- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
Выберем в пространстве некоторую плоскость и назовём её плоскостью изображений. Выберем вектор p;\s\up8(( непараллельный . Направление этого вектора назовём направлением проецирования. Пусть (;¯ – некоторая фигура в простве, а o – её проекция на плоскость .
Опре. Фигуру (;¯ будем называть оригиналом, а o – проекцией оригинала. Всякая фигура , подобная o наз. изображением фигуры (;¯.
Рас-им изображение плоских фигур. В дальнейшем везде предполагаем, что плоск. (; ¯, в которой расположен оригинал (;¯, и плоскость изображений не параллельны, а вектор p;\s\up8((, задающий направление проецирования не параллелен ни одной из этих плоскостей. Если (; ¯ ||, то изображение будет подобно оригиналу. Этот случай не представляет интереса для изучения.
Теорема 6. Пусть фигуры (;¯ и лежат в плоскостях (; ¯ и , которые пересекаются. Фигура (;¯ может служить изображением фигуры тогда и только тогда, когда эти фигуры аффинно-эквивалентны.
Д-во. Пусть является изображением (;¯. Тогда получается из (;¯ в результате проекции f1:(; ¯ – и подобия f2: – . Каждое из отображений f1 и f2 является аффинным. Поэтому f2f1 – тоже аффинное отображение и =f2f1((;¯).След-но, (;¯ и аффинно-эквивалентны.
Обратно, пусть (;¯ и аффинно-эквивалентны и f:(; ¯ – – такое аффинное отображение, что =f((;¯). Нам нужно доказать, что это отображение является композицией проекции и подобия. Выберем на плоскости (; ¯ произвольный репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯} так, чтобы A; ¯ и B; ¯ принадлежали линии пересечения плоскостей (; ¯ и . Пусть R = {A, B, C} – образ репера R; ¯ при отображении f.
На плоскости выберем точку Co так, чтобы ABCo был подобен треугольнику ABC. Пусть
f2: – есть подобие, которое переводит ABCoв ABC. Пусть p;\s\up8(( ||\O(C; ¯, а f1:(; ¯ – есть проекция по направлению вектора p;\s\up8((.
Тогдаf1, очевидно, оставляет точки A; ¯ и B; ¯ на месте, а точку C; ¯ переводит в точку Co. Тем самым, f1 переводит репер R; ¯ в репер R o= {A; ¯, B; ¯, Co} на плоскости . Следовательно, отображение f2f1:(; ¯ – переводит репер R; ¯ в репер R. Но отображение f тоже переводит репер R; ¯ в репер R. Согласно теореме 3 f=f2f1.
Теорему 6 можно переформулировать так: любое аффинное отображение f:(; ¯ – является композицией проекции и подобия, но только при условии, что плоскости (; ¯ и не параллельны.
§5. Изображение многоугольников.
1. Согласно теореме 3 любые два треугольника аффинно-эквивалентны и поэтому могут служить изображением друг друга.
2. Согласно теор 5 не любой четырёхугольник может служить изобр-ем данного четырёхугольника, а только тот, для которого вып. (A; ¯C; ¯, E; ¯)=(AC, E),(B; ¯D; ¯, E; ¯)= (BD,т.е. у которого соответствующие диагонали делятся точкой пересечения в одинаковом отношении. Для построения изображения ABCD данного четырёхугольника A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ мы можем в качестве точек A, B, D выбрать произвольные три точки на плоскости изображений , не лежащие на одной прямой. Тогда вершина C определится однозначно.
3.Аффинное отображение сохр-ет параллельность прямых и отношение отрезков, лежащих на них.Поэтому изобр-ем данной трапеции может служить только трапеция,у которой такое же отношение оснований. Условия (1) для двух трап. равносильны требованию,что у этих трап. Один-ое отношение оснований.
4. Аффинное отображение сохраняет параллельность прямых. Поэтому изображением параллелограмма является параллелограмм. В качестве изображений трёх вершин параллелограмма можно выбрать любые три точки на плоскости изображений. Поэтому изобр-ем данного параллелограмма может служить любой паралл-мм. Даже если A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ – ромб, прямоугольник или квадрат, всё равно его изобр-ем может быть любой параллелограмм.
5. n-угольник при n5. Для построения его изображения 3 точки, изображающие 3 его вершины можно выбрать произвольно, а изображения остальных вершин можно найти, используя тот факт, что точки пересечения диагоналей оригинала и изобр-ия делят соответствующие диаг-и в один-ом отношении.
Пусть,например, дан пятиугольник A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯E; ¯. Пусть M; ¯ = A; ¯C; ¯ B; ¯E; ¯, N; ¯ = A; ¯C; ¯ B; ¯D; ¯. Выберем произвольные точки A, B, C. На отрезке AC находим точки M, N, такие что (AC, M)= (A; ¯C; ¯, M; ¯), (AC, N)= (A; ¯C; ¯, N; ¯).Затем на прямых BM и BN выбираем точки E и D так, чтобы
(BE, M)=(B; ¯E; ¯, M; ¯), (BD, N)=(B; ¯D; ¯, N; ¯).
6. В прав-ом шестиуг-е A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯E; ¯F; ¯ диаг-и A; ¯D; ¯, B; ¯E; ¯, C; ¯F; ¯ делятся точ-й пересеченияO; ¯пополам В данном случ,в качестве произвол. удобнее выбрать точки A, B и O.Затем нах-им др.вершины,используя тот факт,что отр. BC,OD и AO паралл-ны и равны;и также