2. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.

Оценим остаточный член, т.е. разность R_n-(x)=f(x)-L_n(x)

Потребуем, чтобы в области [a, b] изменения x функция f(x) была дифференцируема (n+1) раз, т.е. f’(x),…, f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x).

Ясно, что в узлах интерполяции эта погрешность R_n(x)=0.

Оценим ее в любой точке x Î [a, b].

Рассмотрим вспомогательную функцию

u(x)=f(x)-L_n(x)-kП_n+1(x), где

• K - постоянный коэффициент, который выберем ниже.

U(x) имеет (n+1) нуль (корень) в т. x₀, x₁, …, x_n.

Подберем k так, чтобы u(x) имела n+2 корень в любой фиксированной точке x’ отрезка [a, b], не совпадающий с узлами интерполирования. Т.е. u(x’)=0.

Положим f(x’)=L_n(x’)-kП_n+1(x’).

Тогда

При этом значении k функция u(x) будет иметь (n+2) корня в узлах x’ ,x₀, x₁, …, x_n.

Применяя теорему Ролля на каждом из отрезков [x₀, x₁],[x₁, x₂],…, [x_i, x’], [x’, x_i],…,[x_n-1, x_n] убеждаемся, что производная u’(x) имеет не менее (n+1) корня на [a, b].

U’’(x) – n раз обращается в нуль на [a, b].

………………………………………………

U ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) - имеет 1 корень

Пусть U ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, xÎ[a, b].

Так как L_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0 и П_n+1⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(n+1)!, имеем

При x=x, получаем

®

Т.о. R_n(x)=f(x)-L_n(x)=?

В силу того, что U(x’)=0, имеем

Т.к. x’ - произвольно, то

, где xÎ[a, b].

Обозначим через

Получим формулу для погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Если f(x) - многочлен n -ой степени, то f(x)=L_n(x) и R_n(x)=0 в силу единственности.

Пример:

С какой точностью можно вычислить Ö115 с помощью L_n(x) для y=Öx, если x₀=100, x₁=121, x₂=144.

Y’=0.5x^-1/2, y’’=-1/4x^-3/2, y’’’=3/8x^-5/2. M₃=max|y’’|=3/8 1/Ö100⁵=3/2 10^-5.

|R₂|£3/8 10^-5 1/3! |(115-100)(1150121)(115-144)|=1.6 10^-3.

Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.

Зададимся целью придать интерполяционной формуле более простой вид, подобный широко используемой в математическом анализе формулы Тейлора.

Такая структура интерполяционного многочлена позволила бы более просто перестраивать его степень, добавляя или отбрасывая удаленные от начала его записи члены.

Будем считать, что интерполируемая функция y=f(x) задана своими значениями y₀, y₁,…, y_n на системе равноотстоящих узлов x₀, x₁, …, x_n, т.е. таких, что любой узел этой сетки можно представит в виде

x_i=x₀+ih,

где i=0, 1,…,n, а h>0 - некоторая постоянная величина, называемая шагом сетки.

Прежде чем строить желаемые интерполяционные формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Конечная разность 1- го порядка есть разность между значениями функции:

Конечная разность 2 – го порядка

Этот процесс построения разностей может быть продолжен, и описывается рекуррентной формулой, выражающей конечную разность k - го порядка через разности(k-1) порядка:

k=1, 2,…,, n

Конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции (последние можно интерпретировать как конечные разности нулевого порядка). Эту общую таблицу называют таблицей конечных разностей.

x0	y0	Dy0	D2y0	D3y0	D4y0	.
x1	y1	Dy1	D2y1	D3y1	D4y1	.
x2	y2	Dy2	D2y2	D3y2
x3	y3	Dy3	D2y3
x4	y4	Dy4
x5	y5
.	.

Будем строить интерполяционный многочлен P_n(x) в форме:

(2)

Его n+1 коэффициент будем находить последовательно изn+1 интерполяционных равенств

,а именно, полагая i=0 , т.е.

Имеем , а по условию интерполяции, следовательно,

Далее, при i=1 , аналогично получаем равенство

,

в которое подставляем уже найденное значение .

Разрешая это равенство относительно, и используя обозначение конечной разности, получаем

Следующий шаг, при i=2, дает

Полной индукцией можно доказать справедливость выражения

(3)

Подставляя найденные коэффициенты в (2), получаем многочлен

(4)

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона..

Учитывая, что каждое слагаемое многочлена, начиная со второго, содержит множитель , естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла( при, близких к,).

Будем называть узел базовым для многочлена (4), и упростим (4) введением новой переменной равенством, или (что - то же) равенством.

Так как при любых

то в результате подстановки этих разностей в (4) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде

(5)

где обозначение указывает не только наn – ю степень многочлена, но и на базовый узел и связь переменныхи.

Первая формула Ньютона обычно применяется при значениях , а именно,для интерполирования вперед, ( при , т. е. при) иэкстраполирования назад (при , т.е. при).

Для интерполирования в конце таблицы форма интерполяционного многочлена берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т. д., т. е.

(6)

Коэффициенты этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (2), только здесь подстановка узловых точек вместои рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.

Полагая , имеем:

и т. д. В общем случае

Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

(7)

В котором базовым является узел и коэффициенты которого определяютсяконечными разностями, расположенными на восходящей диагонали от .

Положим в (7), иначе, введем новую переменнуюи преобразуем к ней входящие в (7) разности:

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

(8)

Ее также целесообразно использовать при значениях , т.е. в окрестности узладляинтерполирования назад (при ) иэктраполирования вперед (при ).

Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона, имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы (интерполяционная формула Стирлинга и формула Бесселя).

Теперь о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечно – разностной интерполяции.

В силу доказанной единственности интерполяционного многочлена Лагранжа, все построенные здесь интерполяционные многочлены Ньютона – это всего лишь различные формы его представления. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена, полученного для многочлена Лагранжа.

где

Для случая равноотстоящих узлов многочленпреобразуется к новой переменнойследующим образом:

Отсюда

Итак, для ,. конечно - разностнаяинтерполяционная формула Ньютона степени n с базовым узлом может быть записана в виде

, в котором - некоторая неизвестная, но фиксированная (при фиксированном) точка интервала.

Аналогично, при выборе базового узла , т. е. длявторой интерполяционной формулы Ньютона, получаем точное представление

, где

В силу связи (формула (1)) между производными и конечными разностями, выражение для (n+1) – ой производной

приближенно можно заменить на величину

.

В этом случае степень n интерполяционного многочлена должна быть заниженной по сравнению с n числом узлов (иначе конечная разность (n+1) – го порядка равна нулю).