cudarikova2

s,

qm

q0

" ,x

Рис. 3.14. Изодефектные линии и зоны приемки и браковки партий

Очевидно, что область A соответствует партиям, уровень качества которых q < q0; область B – партиям, у которых q > qm. По условию контроля партии, принадлежащие области A, должны по возможно сти приниматься, а принадлежащие области B – браковаться. Если учесть, что выборочные характеристики приближенно равны гене ральным характеристикам, то естественным условием приемки можно считать попадание случайной точки (x, s) в область ниже некоторой нормативной прямой, проходящей между изодефектными линиями, соответствующими партиям с уровнем качества q0 и qm.

Таким образом, математическая запись сформулированного пра вила приемки партии имеет вид

такую, что

z = T, если случайная точка (x, s), определенная по результатам из мерений, лежит на нормативной прямой H;

61

z > T, если точка (x, s) лежит выше; и

z < T, если точка лежит ниже нормативной прямой H.

Для вычисления оперативной характеристики плана контроля необходимо знать закон распределения случайной величины Z. До казано, что при объеме выборки n > 5 величина Z имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием

где коэффициент Kn находится по табл. 3.11 [5].

С учетом этого, вероятность (3.55) может быть вычислена

где q связано с μи σуравнением (3.50).

Путем несложных преобразований из уравнений (3.57)–(3.59) получим

Характерная особенность данного уравнения заключается в том, что в него не входят значения генеральных характеристик μи σ.

Таким образом, если требования к плану контроля сформулиро ваны в виде q0, qm, α, β, то можно составить систему уравнений для определения объема выборки и приемочного числа:

Таблица 3.11. Определение коэффициента Kn по величине объема выборки

62

Таблица 3.12. Определение параметров плана контроля по заданным приемочному q0 и браковочному qm уровням качества

63

Решение уравнений (3.61) и (3.62) в явном виде невозможно. Со ставлены специальные таблицы [3], позволяющие по заданным q0, qm для фиксированных значений α и β определить параметры плана контроля, причем как для рассмотренных случаев, так и для случая двустороннего ограничения контрольного параметра. Приведенная табл. 3.12 ограничена объемом выборки n = 40.

Полученные уравнения и результаты расчетов справедливы так же для случая одностороннего ограничения снизу, а выражение, фор мулирующее критерий приемки партии, записывается в этом случае в виде

Таким образом, количественный контроль позволяет по сравне нию с альтернативным существенно снизить объемы выборки. Од нако применение его связано со значительными организационно тех ническими трудностями, проведением замеров, сложных вычисле ний. Для проведения таких работ на производстве необходимы высо коквалифицированные специалисты. Это, безусловно, повышает сто имость и снижает эффективность контроля.

3.8. Последующие оценки при статистическом приемочном контроле

Существует множество способов анализа эффективности выбран ного плана приемочного контроля. Один из них состоит в вычисле нии различных статистических оценок по имеющейся информации о приемке и браковке партии изделий и сопоставлении их либо с пара метрами плана контроля, либо с требованиями к качеству продук ции. Такие оценки называются последующими, так как они дела ются после проведения контроля. Последующие оценки могут быть использованы для решения целого ряда практически важных задач. Например:

а) оценка среднего уровня входного качества qвх может служить основанием для корректировки плана приемочного контроля в части назначения приемочного уровня качества;

64

б) оценка среднего уровня выходного качества qвых может быть использована для изменения объема выборки с целью повышения среднего уровня качества товарной продукции.

Таким образом, необходимость учета накопленной в результате контроля информации и вычисления последующих оценок очевид на. Отметим, что эти оценки весьма просты и практически не требу ют никаких затрат.

Наибольший интерес представляют так называемые несмещен ные оценки, т.е. оценки, которые дают в среднем точные значения. С точки зрения математической статистики оценка Y?случайной ве личины Y является несмещенной, если

где μ— символ математического ожидания.

Условимся понимать под оценкой любую функцию Y?(X), завися щую от результатов испытаний x1, x2, …, xn и не зависящую в явном виде от самой случайной величины.

Пусть производится контроль выборки изделий объемом n штук, в результате которого определяется степень пригодности каждого элемента выборки к дальнейшему использованию. Исход каждого опыта можно рассматривать как реализацию некоторой случайной величины X, принимающую нулевое значение, если изделие окажет ся годным, и единицу, если изделие окажется дефектным.

Случайное сочетание Xi нулей и единиц в данном конкретном опы те определит числовое значение оценки Y?.

Обозначим через p(xi) вероятность того, что исходом опыта явит ся значение xi, а следовательно, и Y?i . Тогда, учитывая все возмож ные K сочетаний нулей и единиц в n опытах, уравнение (3.64) в соот ветствии с определением математического ожидания может быть за писано в виде

i=1

Уравнение (3.65) является исходным для получения несмещен ных оценок.

Рассмотрим случай, когда приемочное число c равно нулю. Пусть на контроль поданы партии, имеющие по Ni изделий каж

дая, среди которых Mi дефектных. При контроле партии мы накап ливаем сведения не только о количестве дефектных изделий в выбор ках, но и о количестве партий, имеющих в выборках по одному, по два и т. д. дефектных изделий.

65

Покажем, как можно с помощью этих данных достаточно просто вычислять интересующие нас оценки величин qвх и qвых.

