cudarikova2

4.4.9. Простейшая многофазовая СМО с очередью

Анализ многофазовых СМО в общем случае затруднен тем, что входящий поток каждой последующей фазы является выходным потоком предыдущей и в общем случае имеет последействие. Однако,

если на вход СМО с неограниченной очередью поступает простей% ший поток заявок, а время обслуживания показательное, то выход% ной поток этой СМО – простейший, с той же интенсивностью λ, что и входящий. Из этого следует, что многофазовую СМО с неограни ченной очередью перед каждой фазой, простейшим входящим пото ком заявок и показательным временем обслуживания на каждой фазе можно анализировать как простую последовательность простейших СМО.

Если очередь к фазе ограничена, то выходной поток этой фазы перестает быть простейшим и указанный прием может применяться только в качестве приближенного.

4.5. Задачи по теории массового обслуживания

Задача 1

Дано: На вход одноканальной СМО с отказами поступает простей ший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – пока зательное с параметром μ. В начальный момент времени t = 0 канал свободен.

Выполнить: Построить размеченный граф состояний СМО. Запи сать и решить дифференциальные уравнения Колмогорова для веро ятностей состояний СМО. Найти финальные вероятности состояний и (для установившегося режима) характеристики эффективности

СМО: A, Q, Pотк, k.

Решение.

Состояния СМО: s0 – свободна; s1 – канал занят. Граф состояний представлен на рис. 4.7.

Уравнения Колмогорова:

s0 si

Рис. 4.7. Граф состояний к задаче 1

101

Поскольку p0 + p1 = 1 для любого t, можно выразить p1 через p0

p1 =1− p0

и получить одно уравнение для p0:

которые можно было бы найти и гораздо проще, решая линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний:

λp0 =μ p1; p0 + p1 =1.

Формулы (4.48) можно записать компактнее, если ввести обозна чение ρ= λ/μ:

p0 = 1 +1 ρ; p1 = 1+ρρ. Характеристики эффективности СМО:

Задача 2

Дано: Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ = 0,4 вызов/мин. Средняя продолжи тельность разговора tобсл =3 мин; время разговора имеет показатель ное распределение.

Выполнить: Найти финальные вероятности состояний СМО p0 и p1, а также A, Q, Pотк, k. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы разговор длился в точности 3 мин, а заявки шли регулярно одна за другой, без перерывов.

102

Решение.

λ =0,4; μ =1/tобсл =1/3; ρ = λ/μ =1,2. По формулам (4.48)

p0 ≈1/2,2 ≈0,455; p0 ≈0,545; Q ≈0,455; A =λQ ≈0,182; k = p1 ≈0,545. Таким образом, линия в среднем будет обслуживать 0,455 посту

пающих на нее заявок, т. е. 0,182 разговора в минуту. Номинальная пропускная способность канала была бы (при ре

гулярно приходящих и регулярно обслуживаемых заявках) Aном =1/tобсл =1/3 ≈0,333 разг./мин, что почти вдвое больше, чем действительная пропускная способность A.

Задача 3

Дано: Имеется одноканальная СМО с отказами. Поток заявок – простейший с интенсивностью λ. Время обслуживания – не случай

ное и в точности равно tобсл = 1/μ.

Найти относительную и абсолютную пропускную способность СМО в предельном стационарном режиме.

Решение.

Рассмотрим на оси 0t простейший поток заявок с интенсивностью λ(рис. 4.8). Будем отмечать кружками все заявки, которые приняты к обслуживанию.

Пусть какая то заявка, пришедшая в момент t1, принята к обслу живанию. Тогда все заявки, пришедшие после нее за время tобсл, по лучат отказ; следующей будет принята к обслуживанию заявка, при шедшая в момент t2 такой, что t2 – t1 > tобсл. Рассмотрим интервал T между концом обслуживания первой заявки и моментом t2 прихода ближайшей следующей, которая будет принята к обслуживанию. Из за отсутствия последействия в простейшем потоке распределение интервала T совершенно такое же, как и вообще интервала между заявками, т. е. показательное с параметром λ. Средняя длина интер вала T равна μt = 1/λ.

