- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
30 Уравнение прямой на плоскости.
Пусть на проективной плоскости даны две точки A и B, имеющие в проективном репере R координаты A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3). Требуется составить уравнение прямой AB.
ПустьM – произвольная точка прямой AB . Ее координаты совпадают с координатами вектора x;\s\up8(( на прямой OM. Координаты точек A и B также совпадают с координатами некоторых векторов a;\s\up8(–( и b;\s\up9(–( на прямых OA и OB. Значит, векторы x;\s\up8((, a;\s\up8(( и
b;\s\up9(( компланарны. И обратно, если x;\s\up8(( компланарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((, то M l . Поэтому M AB
x1 x2 x3
a1 a2 a3 = 0, (2.7.1)
b1 b2 b3
Это и есть уравнение прямой AB.
После раскрытия определителя получим уравнение вида
u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0. (2.7.2)
Числа u1, u2, u3 называются координатами прямой. Кроме того, условие коллинеарности векторов x;\s\up8((, a;\s\up8((, b;\s\up9(( можно записать так: x;\s\up8(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((
x1 = a1 + b1,
x2 = a2 + b2, (2.7.3)
x3 = a3 + b3,
где , R – произвольные параметры (2 + 2 0). Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Следствие. Три точки A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют , R такие, что
c1 = a1 + b1,
c2 = a2 + b2, (2.7.3)
c3 = a3 + b3.
31 Теорема Дезарга.
Опр.2.8.1. Трехвершинником на плоскости (; ¯ наз. фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех прямых, которые проходят через эти точки. Точки наз. вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.
Пусть ABC и A B C – два трехвершинника. Будем наз.соответственными вершины A и A , B и B , C и C , а также стороны a = BC и a = B C , b = AC и b = A C , c = AB и c = A B .
Теорема Дезарга. Если соответственные стороны трехвершинников ABC и A B C пересекаются в точках M, N, P, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, сходятся в одной точке.
Обратная теорема Дезарга.Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников ABC и A B C , сходятся в одной
точке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.
Э
Рис. 2.1
Пусть прямые AA , BB , CC имеют общую точку S . Пусть M = a a, N = b b, P = c c. Необходимо доказать, что M, N, P лежат на одной прямой. Для этого выберем на плоскости (; ¯ проективную систему координат, и запишем координаты точек A(ai ), B(bi ), C(ci ), A(ai ), B (bi ), C (ci ), S(si ), i =1, 2, 3. Поскольку S лежит на AA , BB , CC , то
si = ai + ai , si = bi + bi , si = ci + ci , i =1, 2, 3.
ai – bi = bi – ai = pi ,
bi – ci = ci – ai = mi ,
ci – ai = ai – ci = ni , i =1, 2, 3,
где pi , mi , ni – координаты точек P, M, N . Сложив эти равенства, получим pi + mi + ni = 0. Это значит, что P, M, N лежат на одной прямой s.