача о неподвижной точке).
- •Оценка погрешности приближений:
- •Лекция № 8
- •1. Метод итераций для системы двух уравнений.
- •2. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
- •Лекция №9 Алгебраическая проблема собственных значений.
- •Лекция № 10 Приближение функций и их производных.
- •Постановка задачи приближения функций.
- •2. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.
- •Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.
- •Лекция № 12 Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения.
- •О нормальной системе мнк при полиномиальной аппроксимации.
- •Лекция №13 Сплайн интерполяция
- •Лекция № 15
- •Метод Эйлера – разные подходы к построению.
- •Методы Рунге – Кутта.
- •Лекция № 16
- •Лекция № 17 Разностные схемы для уравнений параболического типа.
- •Лекция №18
- •Лекция № 19 Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
Простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [a, b], если f(x) - непрерывная функция и f(a)f(b)<0, является метод деления отрезка пополам.
Очевидно, что середина отрезка служит приближением к корню уравнения (1) с точностью e<(b-a)/2. В середине отрезка x1=(a+b)/2 определяется знак функции f(x), затем выбирается та половина отрезка [a, (a+b)/2] или [(a+b)/2,b], на концах которой функция f(x) принимает значения разных знаков, и деление повторяется.
Если требуется найти корень с точностью e, то деление отрезка продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньшей 2e.
Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В этом методе можно не вычислять значения функции f(x), достаточно лишь определить знак функции.
Метод хорд (метод линейной интерполяции).
В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [a, b] заменяется линейной, в качестве которой берется хорда – прямая , стягивающая концы нелинейной функции. Эта хорда определяется как прямая, проходящая через точки с координатами (a, f(a)) и (b, f(b)), т.е. делит отрезок [a, b] пропорционально величинам ординат ,f(a) и ,f(b),.
Имея уравнение хорды y=cx+d, можно легко найти точку ее пересечения с горизонтальной осью, подставив в уравнение хорды y=0 и найдя из него х. Естественно, в полученной таким путем точке х1 не будет решения, ее принимают за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (х1, f(х1)) и соответствующую границу предыдущего интервала опять проводят хорду, находят х2, и т. д. несколько раз, получая последовательность х3, х4, х5, , сходящуюся к корню.
Метод применим только для монотонных функций.
Алгоритм метода зависит от свойств функции f(x) .
Если f(b)f’’(b)>0, то строящаяся на каждом этапе хорда имеет правый фиксированный (закрепленный) конец. Для определенности f’’(x)>0 (обратный случай сводится к первому, если записать уравнение –f(x)=0). Тогда кривая y=f(x) будет выпукла вниз, т. е. расположена ниже своей хорды (см. рис.1).
Рис.1
Итак, если f(b)>0, то алгоритм выглядит следующим образом:
Применяя этот прием к тому из отрезков [a, x1] или [x1, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x2 и т. д. При этом последовательность x1, x2, будет приближаться к корню слева, (в качестве x0 можно выбрать начало отрезка точку а).
Если f(a)f’’(a)>0, то строящаяся на каждом этапе хорда имеет левый фиксированный конец и алгоритм выглядит следующим образом:
При этом последовательность x1, x2, будет приближаться к корню справа, в качестве x0 можно выбрать точку b)
Приведем формулу оценки абсолютной погрешности приближенного значения хi , если известны два последовательных значения xi и xi+1.
Теоретически доказано, что если первые производные на концах интервала при монотонной и выпуклой функции f(x) не различаются более, чем в два раза, то справедливо соотношение |x* - xi | < |xi - xi-1| и условием прекращения итераций может быть |xi - xi-1 | £ e, а в качестве корня принято xi+1 (можно также окончить процесс и при достижении f(xi) £e). Таким образом, как только будет обнаружено, что
|xi - xi-1 | £ e, где e - заданная погрешность, то гарантировано, что |x - xi | £ e.