Итак, на оси 0t будут чередоваться неслучайные интервалы заня тости канала длины tобсл = 1/μ и случайные свободные интервалы со средней длиной 1/λ. На первые попадает доля всех заявок, равная

T

Рис. 4.8. Простейший поток заявок с интенсивностью λ (к задаче 3)

103

μ/(λ+μ) =1/(1+ρ), где ρ=λ/μ.

Эта величина и есть относительная пропускная способность СМО

Отметим, что формулы (4.50), (4.51) совпадают с (4.49), соответ ствующими показательному распределению времени обслуживания. Это и естественно, так как формулы Эрланга остаются справедливы ми при любом распределении времени обслуживания со средним зна чением, равным 1/μ.

Задача 4

Доказать, пользуясь формулой (4.18), что для простейшей одно канальной СМО с неограниченной очередью среднее число заявок,

находящихся в СМО, равно z =ρ/(1−ρ), где ρ= λ/μ, а среднее число заявок в очереди r =ρ2(1−ρ).

Решение.

По формулам (4.24)

p0 =1−ρ; pk =ρk(1−ρ), k =1, 2, 1

Обозначим Z фактическое (случайное) число заявок в СМО:

откуда

z =ρ/(1−ρ).

Среднее число заявок в очереди равно z минус среднее число заня тых каналов

k = A/μ =λ/μ =ρ,

т. е.

104

Задача 5

Дано: Железнодорожная сортировочная горка, на которую пода ется простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 состава в час, представляет собой одноканальную СМО с неограниченной оче редью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет пока зательное распределение со средним значением tобсл =20 мин.

Найти: финальные вероятности состояний СМО, среднее число z составов, связанных с горкой, среднее число r составов в очереди, среднее время tсист пребывания состава в СМО, среднее время t0 пре бывания состава в очереди.

Решение.

λ = 2 сост./ч; tобсл =1/3 ч; μ = 3 сост./ч; ρ = λ/μ =2/3. По формулам (4.25)

По формулам (4.26), (4.27)

z =ρ/(1−ρ) =2 сост.;

r =4/3 сост.; tсист =1 ч.; t0 =2/3 ч.

Задача 6

Дано: Условия предыдущей задачи усложняются тем, что в парке прибытия железнодорожной сортировочной горки могут находиться одновременно не более трех составов (включая обслуживаемый). Если состав прибывает в момент, когда в парке прибытия уже находятся три состава, он вынужден ожидать своей очереди на внешних путях. За один час пребывания состава на внешних путях станция платит штраф a рублей.

Определить средний суточный штраф, который придется упла тить за ожидание составов на внешних путях.

Решение.

Вычислим среднее число zв составов, находящихся на внешних путях:

105

По формуле Литтла среднее время, проводимое одним составом на внешних путях,

tв ≈1,18/λ =1,18/2 =0,59 ч.

За сутки (24 ч) на станцию приходит в среднем 24λ= 48 составов. Суточный штраф составляет 48 0,59 a ≈ 28,3a.

Задача 7

Вычислить непосредственно по графу состояний, пользуясь схе мой гибели и размножения, финальные вероятности состояний для простейшей двухканальной СМО (n = 2) с тремя местами в очереди (m = 3) при λ= 0,6; μ= 0,2; ρ = λ/μ = 3. Найти для этой СМО характе

ристики z, r, tсист, t0, не пользуясь формулами (4.39), а непосред ственно через финальные вероятности, и сравнить с теми, которые получаются по формулам (4.39).

Решение.

Граф состояний СМО показан на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Граф состояний СМО к задаче 7

По схеме гибели и размножения, обозначая λ/μ = ρ, получаем:

z =1 0,074 +2 0,111+3 0,165 +4 0,250 +5 0,375 ≈3,67;

r = 1 0,165 + 2 0,250 + 3 0,375 ≈ 1,79;

tсист =z/0,6 ≈6,11;

t0 =r/0,6 ≈2,98.

106

Задача 8

Формула для r (4.41) справедлива для любого χ< 1 или χ> 1. При χ = 1 она перестает работать (дает неопределенность вида 0/0). Пользуясь непосредственно схемой гибели и размножения, вывести для этого случая вероятности состояний p0, p1, …, pn+m и найти ха

рактеристики эффективности СМО: A, Q, Pотк, k, r, z, tсист, t0.

