Лекция № 15

Методы Эйлера и Рунге- Кутты решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение (сокращенно ОДУ) первого порядка

(1)

С начальным условием

(2)

Где - некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Будем считать, что для данной задачи (1)-(2) называемой начальной задачей или задачей Коши, обеспечиваются существование и единственность на отрезкеее решения.

Метод Эйлера – разные подходы к построению.

Учитывая ключевую позицию, которую занимает метод Эйлера в теории численных методов ОДУ, рассмотрим несколько способов его вывода. При этом будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными точками (узлами) служат точки промежуткаи целью является построение таблицы

X	X0	X1	…	Xn=b
Y	Y0	Y1	…	yn » y(b)

приближенных значений y_i решения задачи (1)-(2) в расчетных точках.

1. Геометрический способ.

Пользуясь тем, что в точке известно и значение решения(согласно (2)), и значение его производной(согласно (1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функциив точке:

(3)

При достаточно малом шаге h ордината

(3’)

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3) значения , по непрерывности должна мало отличаться от ординатырешениязадачи (1)-(2). Следовательно, точкапересечения касательной (3) с прямойможет быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

,

которая уже приближенно отражает поведение касательной к в точке. Подставляя сюда, иначе, пересекая эту «касательную» прямой, получим приближенные значениязначением

и т. д. В итоге этого процесса, определяемого формулой

(4)

и называемого методом Эйлера, график решения данной задачи Коши (1)-(2) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков касательных (рис. 1), откуда происходит другое название метода –метод ломаных (4).

Рис. 1 Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

2. Применение формулы Тейлора.

Линеаризуя решение в окрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем

Отсюда при получаем

(5)

Точное равенство (5), переписанное в виде

говорит о том, что здесь мы имеем одновременно как саму формулу Эйлера для вычисления значения , так и ее остаточный член

(6)

где x₁ - некоторая точка интервала .

Остаточный член (6) характеризует локальную (или, иначе, шаговую) ошибку метода Эйлера, т. е. ошибку, совершаемую на одном шаге. Очевидно, что от шага к шагу, т. е. при многократном применении формулы (4), возможно наложение ошибок. За n шагов, т. е. в точке b, образуется глобальная ошибка; известный факт: порядок глобальной ошибки (относительно шага) на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки, а порядком глобальной ошибки и определяется порядок соответствующего численного процесса задача Коши.

Таким образом, локальная ошибка метода Эйлера, согласно (6), есть O(h²) , глобальная - O(h), т.е. метод Эйлера относится к методам первого порядка.

3. Квадратурный способ.

Начальную задачу для ОДУ (1)-(2) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением.

(7)

При из него получится равенство

(8)

Применение к интегралу в правой части равенства (8) простейшей одноточечной формулы прямоугольников дает приближенную формулу

Правая часть которой, очевидно, совпадает с выражением (3) для подсчета значений . В общем случае расчетная формула (4) метода Эйлера получается численным интегрированием посредством простейшей формулы левых прямоугольников в равенстве

(9)

В предположении, что на каждом i - том шаге в роли начальной точки выступает точка. зная точность используемой квадратурной формулы легко прийти к тому же выражению локальной ошибки метода Эйлера, что и при других способах его построения.

Несколько простых модификаций метода Эйлера.

Очевидно, применение к интегральному равенству (7) других простейших квадратурных формул будет порождать новые методы численного интегрирования задачи Коши (1)-(2).

Применение к интегралу в (9) простейшей квадратурной формулы трапеций приводит к неявному методу

(11)

который будем называть методом трапеций. Квадратурная формула трапеций, как известно, на порядок точнее формул правых и левых прямоугольников. Отсюда вытекает более высокий (на единицу) порядок точности метода трапеций (11) по сравнению с явным и неявным методами Эйлера(4) и (10), т.е. метод трапеций (15) – это метод второго порядка.

Некоторый интерес представляет собой совместное применение явного метода Эйлера и неявного метода трапеций.

По форме (11) представляет собой скалярную задачу о неподвижной точке относительно неизвестного . поэтому, если в правую часть (15) подставить хорошее начальное приближение, подсчитываемое по формуле (4), то тогда само это равенство можно считать шагом метода простых итераций для уточнения этого значения. Таким образом, получаем гибридный (двухшаговый) метод

(12)

который называют методом Хойна (методом Эйлера-Коши) или методом с пересчетом.

Построим другую пару формул с погрешностью на шаге такого же порядка. Интеграл в правой части заменим по формуле средних прямоугольников:

или

;

Если положить , то.

В качестве - грубого приближения можно взять результат по формуле Эйлера с шагом:

Этим соотношениям соответствуют расчетные формулы:

(14)

этот метод будем называть методом Эйлера на полуцелой сетке.

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге-Кутта.