Ext msp lsp

Десятичный эквивалент

^_2³+ 2²+ 2¹+ 2⁰+ 2^-3+ 2^-5= -0,84375

S ^_ знак

Рис. 3.15 Сохранение числа в формате “расширенное слово”

(иллюстрация примера 2)

3. 7.7. Представление данных

при целочисленной арифметике

В процессорах с ФТ и целочисленной арифметикой (см. разд.3.7.5) для представления исходных данных вещественного типа ( вещественных чисел) используют ихцелочисленные эквиваленты. Они определяются в результате маcштабирования, которое выполняется пользователем перед составлением программы. Масштабирование можно выполнить одним из двух способов:

первый способ – из всей совокупности исходных данных вещественного типа выбирается максимальное по модулю число и приравнивается к максимально допустимому по модулю целомучислу в формате “слово”

(машинной единице); значение остальных исходных данных вещественного типа находится из соответствующей пропорции; дробная часть отбрасывается или округляется пользователем;

второй способ – производится предварительное масштабирование

данных вещественного типа так, чтобы они не превосходили 1 по модулю; затем осуществляется их масштабирование к машинной единице по первому способу.

На практике чаще масштабируют по второму способу. Масштабировать следует к максимальному по модулю значению.

При целочисленной арифметике исходные данные целого типа не масштабируются, если они не превосходят машинной единицы. Иначе масштабирование предусматривается пользователем.

При целочисленной арифметике результаты обработки (конечные данные) получаются также в виде целочисленных эквивалентов, поэтому, если необходимо знать истинные значения результатов, требуется выполнить процедуру обратного масштабирования – деление целочисленных эквивалентов на значение машинной единицы.

Пример 1. В процессоре ( с ФТ, целочисленной арифметикой, формат представления исходных данных и результатов – слово длиной 16 битов) выполняется программа преобразования массива из 100 (N=100) коэффициентовa_i (a_i– дробные числа) в другие, вычисленные по заданному алгоритму,100 коэффициентовb_i

Дополнительно среди коэффициентов b_iрассматривается количествоLкоэффициентов, значение которых удовлетворяет некоторому условию алгоритма. Рассмотрим:

1. Представление в программе (с помощью соответствующих директив языка ассемблера) исходных данных –

коэффициентов a_iи их количестваN.

2. Определение истинных значений коэффициентов b_i, а также количестваLпо рассчитанным в процессоре значениям.

Решение задачи иллюстрирует табл. 3.6. Итак:

1. В процессорах с целочисленной арифметикой при выполнении арифметических операций все числа воспринимаются как целые, поэтому дробные числа необходимо заменить ихцелочисленными эквивалентами, в примере:

a_i A_i,

где A_i– целочисленный эквивалентa_i.

Целочисленные эквиваленты A_iкоэффициентовa_i(все коэффициенты по модулю меньше 1) находятся из пропорции

1 – 32768

a_i–A_i,

откуда A_i= 32768^.a_i, например,A₀ = 32768^. 0,57 = 18677,76 или, после округления,a₀ = 18678 и т. д. (см. табл.3.6). В программе истинные значения коэффициентовa_iзаменяются их целочисленными эквивалентамиA_i.

Количество N– целое число, поэтому его целочисленный эквивалент определять не требуется.

2. В результате выполнения программы вычислены целочисленные эквиваленты B_i истинных коэффициентовb_i, а также значениеL– целое число.

Истинные значения коэффициентов b_iнаходятся по их целочисленным эквивалентамB_iиз пропорции

1 – 32768

b_i –B_i ,

откуда b_i=B_i/ 32768, например,b₀=B₀/ 32768 = 2457 / 32768 = 0,0749816 (с точностью до 7 значащих цифр после запятой) и т. д. (см. табл.3.6).

Количество L– целое число, поэтому в результате вычислений выдается его истинное значение.

Таблица 3. 6. Истинные значения и целочисленные эквиваленты

Исходные данные			Результаты вычислений
Имя	Истинное значение	Целочисленный эквивалент	Имя	Целочисленный эквивалент	Истинное значение
а0	0,57	18678	b0	2457	0,0749816
a1	- 0,13895	_ 4553	b1	31099	0,9490661
a2	0,3	9830	b2	_123	_0,0037536
...	...	...	...	...	...
a99	0,85701	28083	b99	15348	0,4683837
N	100	Не вычисляется	L	55	55

8. Представление данных при

дробной арифметике

При дробной арифметике (см. разд.3.7.5) значения исходных данных вещественного типа не масштабируются, если они не превосходят единицы по модулю, т. к. машинная единица, в отличие от ЦПОС с целочисленной арифметикой, равна 0,999... = 1. Это основное преимущество дробной арифметики. Если хотя бы одно из значений вещественных данных превосходит 1 по модулю, пользователь должен предусмотреть предварительное масштабирование.

При дробной арифметике следует масштабировать значения исходных данных целого типа для получения ихдробных эквивалентов. В этом случае максимальное по модулю целое число приравнивается к 1, а значения остальных данных целого типа находятся из пропорции.

Для конечных данных (результатов) целого типа, если необходимо знать истинные знчения результатов, требуется выполнить процедуру обратного масштабирования. Следует иметь в виду, что в алгоритмах ЦОС

Объем вычислений с данными целого типа, как правило, невелик.

Пример 2. Задача, поставленная в примере 1 из разд. 3.7.7, решается в процессоре сдробной арифметикой; формат представления исходных данных и результатов – слово длиной 16 битов.

Решение задачи иллюстрируется табл. 3.7.

1. В процессорах с дробной арифметикой при выполнении арифметических операций все числа

воспринимаются как дробные, поэтому, если все исходные данные вещественного типа по модулю меньше

1 (как в нашем случае) и их не надо заменять дробными эквивалентами (табл.3.7).

Количество N– целое число, поэтому необходимо вычислить его дробный эквивалент, который в данном

случае равен

N_экв= 0,999...= 1,

поскольку целое число одно, его дробный эквивалент соответствует машинной единице 0,999... = 1.

Полученный дробный эквивалент N_эквиспользуется в программе вместо соответствующего целого числа

N.

2. В результате выполнения программы вычислены истинные значения коэффициентов b_i (дробные числа,

вопрос о точности вычислений не рассматривается) и дробный эквивалент целого числаL_экв= 0,549

(табл. 3.7);

1 ^_100 (N)

L_экв^_L,

откуда L=L_экв ^.100 = 0,5499^.100 = 54,99 = 55 (см. табл. 3.7).

Таблица3.7.Истинные значения и дробные эквиваленты

Исходные данные			Результаты вычислений
Имя	Истинное значение	Дробный эквивалент	Имя	Дробный эквивалент	Истинное значение
а0	0,57	Не вычисляется	b0	Вычисляются сразу истинные	0,0749
a1	- 0,13895		b1	значения	0,9490
a2	0,3		b2	коэффициентов	-0,0037
...	...	...	...	...	...
a99	0,85701		b99		0,4683
N	100	0,999... = 1	L	0,549	55

8. Арифметические операции

в дополнительном коде

Основным преимуществом дополнительного кода является то, что все арифметические операции с числами независимо от их типа, целые или дробные, выполняются одинаково – как с беззнаковыми числами, когда знаковый разряд воспринимается как старший значащий. Результат арифметической операции представлен также в дополнительном коле.

Рассмотрим особенности выполнения операций сложения, вычитания и умножения при использовании целочисленной и дробной арифметик.