cudarikova2

Пример 1. Пусть задан браковочный уровень qm = 0,05. При этом риск потребителя не должен превышать величины β = 0,05. Необходимо выб рать план контроля, гарантирующий потребителю приемку продукции с уровнем качества не хуже qm.

Решение. Очевидно, поставщик заинтересован в выборе плана контроля с наименьшим объемом выборки n. Наименьший объем выборки соответ ствует плану с приемочным числом c = 0.

Из уравнения (3.12) находим, что требования потребителя будут гаран тированы, если назначить n = 56. Отметим, что для определения п и с могут быть использованы специальные таблицы например, [8].

Посмотрим, какой уровень качества должен обеспечить поставщик, чтобы, удовлетворив требования потребителя, гарантировать себя от заб ракования хороших партий. Назначив α = 0,1, из уравнения

c

∑ Cnmq0m(1 −q0)n−m = 0,9

m=0

находим, что приемочный уровень качества q0 должен быть не более 0,002. Однако такой уровень качества обеспечить в производстве трудно, а в ряде случаев и невозможно.

Допустим, что оборудование завода изготовителя позволяет наладить выпуск продукции с уровнем качества qн = 0,01. Тогда, предъявив к плану контроля требования в виде qm = 0,05, q0 = 0,01, α = 0,1, β = 0,05, – из формул (3.1), (3.7) находим, что контроль надо осуществлять выборками по 124 изделия от партии, назначив приемочное число c = 3.

Если бы поставщик оставил план контроля n = 56, c = 0 и производил продукцию с уровнем качества qн = 0,01, ему пришлось бы в среднем бра ковать 45 % партии с уровнем качества qн < qm, так как L(qн) = 0,55. Это должно привести к излишним и неоправданным расходам.

Анализ результатов расчетов показывает, что с увеличением при емочного числа c увеличивается объем выборки; однако при этом для фиксированных рисков αи βи уровня qm отношение qm/q0 стремится к единице, и оперативная характеристика приближается к идеальной.

3.6.2. Многоступенчатый приемочный контроль

Пусть на контроль подается партия, состоящая из N изделий. Из партии случайным образом отбирается выборка объемом n1. Для этой выборки устанавливаются приемочное число c1 и браковочный уро вень d1, с которыми сравниваются результаты контроля.

–Если число дефектных изделий в выборке m1 не превышает при емочного числа c1, партия принимается.

–Если величина m1 окажется не меньше браковочного уровня m1 (d1 > c1), партия бракуется.

41

–Если случайная точка m1 попадет в интервал между c1 и d1 (c1 < m1 < d1), принимается решение о назначении второй выборки объемом n2 (n2 не обязательно равно n1).

Для второй выборки также устанавливаются нормативы c2 и d2,

скоторыми сравниваются результаты контроля, а именно:

–если m1+m2 ≤ c2, партия принимается;

–если m1+m2 ≥ d2, партия бракуется;

–если c2 < (m1+m2) < d2, выносится решение о назначении третьей выборки, и т. д.

Количество выборок заранее установлено и не превышает числа K. Процедура контроля продолжается до тех пор, пока не будет при нято окончательное решение о приемке или браковке партии. Рас смотренная система правил проведения контрольных испытаний и принятия заключений относительно качества товарной продукции составляет сущность многоступенчатого контроля.

Поскольку при многоступенчатом контроле окончательное зак лючение о качестве партий может быть принято на одной из K ступе ней, объем контроля оказывается случайным и, следовательно, для его характеристики можно ввести понятие среднего числа затрачи

ваемых на контроль изделий ncp. Оказывается, что при рациональ ном планировании многоступенчатых испытаний средний объем кон троля меньше объема выборки, необходимого для проведения испы таний в одну ступень. В этом заключается особенность многосту пенчатых испытаний.

Рассмотрим основные закономерности, принципы планирования и свойства планов многоступенчатого приемочного контроля на примере двухступенчатых контрольных испытаний, схема процеду ры которых графически представлена на рис. 3.8.

Вычислим оперативную характеристику двухступенчатого плана контроля.

Вероятность приемки партии можно рассматривать как сумму двух несовместных случайных событий:

A1 – партия принята по результатам испытаний изделий первой выборки;

A2 – партия принята по результатам испытаний изделий и первой, и второй выборок.

Согласно теореме сложения вероятностей вероятность приемки партии (оперативная характеристика)

L(q) = P{A1} + P{A2}.

В соответствии с правилами контроля партия будет принята пос ле извлечения первой выборки, если число дефектных изделий в вы

42

B

12

Рис. 3.8. Процедура двухступенчатого приемочного контроля

борке не больше приемочного числа c1. Поэтому вероятность собы тия A может быть представлена в виде

c1

P{A 1} = ∑ Pm1 ,

m1 =0

где вероятности Pm1 вычисляются согласно формулам (3.3), (3.5) или (3.7) в зависимости от закона распределения числа дефектных изде лий в выборке.

