Оценка погрешности приближений:

Для того, чтобы получит решение уравнения (1) методом итераций с заданной погрешностью e, т.е. |x - х_n | £ e

Надо проводить расчеты по итерационным формулам (3) до тех пор, пока не выполнится неравенство

|х_n - х_n-1 | £ (1-q)/q e

Лекция № 8

1. Метод итераций для системы двух уравнений.

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными

(1)

Действительные корни которых надо найти с заданной точностью.

Допускаем, что система (1) имеет лишь изолированные корни, число корней и их грубо приближенные значения можно установить, простроив кривые F₁(x, y) и F₂(x, y) определив координаты их точек пересечения.

Пусть x=x₀ и y=y₀ - приближенные значения корней системы (1), полученные графическим способом или другим способом (грубой прикидкой).

Представим систему (1) в виде

(2)

И построим последовательные приближения по следующим формулам:

(3)

Если итерационный процесс (3) сходится, т. е. существуют пределы,

то, предполагая функции j₁(x, y) и j₂(x, y) непрерывными и переходя к пределу в (3), получим:

Отсюда

z = j₁(z , h); h = j₂(x , h),

Т.е. предельные значения z и h являются корнями системы (2), а следовательно, (1). Поэтому, взяв достаточно большое число итераций (3), получим x_n и y_n, которые будут отличаться от точных корней x=z и y=h системы (1) сколь угодно мало.

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R {a £ x £ A; b £ y £ B} имеется одна пара корней x=z и y=h системы (2). Если:

1. Функции j₁(x, y) и j₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2. Начальные приближения x₀ , y₀ и все последующие приближения x_n , y_n (n=1,2,…) принадлежат R;

3. В R выполнены равенства то процесс последовательных приближений (3) сходится к корням x=z и y=h системы (2), т. е.

и

Замечание. Теорема остается верной, если условие 3) заменить на

или

2. Метод Ньютона для системы двух уравнений.

Пусть x_n, y_n - приближенные корни системы уравнений

F(x, y) = 0; (1)

G(x, y) = 0

Полагая x = x_n + h_n; y = y_n + k_n;

Получим:

F(x_n + h_n; y_n + k_n) = 0; (2)

G(x_n + h_n; y_n + k_n) = 0

Отсюда, применяя формулу Тейлора и ограничиваясь линейными членами относительно h_n и k_n, будем иметь:

(3)

Если якобиан

То из системы (3) находим:

или

(4)

Следовательно, можно положить:

Исходные значения x₀ , y₀ определяются приближенно. Метод Ньютона будет сходиться квадратично, с другой стороны, каждая итерация требует решения системы линейных уравнений, а также метод Ньютона требует вычисления всех n² (n=2) первых частных производных нелинейных функций.

Лекция №9 Алгебраическая проблема собственных значений.

Вектор - собственный вектор матрицыA:

(1)

l - собственное значение матрицы A, или СЛАУ

Необходимо и достаточно:

(2)

Характеристический многочлен

Свойство 1:

Если - собственная пара матрицыА, a¹0 – число, то является собственной паройА.

Из (1) или

- собственный вектор,

l- собственное число А.

Свойство 2:

Пусть - собственная пара матрицы, тогда- собственная пара матрицыА.

Из (1):

собственная пара для А.

Свойство 3:

Пусть - собственная пара матрицыА, тогда - собственная пара для матрицы

Умножим слева на

Свойство 4:

Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются .

Из (2) имеем:

 

Степенной метод (определение наибольших по модулю l и).

Пусть

собственное число матрицы А,

собственный вектор, соответствующий .

Возьмем произвольный вектор :

базис.

Итерации вектора:

координаты вектора в базисе.

Собственные вектора образуют базис (линейно–независимы)

- разложение по базису из собственных векторов.

- const.

- собственный вектор матрицы А.

(3)

Разложение по базису собственных векторов.

(4)

4. (4)           (3)

или

- координаты в базисе .

Аналогично:

Выбор и.

Делим на

или

m - достаточно большое.

Вектор является собственным векторомА.

отличается от на константуa.

Итак:

e - задано.

m -?

По i среднее арифметическое:

Применение степенного метода для нахождения наименьшего по модулю собственного числа знакоопределенной матрицыА, когда уже найдено.

Для этого находим наибольшее по модулю собственное число - матрицы.

Тогда соответствующий собственный вектор и числобудут образовывать искомую собственную пару.

Действительно пусть и- собственные пары матрицы

Наименьшее по модулю

А.

- наименьшее по модулю собственное число.

Вычитая тождество:

,

получаем:

.

Значит, иявляются собственной парой матрицы.

Так как для знакоопределенной матрицы справедливо неравенство:

,

где - наибольшее,- наименьшее собственное числоА, то наибольшее по модулю собственное число матрицыи может быть найдено степенным методом.