- •Лекция №1
- •§ 1. Задача вычисления.
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
- •§ 3. Неустранимая погрешность значения функций для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.
- •Лекция №2 Численные методы линейной алгебры
- •Формальное решение. Устойчивость.
- •Обусловленность матрицы. Погрешности.
- •Лекция №3
- •1. Схема единственного деления
- •3. Расчетные формулы
- •Лекция № 4 Метод Гаусса с выбором главного элемента (оптимальный метод).
- •Применения метода Гаусса к вычислению определителей и обратных матриц.
- •Лекция № 5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Лекция № 6 Метод Зейделя (модификация метода итераций).
- •Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:
- •Лекция № 7 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
- •Метод хорд (метод линейной интерполяции).
- •3. Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации).
- •4. Метод итераций (задача о неподвижной точке).
- •Оценка погрешности приближений:
- •Лекция № 8
- •1. Метод итераций для системы двух уравнений.
- •2. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
- •Лекция №9 Алгебраическая проблема собственных значений.
- •Лекция № 10 Приближение функций и их производных.
- •Постановка задачи приближения функций.
- •2. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.
- •Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.
- •Лекция № 12 Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения.
- •О нормальной системе мнк при полиномиальной аппроксимации.
- •Лекция №13 Сплайн интерполяция
- •Лекция № 15
- •Метод Эйлера – разные подходы к построению.
- •Методы Рунге – Кутта.
- •Лекция № 16
- •Лекция № 17 Разностные схемы для уравнений параболического типа.
- •Лекция №18
- •Лекция № 19 Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
О нормальной системе мнк при полиномиальной аппроксимации.
Возьмем в качестве базисных функций для обобщенного многочлена (3) степенные функции:
В таком случае он превращается в обычный многочлен степени m канонического вида:
Если тоназываетсятригонометрическим полиномом порядка m.
Основная система может состоять также из показательных функцийеjx и других функций.
Посмотрим, что представляет собой система (4) для вычисления коэффициентов многочлена Qm(x), если ставится задача аппроксимировать с его помощью некоторую функцию f(x) , заданную в (n+1) узле x0, x1, …, xn.
Будем использовать метод наименьших квадратов.
Согласно этому методу за меру отклонения полинома от данной функцииf(x) на множестве точек x0, x1,…, xn, принимают величину
Очевидно, что F есть функция коэффициентов a0, a1,…, am, . эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы величина F была наименьшей.
Полученный полином Qm называют аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого полинома – квадратичной аппроксимацией (аппроксимированием) функции.
Для решения этой задачи воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные от , гдеyi=f(xi) по всем переменным a0, a1,…, am .
Приравнивая эти частные производные к нулю, получим систему (m+1) уравнений с (m+1) неизвестными a0, a1,…, am.
Обозначим
Преобразуя систему (m+1) уравнений и используя эти обозначения, получим:
Систему уравнений относительно a0, a1,…, am , S0=n+1.
Можно доказать, что если среди точек x0, x1,…, xn нет совпадающих и m£ n, то определитель системы ¹0 и, следовательно, эта система имеет единственное решение. Полином с такими коэффициентами будет обладать минимальным квадратичным отклонением F.
Если m = n , то Qm = Lm (x) , причем F=0.
Таким образом, аппроксимирование функций представляет собой более общий процесс, чем интерполирование. Для решения системы уравнений можно применять итерационный процесс, в частности метод Зейделя для нормальных систем, так как матрица из коэффициентов при неизвестных a0, a1,…, am положительно определенная.
Лекция №13 Сплайн интерполяция
Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн функций. Сплайн функцией или сплайном называют кусочно – полиномиальную функцию, определенную на всем отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.
Рассмотрим частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени (кубический сплайн).
Построение кубического сплайна.
Пусть на [a, b] задана непрерывная функция f(x). Введем сетку
и обозначим fi=f(xi), i=0,1, ,N.
Сплайном, соответствующим данной функции f(x) и данным узлам , называется функцияS(x), удовлетворяющая следующим условиям:
На каждом сегменте [xi-1, xi], i=1,2, ,N, функция S(x) является многочленом третьей степени;
Функция S(x), а также ее первая и вторая производные непрерывны на [a, b];
Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями 1)-3), называется также интерполяционным кубическим сплайном.
Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными условиями. Приведенное ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.
В промежутке между парой соседних узлов интерполяционная функция является многочленом 3-ей степени, который удобно записать в виде:
Коэффициенты многочлена определяют из условий в узлах. Он должен принимать табличные значения:
(1)
Число уравнений в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому для замыкания нужны дополнительные условия. Найдем первую и вторую производные от кубического многочлена:
(2)
Потребуем непрерывности этих производных (т. е. гладкости гибкой линейки) во всех точках, включая узлы. Приравнивая во внутреннем узле хi правые и левые пределы производных получаем:
3)
Недостающие два условия обычно получают из естественного предположения о нулевой кривизне графика на концах:
, (4)
что соответствует свободно опущенным концам линейки. Но если есть дополнительные сведения об асимптотике функции, то можно записать другие краевые условия.
Уравнения (1-4) образуют систему линейных уравнений для определения 4N неизвестных коэффициентов. Эту систему можно решить методом исключения Гаусса, но выгоднее привести ее к специальному виду.
Уравнение (1) дает сразу все коэффициенты аi. Из уравнений (3) и (4)
(5)
Подставим (5) в (1), одновременно исключая аi=fi-1, получим:
(6)
Исключая теперь из (3) bi и bi+1 по (6) и di по (5), получаем систему уравнений для сi:
Матрица этой системы 3-х диагональная. Такие системы экономно решаются методом прогонки.
В силу диагонального преобладания система имеет единственное решение.
После нахождения сi определяются ai, bi и di и определяется вид кубических многочленов (сплайнов) на каждом отрезке.
Таким образом, доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями 1)-3) и граничными условиями
Заметим, что можно рассматривать и другие граничные условия.
Можно рассмотреть и более общую задачу интерполяции функции сплайном – многочленом n-ой степени
,
коэффициенты которого кусочно - постоянны, и который в узлах принимает заданные значения и непрерывен вместе со своими (n-1) производными.
На практике наиболее употребительны 2 случая: один при n=3 (кубические многочлены) уже рассмотрен, второй при n-1 (многочлены Ньютона 1-ой степени) соответствует аппроксимации графика ломаной, построенной по узлам; определение коэффициентов при этом очевидно.
ЛЕКЦИЯ №14
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПРОСТЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Общая формула прямоугольников
1. Квадратурная формула левых прямоугольников.
Пусть
2. Формула правых прямоугольников
3. Квадратурная формула средних прямоугольников
Расчет погрешности формул численного интегрирования.
Пусть
Пусть h>0 достаточно мало, x0=0.
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности x0=0.:
Тогда
Локальная погрешность для малого отрезка h -
, то есть
Свойство аддитивности
- погрешность на отрезке [a,b].
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Если многочленn - степени, то
Это квадратурные формулы интерполяционного типа. Здесь Ск – коэффициенты Котеса
Безразмерные формулы.
Тогда
Итак
Квадратурные формулы интерполяционного типа выглядят следующим образом:
Свойства коэффициентов Котеса
Важные частные случаи n=1, n=2
Квадратурная формула трапеций (n=1)
или, используя запись интерполяционного многочлена в форме Ньютона, получим:
Остаточный член для
2. Квадратурная формула Симпсона (формула парабол) (n=2)
или, используя запись интерполяционного многочлена в форме Ньютона, получим:
Итак
- формула Симпсона на отрезке
Остаточный член для
3. Частные формулы Ньютона - Котеса, n=k, n=3,4,5…
Общая формула интерполяционного типа имеет вид:
k | |||||||
1 |
1/2 |
1 |
1 |
|
|
| |
2 |
1/3 |
1 |
4 |
1 |
|
| |
3 |
3/8 |
1 |
3 |
3 |
1 |
| |
4 |
2/45 |
7 |
32 |
12 |
32 |
7 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
Составные квадратурные формулы.
1. Общая формула трапеций.
2. Составная формула Симпсона