Для принятия партии во второй выборке необходимо, чтобы со вместно осуществились два события:

B1 – число дефектных изделий в первой выборке не меньше c1 и не

больше d1 (c1 < m1 < d1);

B2 – суммарное число дефектных изделий в первой и второй вы борках не больше c2.

Таким образом:

P{A2} = P{B1B2} = P{c1 < m1 < d1 , m1 + m2 ≤ c2}.

Пусть в первой выборке обнаружено K дефектных изделий, при чем c1 < K < d1. Тогда партия будет принята, если число дефектных изделий во второй выборке окажется не больше c2 – K.

В соответствии с теоремой умножения вероятностей вероятность приемки партии после извлечения второй выборки при условии, что в первой выборке обнаружено K дефектных изделий, равна

c 2 −K

∑ Pm2 .

m2 =0

Поскольку величина m1 в данном случае может принимать любое значение от c1+ 1 до d1 – 1, то

43

Если число дефектных изделий в выборке имеет биномиальное распределение, выражение для оперативной характеристики запи шется в виде

Получим уравнение для определения среднего объема выборки

при двухступенчатом контроле. Для этого рассмотрим случайную величину n (объем контроля), принимающую значение n1, если зак лючение о качестве партии принимается после извлечения первой выборки, либо n1 + n2, если оценка качества производится по резуль татам испытаний двух выборок.

Вероятность того, что заключение о качестве партии будет приня то после извлечения первой выборки, равна

что соответствует вероятности приемки или браковки партии по ре зультатам исследования первой выборки.

Вероятность того, что будет назначена вторая выборка, равна

Вычисляя средний объем контроля как математическое ожидание случайной величины n, получим

44

Обратимся теперь к принципам планирования двухступенча тых испытаний.

Рассмотрим принцип недопустимости попадания в товар партий, засоренность которых превышает браковочный уро

вень qm.

Как и при одноступенчатом контроле, задаются требования к при емочному и браковочному уровням качества и рискам поставщика и потребителя. Для вычисления параметров плана c1, c2, d1, d2, n1, n2 могут быть использованы формулы (3.1), (3.2), в левую часть кото рых следует подставить выражение (3.15). Однако этих уравнений недостаточно, чтобы полностью определить параметры плана конт роля. Введение дополнительного уравнения для минимального сред него объема испытаний также не решает проблемы. В этом заключа ется трудность планирования двухступенчатых контрольных испы таний. Поиск оптимального решения может быть выполнен только путем перебора возможных вариантов с оценкой каждого по ncp.

Переход от одноступенчатых испытаний к испытаниям в несколь ко ступеней позволяет сократить неоxбходимое количество опытов в среднем на 20–30 %. Одновременно планы многоступенчатого кон троля при заданных рисках αи βпредъявляют к изготовителю менее жесткие требования в промежуточных точках q0 < q < qm, чем анало гичные планы одноступенчатого контроля.

Применение планов двухступенчатого контроля на предприяти ях требует хорошо обученных, грамотных контролеров, которые мог ли бы самостоятельно принимать решения. В ряде случаев это сни жает экономическую эффективность двойных планов контроля, так как дополнительная прибыль сводится на нет из за затрат на орга низационную работу. При малых значениях N и малых выборках экономия от применения многократных выборочных планов, как пра вило, незначительна. Многоступенчатые планы контроля целесооб разно применять для дорогих изделий. Если же стоимость изделий невелика, производство массовое, то следует предпочитать простые планы контроля.

3.6.3. Последовательный приемочный контроль

Последовательный приемочный контроль представляет собой систему проверки статистических гипотез, в основе которой ле жит анализ так называемого критерия отношения правдоподобия. Последовательный контроль можно рассматривать как предельный случай многоступенчатого контроля. Различают поштучный и множественный последовательный контроль.

45

При поштучном последовательном контроле решение о каче стве партии принимается после извлечения каждого изделия, т. е. объем выборки составляет одно изделие. Особенность поштучного последовательного контроля заключается в том, что этот вид конт роля обладает минимальным средним объемом выборки по сравне нию с однотипными планами одноступенчатого, многоступенчатого или множественного последовательного контроля. Далее будет рас смотрен только поштучный последовательный контроль; для упро щения формулировок слово «поштучный» опустим.

Сущность последовательного контроля заключается в том, что для каждого ni назначаются такие граничные условия ci, di, что:

–если количество дефектных изделий mi в совокупности ni не боль ше приемочного числа ci, партия принимается;

–если количество дефектных изделий mi не меньше di, партия бракуется;

–в случае выполнения неравенства ci < mi < di принимается реше ние о проверке следующего изделия.

Сформулированные таким образом правила можно представить в

виде блуждания случайной точки в плоскости {ni, mi}, где каждая точка означает, что среди проверенных ni изделий обнаружено mi де фектных. Точки, в которых принимается решение о приемке или бра ковке партии, называются граничными точками.