Предположим, что среди проконтролированных партий одинако вого объема N, от которых отбираются выборки одинакового объема n, имеются группы партий с одинаковой засоренностью дефектными изделиями. Рассмотрим одну из таких групп, состоящую из S партий. Доля дефектности каждой партии постоянна и равна q.

В случае варианта контроля с разбраковкой в товар попадут только те Nq дефектных изделий, которые были приняты в составе непроконтролированных остатков партий. В выборках таких партий, как следует из условия приемки, не должно быть дефектных изде лий.

Среднее количество принятых партий составит SL(q), где L(q) – вероятность приемки партии с уровнем качества q. Таким образом, математическое ожидание числа пропущенных дефектных изделий M′ во всех S партиях

Если объем выборки равен n, то вероятность приемки партии из делий при c=0 находится по уравнению

n

L(q) = CN−M . (3.67)

CNn

Заметим, что вероятность получить в выборке одно дефектное из делие равна

В случае малых q и больших N можно в знаменателе пренебречь

величиной 1 −q по сравнению с 1− n . Тогда

N N

66

N

Подставим (3.71) в (3.66):

Из математической статистики известно, что несмещенной оцен кой для p1 служит величина

где S1 – количество партий среди S, в выборках которых обнаружено одно дефектное изделие.

С учетом этого оценку для количества пропущенных дефектных изделий M′S дадим в виде

Оценка выражения (3.74) является несмещенной, так как

Полученное уравнение справедливо для любой группы партий. Поэтому суммарное среднее число принятых дефектных изделий во всех принятых партиях равно

где суммирование распространяется на все группы с различными Nи n. Получаемая несмещенная оценка для суммарного количества де фектных изделий в принятой продукции справедлива также и для

варианта контроля без разбраковки.

Получим оценки для количества дефектных изделий в партиях, поставляемых на контроль.

При контроле с разбраковкой эта оценка получается путем сумми рования выражения (3.75) и числа дефектных изделий Y в разбрако ванных партиях. Отметим, что в этом случае Y в каждой разбрако ванной партии тождественно равно M. Тогда

s′

? = ?′ + ∑ . (3.76)

Mc Mc Y

j=1

67

В формуле (3.76) суммирование производится по всем партиям, подвергнутым разбраковке.

Получим аналогичную оценку для количества предъявленных де фектных изделий в случае контроля без разбраковки. Здесь мы рас полагаем лишь информацией о количестве дефектных изделий в вы борках.

Пусть во всех выборках поданных на контроль S партий объема N с уровнем качества q обнаружено ms дефектных изделий.

Известно, что если в партии объемом N имеется M дефектных из делий, то среднее значение числа дефектных единиц в выборке объе мом n равно

Среднее количество дефектных изделий в Sвыборках S n M. При

N

равнивая полученное выражение количеству ms дефектных изделий в выборках S партий, находим оценку для M в одной партии:

Оценка является несмещенной.

Поскольку полученное решение справедливо для партий с любым значением q, суммируя полученный результат по всем группам партий с разными N и n, получим несмещенную оценку количества дефект ных изделий в предъявленной на контроль продукции:

Теперь несложно записать уравнения для вычисления входного и выходного средних уровней качества.

1. При контроле с разбраковкой:

68

где NΣ – общее количество предъявленных на контроль изделий.

2. При контроле без разбраковки:

где N′Σ – количество изделий во всех принятых партиях.

3.9. Непрерывный статистический приемочный контроль

Непрерывный приемочный контроль применяют в условиях мас сового или серийного производства, когда изделия непрерывно по ступают на контрольный пункт в последовательности, в которой они производятся (способ «поток»), а формирование отдельных партий для контроля невозможно или нецелесообразно.

Общий алгоритм непрерывного статистического приемочного кон троля показан на рис. 3.15.

Планы контроля выбирают в соответствии со стандартом (СТ СЭВ 293–76, с 1979 г. введен в действие в качестве ГОСТ). Поря док выбора приемочного уровня дефектности такой же, как при при емочном контроле партий. Число изделий одного производственного цикла выбирают из соображений, аналогичных выбору объема партии.

Стандарт определяет три общих уровня контроля, из которых обычно используют уровень II, в более ответственных случаях – уро вень III и в менее ответственных – уровень I.

По этим данным с помощью таблиц, приведенных в стандарте, определяют параметры плана контроля и осуществляют процедуру непрерывного контроля как чередование периодов сплошной и выбо рочной проверок. Чем выше качество продукции, тем меньше удель ный вес сплошного контроля. В то же время длительный период сплошного контроля (невыполнение условий перехода к выборочно

69

#AB0=>28BL?0@0<5B@K ?;0=0 :>=B@>;O, :>MDD8F85=B 2K1>@>G=>AB8f,

4;8=C A5@88i

K?>;=8BL A?;>H=>9 :>=B@>;L ?>4@O4 ?@>872545==KE 8745;89

Рис. 3.15. Общий алгоритм непрерывного статистического приемочно% го контроля

му) означает, что качество продукции не соответствует приемочному уровню дефектности. Поэтому в стандарте приведены численные зна чения верхнего предела числа проверяемых изделий при сплошном контроле, при превышении которого следует прекратить производ ственный процесс и возобновить его только после проведения необ ходимых коррекций.

70