- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
42 Теоремы Паскаля
Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M1, M2, M3, M4, M5, M6 и шесть прямых M1M2, M2M3, M3M4, M4M5, M5M6, M6M1. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M1M2 и M4M5; M2M3 и M5M6; M3M4 и M6M1 называются противоположными.
Теор 5.8.1.(Паскаля)Три точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника, вписанного в овальную кривую, лежат на одной прямой.
Теорема5.8.2. (обратная). Если три точки пересечения противоположных сторон шестивершинника (у которого никакие три вершины не лежат на одной прямой) лежат на одной прямой, то данный шестивершинник вписан в овальную кривую второго порядка.
Следствие 1. Овальная кривая определяется пятью своими точками.
Действительно, если задать произвольно 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то опираясь на теорему 5.8.2. можно (и притом, одной линейкой) построить шестую точку этой кривой (а, затем, седьмую, и.т.д.).
Пусть даны M1, M2, M3, M4, M5. Находим точку P; затем через M1 проводим произвольно прямую, которая пересечет M3 M4 в точке Q; затем проводим PQ, которая в пересечении с M2M3 даст точку R; и, наконец, M5R M1Q = M6 .
Замечание 1. Из 6 букв (и точек) можно составить P6 = 720 перестановок. Различных же шестивершинников, составленных из данных шести точек, имеется только 60, т.к. каждый из них может считаться, начиная из любой своей вершины, причем, как в прямом, так и в обратном направлении.
Замечание 2. Теорема Паскаля имеет место и для предельных (частных) случаев: 5-ти, 4-х и 3-х вершинников. Если, например, M1= M2, то прямая M1M2 будет касательной к овальной кривой.
Опр. 5.8.2. Шестисторонником называется фигура, двойственная шестивершиннику.
Значит, это фигура, образованная шестеркой прямых m1, m2, m3, m4, m5, m6 и шестью точками N1= m1 m2, N2= m2 m3, N3= m3 m4, N4= m4 m5, N5= m5 m6, N6 = m6 m1. Прямые называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины N1 и N4, N2 и N5, N3 и N6 наз. Противоположными
43 Теорема (Брианшона)
Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M1, M2, M3, M4, M5, M6 и шесть прямых M1M2, M2M3, M3M4, M4M5, M5M6, M6M1. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M1M2 и M4M5; M2M3 и M5M6; M3M4 и M6M1 называются противоположными.
Теорема 5.8.1. (Брианшона) Если шестисторонник описан вокруг овальной кривой второго порядка, то три прямые, которые проходят через противоположные вершины, проходят через одну точку.
Имеет место и обратная теорема. Теорема Брианшона и обратная ей теорема вытекают из теоремы Паскаля и обратной к ней теоремы по принципу двойственности.
Следствие 2. Теорема Брианшона позволяет по пяти касательным к произвольной кривой второго порядка строить сколько угодно новых касательных к кривой. Ход построения аналогичен тому, который рассматривался в следствии 1.
Доказательство теорем Паскаля и Брианшона можно найти в [1]