Решение.

Граф состояний СМО имеет вид, показанный на рис. 4.10.

n n n

Рис. 4.10. Граф состояний к задаче 8

Пользуясь общими формулами для схемы гибели и размножения и обозначив λ/μ= ρ, имеем

107

Задача 9

Дано: Автозаправочная станция (АЗС) имеет две колонки (n = 2); площадка возле нее допускает одновременное ожидание не более че тырех автомашин (m = 4). Поток автомашин, прибывающих на стан цию, простейший с интенсивностью λ = 1 маш./мин. Время обслу живания автомашины – показательное со средним значением

=2 мин.

Найти: финальные вероятности состояний АЗС и ее характерис

тики: A, Q, Pотк, k, z, r, tсист, t0.

Решение.

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 2 ; 13

Pотк =2/13; Q =1− Pотк =11/13;

A = λQ =11/13 ≈0,85 маш./мин;

k = A/μ=22/13 ≈1,69 колонки;

r = 22 4(4 +1) 1 ≈1,54 машины;

2! 2 13

z = r +k ≈3,23 машины.

Задача 10

Дано: Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью λ= 4 заявки/ч. Сред нее время обслуживания одной заявки tобсл = 0,8 ч. Каждая обслу женная заявка приносит доход c = 4 рубля. Содержание каждого ка нала обходится в 2 р./ч.

Определить: выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех?

Решение.

По формулам Эрланга (4.19)

108

Q =1− p2 ≈0,450; A = 4Q ≈ 1,8 заявки/ч.

Доход от заявок, приносимый СМО в данном варианте, равен D = = A c ≈ 7,2 р./ч.

Подсчитаем те же характеристики для трехканальной СМО (от мечая их штрихом вверху):

Увеличение дохода равно D′ – D = 2,88 р./ч; увеличение расхода равно 2 р./ч; из этого видно, что переход от n = 2 к n = 3 экономичес ки выгоден.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общие тенденции развития промышленности связаны с усложне нием технических систем, уменьшением их габаритных размеров и массы, что приводит к постоянному ужесточению и усложнению ре жимов их работы по нагрузкам, скоростям, вибрациям и ряду других воздействий. При этом цена отказа технических систем может быть очень высокой.

Решение задачи обеспечения высокого качества и надежности тес но связано с задачей повышения уровня контроля продукции. Повы шение качества может быть достигнуто как за счет улучшения сред них значений его показателей, так и за счет уменьшения их диспер сии. Улучшение средних значений показателей качества может дос тигаться по двум ключевым направлениям. Первое – за счет высоко го научно технического уровня разработок, применения перспектив ных материалов и технологических процессов изготовления и сбор ки (в учебном пособии не рассматривается). Второе – за счет статис тического регулирования технологических процессов путем коррек тирования значений их параметров по результатам выборочного кон троля производимой продукции. Уменьшение дисперсии показате лей качества выпускаемой продукции может быть достигнуто путем проведения непрерывного контроля изменения свойств объектов про изводства на всех стадиях технологического процесса.

Высококачественный объект должен обладать заданным и посто янным химическим составом, микро и макроструктурой, механи ческими характеристиками, геометрическими размерами, в нем не должно содержаться несплошностей. Выполнение всех этих требо ваний возможно только путем применения различных методов конт роля, дополняющих друг друга.

При этом часто представляется целесообразным перейти от выбо рочного контроля качества материалов и изделий к сплошному. Если выборочный контроль может быть реализован на базе разрушающих испытаний ограниченного количества изделий, то сплошной конт роль различных свойств материалов и изделий возможен только на основе применения неразрушающих методов, т.е. методов, не нару шающих пригодности продукции к использованию. Методы НК пре дусматривают выявление дефектов без повреждения объектов, а иног да даже без их разборки. Это достигается путем использования физи ческих методов, связанных с анализом результата воздействия на объект контроля излучений и полей различной физической природы. Особенно важное значение методы НК приобретают при проверке ка чества объектов в процессе эксплуатации. В настоящее время НК

110