37 Гармоническая четверка точек.

Опр. 4.3.1. Упорядоченная четверка точек A, B, C, D прямой называется гармонической, если (ABCD) = –1. При этом точка D называется четвертой гармонической к точкам A, B, C.

Свойства. 1.  A, B, C a; ¯  D a; ¯ : (ABCD) = –1.

2. (ABCD) = –1  (CDAB) = –1, (ABDC) = –1, (BACD) = –1.

3. Если C – середина отрезка AB, то четвертой гармоничной к ABC будет несобственная точка.

4. Для A, B, D_ четвертой гармонической является середина отрезка AB.

Доказательства опираются на определение 4.3.1 и свойства из п^о 4.1.

Опр.4.3.2. Полным четырехвершинником наз. фигура, которая состоит из четырех точек расширенной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, которые про-ходят через все пары этих точек. Точки наз. вершинами, а прямые – сторонами четырехвершинника.

Стороны, которые не имеют общих вершин называются противоположными.

Точки A, B, C пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, которые проходят через пары этих точек называются диагоналями (AB, AC, BC).

Теорема4.3.1. На каждой диагонали есть гармоническая четверка точек, состоящая из двух диагональных точек и двух точек пересечения этой диагонали со сторонами, которые проходят через третью диагональную точку.

Д-ем, напр, что A, B, X, Y – гармоническая четверка (см. чертеж). Для этого спроецируем эти точки из точки N на прямую MP; получим M, P, C, Y. Затем спроецируем полученные точки из Q на прямую AB;получим B, A, X, Y.

Поскольку сложное отношение сохраняется при центральном проецировании, то (ABXY ) = (BAXY ) = (ABXY )² = 1(ABXY ) = 1.

Но (ABXY ) = 1  X = Y . Значит, (ABXY ) = –1 .

Эта теорема позволяет строить четвертую гармоническую точку.

Пусть даны точки A, B, X ; требуется построить четвертую гармоническую к ним точкуY . Строим 1. две произвольные прямые 1, 2, проходящие через A ;

2.произвольную прям 3, проходящую через X ; 3.пересечение прямой 3 с прям-и 1,2 –точкиN, Q ; 4.прямые BQ и BN ; 5.точки M,P, прям MP ;6. MP  AB = Y

38 Определение и типы кривых второго порядка.

Опр. 5.1.1. Кривой второго порядка на проективной плоскости называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а₁₁х₁² + а₂₂ х₂² + a₃₃ х₃² + 2а₁₂ х₁х₂+ 2а₁₃ х₁х₃+ 2а₂₃ х₂х₃ = 0, (5.1.1)

где а₁₁, … , а₂₃ – действительные числа, не все из которых равны нулю.

Коротко это уравнение можно записать так:

(;\s\do10(j =1(;\s\do10(i =1а_ij х_i х_{j = 0 (}а_{ij =} а_{ji ) .} (5.1.1 )

_{Примеры (классы) кривых второго порядка:}

1. х₁² + х₂² – х₃² = 0; 2. х₁² – х₂² = 0; 3. х₁² + х₂² = 0;

4. х₁² = 0; 5. х₁² + х₂² + х₃² = 0 .

Первая кривая называется овальной кривой второго порядка (это эллипс, гипербола или парабола вместе с их несобственными точками). Вторая – пара прямых. Третья – пара мнимых прямых. Четвертая – двойная прямая. Пятая – мнимая кривая.

Можно доказать, что любая кривая второго порядка в соответствующей системе координат имеет одно из пяти уравнений, и, значит, является одной из пяти вышеупомянутых кривых.

Замечание. Уравнение (5.1.1) удобно записывать в матричном виде:

X^TAX = 0, A^T = A . (5.1.1 )