Рассмотрим построение граничных точек для плана последова тельного контроля, когда распределение дефектных изделий в вы борке можно аппроксимировать биномиальным.

Пусть относительно качества продукции выдвинуты две альтер нативные гипотезы:

H0 : q =q0 ;

Если верна гипотеза H0, вероятность получения в выборке дефек тных изделий равна

Аналогично, если верна гипотеза H1,

Рассмотрим отношение полученных вероятностей, называемое

отношением правдоподобия

46

Американский статистик Вальд доказал следующее. Если прави ла принятия заключений относительно истинности выдвинутых ги потез установить в виде

то при выполнении одного из первых двух неравенств обеспечивают ся заданные риски поставщика и потребителя αи β, т. е. при приня тии решения о справедливости гипотезы H0 (против альтернативной гипотезы H1) вероятность ошибочного утверждения не превышает величины β, а при принятии решения о справедливости гипотезы H1 (против альтернативной гипотезы H0) вероятность ошибки не пре вышает величины α.

Соотношение (3.20) и условия (3.21) позволяют определить гра ничные точки в виде корней системы «решающих» уравнений:

47

Заметим, что при классификации изделий по альтернативному признаку смысл имеют только целочисленные решения. Поэтому схему изображения границ на рис. 3.9 в виде непрерывных линий надо считать условной.

Уравнения для вычисления оперативной характеристики и сред него объема выборки:

−1

где параметр h изменяется от –∞ до +∞ и определяется из уравнения

Вычисления с помощью этих уравнений крайне громоздки. Ре зультаты расчетов для отдельных значений α и β представлены, на пример, в работе [10].

mi

ai

A

@0:>2:0

@>4>;65=85 8A?KB0=89 ri

@85<:0

? ni

Рис. 3.9. Процедура последовательного приемочного контроля

48

Пример 2. Пусть требования к плану контроля заданы в виде: q0 = 0,01; qm = 0,05; α = β = 0,1. Расчеты по уравнениям (3.22)–(3.28) даны на рис. 3.10. Из графиков видно, что план последовательного контроля предъявляет менее жесткие требования к поставщику в промежуточных точках q0 < q < qm. Одновременно средний объем выборки последовательно го контроля существенно меньше, чем объем выборки при одноступенча том контроле.

В табл. 3.5 приведены данные, характеризующие уменьшение объема выборки при переходе от одноступенчатого к последовательному контро лю. Видно, что при контроле качества большого количества партий в от дельных случаях объем испытаний сокращается в два раза.

Одним из существенных недостатков последовательного контро ля является переменный характер объема контроля. На практике часто в целях определенности устанавливают ограничение на объем выборки, применяя так называемые усеченные последовательные планы. Наиболее распространенный метод усечения – ограничение объема выборки количеством изделий, необходимым для проведения одноступенчатого контроля. Если решение не было принято до ука занного значения n, то после проведения испытания n го изделия заключение о соответствии уровня качества партии требованиям тех нической документации осуществляется в соответствии с правилами одноступенчатого приемочного контроля.

Преимущества и недостатки последовательного контроля. Пос ледовательные планы требуют меньшего объема контроля, что дела ет его весьма эффективным при контроле качества изделий, оценка которых связана с разрушением образцов. Недостаток таких планов

Рис. 3.10. Сравнение планов одноступенчатого (2) и последовательного

(1) контроля: а – оперативных характеристик; б – объемов контроля

49

Таблица 3.5. Относительное изменение объема выборки n, обеспечиваю% щее сохранение требований к плану контроля при переходе от одноступенчатого контроля к последовательному

заключается в том, что их использование сопряжено со значитель ными организационно техническими трудностями, а применение требует наличия высококвалифицированных кадров.

3.6.4. Контроль с разбраковкой

Рассмотрим планы типа одноступенчатого контроля, в которых заключение о браковке партии сопровождается принятием решения о сплошной проверке оставшейся части партии с заменой дефектных изделий годными.

Предположим, что на контроль поступила партия, содержащая M дефектных изделий. Пусть партия принимается, если число де фектных изделий в выборке m ≤c. Оценим уровень качества приня

той продукции qвых.

Заметим, что в случае приемки партии qвых = (M – m)/N, а в случае браковки qвых = 0 (все дефектные изделия заменяются годными).

Поскольку величина qвых случайна и закон ее распределения опре деляется вероятностью приемки партии – оперативной характерис тикой L(q), оценим среднее выходное качество как математическое ожидание qвых :

(3.29) где Pm вычисляются согласно формулам (3.3), (3.7) или (3.9) в зави симости от распределения числа дефектных изделий в выборке.

Заметим, что если M = 0, то qвых = 0; если M = N, то также qвых = 0 . Следовательно, функция qвых = f(q) имеет максимум

50