cudarikova2

μ =1/tобсл,

где tобсл = M[Tобсл] – математическое ожидание времени обслужива ния заявки.

Вместо «поток обслуживания – простейший» часто говорят «время обслуживания – показательное». В дальнейшем для краткости вся кую СМО, в которой все потоки простейшие, будем называть простей шей СМО (главным образом, они и будут здесь рассматриваться).

Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискрет ными состояниями и непрерывным времени. При выполнении неко торых условий для этого процесса существует финальный стацио нарный режим, при котором как вероятности состояний, так и дру гие характеристики процесса не зависят от времени.

С помощью теории массового обслуживания решаются следую щие задачи:

1)нахождение вероятностей различных состояний СМО;

2)установление зависимости между заданными параметрами (чис лом каналов n, интенсивностью потока заявок λ, распределением вре мени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности ра боты СМО.

В качестве характеристик эффективности работы СМО могут рассматриваться, например, следующие:

1)среднее число заявок A, обслуживаемое СМО в единицу време ни, или абсолютная пропускная способность СМО;

2)вероятность обслуживания поступившей заявки Q или относи% тельная пропускная способность СМО; Q = A/λ;

3)вероятность отказа Pотк, т. е. вероятность того, что поступив шая заявка не будет обслужена, получит отказ; Pотк = 1 – Q;

4)среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди) z ;

5)среднее число заявок в очереди r ;

6)среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием) tсист ;

7)среднее время пребывания заявки в очереди t0 ;

8)среднее число занятых каналов k.

В общем случае вероятности различных состояний СМО и харак теристики эффективности работы СМО зависят от времени. Но мно гие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стацио нарному. Далее, не оговаривая этого каждый раз специально, будем вычислять финальные вероятности состояний и финальные харак

91

теристики эффективности СМО, относящиеся к предельному, стаци онарному режиму ее работы.

Система массового обслуживания называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от со стояния самой СМО.

Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе tсист выражается через среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

где λ– интенсивность потока заявок.

Аналогичная формула (называется также формулой Литтла) свя зывает среднее время пребывания заявки в очереди t0 и среднее число r заявок в очереди:

Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять не обе характеристики эффективности, а только какую нибудь одну из них.

Подчеркнем, что формулы (4.9) и (4.10) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых ви дах потоков заявок и обслуживаний); единственное требование к потокам заявок и обслуживаний – чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов k через абсо лютную пропускную способность A:

где μ=1/tобсл – интенсивность потока обслуживаний.

Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся простейшихСМО,решаютсяприпомощисхемыгибелииразмножения.

Для схемы гибели и размножения (рис. 4.4) финальные вероятно сти состояний выражаются формулами:

92

При выводе формул для среднего числа заявок (в очереди или в системе) широко применяется прием дифференцирования рядов, со стоящий в следующем. Если x < 1, то

4.4. Финальные вероятности состояний и характеристики эффективности для некоторых часто встречающихся типов систем массового обслуживания

4.4.1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга)

На n канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром μ =1/tобсл. Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди, число заявок совпа дает с числом занятых каналов):

s0 – СМО свободна;

s1 – занят один канал, остальные свободны; ...;

sk – занято k каналов, остальные свободны (1 ≤ k ≤ n); ...; sn – заняты все n каналов.

О чем эта задача? Проанализируем исходные данные.

1.«n канальная СМО» – это, например, n контролеров, работаю щих в цеховой лаборатории НК и выполняющих одинаковую работу.

2.Поскольку «СМО с отказами», то партии продукции («поток заявок»), пришедшие в момент, когда все контролеры заняты, не принимаются (получают отказ).

3.«Партии продукции поступают на контроль с интенсивностью λ» означает, что в единицу времени на контроль поступает в среднем λ партий.

4. «Время обслуживания – показательное с параметром μ =1/tобсл» означает, что время обслуживания заявки (т. е. время контроля одной предъявленной партии) Tобсл представляет собой слу чайную величину, имеющую показательное распределение

93

где μ =1/tобсл – параметр показательного распределения ( tобсл = = M[Tобсл] –математическое ожидание времени обслуживания (кон троля) партии продукции). Параметр показательного распределения m есть интенсивность потока обслуживаний (т. е. число контролиру емых партий в единицу времени).

Теперь для поставленной задачи найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристики эффективности СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:

стема S) находится в состоянии s0, т. е. все ее контролеры свободны.

2. pk = ρk p0 (k =1, 2, 1, n) – это вероятность того, что система S k!

находится в состоянии sk, т.е. k контролеров заняты, а остальные свободны.

Параметр ρ= λ/μ– отношение интенсивностей поступления партий на контроль (λ) и их обслуживания (μ) или, что то же самое, отноше ние количества партий, поступивших на контроль за время T, к ко личеству партий, проверенных за это же время T. Поскольку рас сматривается СМО «с отказами», то ρ < 1 (если контролер не прове рил предыдущую партию, то следующую он не принимает).

Характеристики эффективности:

Что мы нашли?

1. A = λ (1 – pn) – среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО – т. е. среднее число партий, контролируемых всей цеховой лаборато рией НК в единицу времени.

Параметр pn – вероятность того, что СМО находится в состоянии sn, т. е. заняты все n каналов (все контролеры).

94

2.Q = 1 – pn – вероятность обслуживания поступившей заявки или относительная пропускная способность СМО – т. е. вероятность того, что предъявляемую на контроль партию примут на контроль (окажется хотя бы один свободный контролер, который ее сможет взять).

3.Pотк = pn – вероятность отказа, т. е. вероятность того, что предъявляемая партия не будет принята на контроль, получит от каз, так как все контролеры заняты; Pотк = 1 – Q.

4.k = ρ(1− pn) – среднее число занятых каналов (контролеров). Вернемся к выражениям (4.14).

При больших значениях n вероятности состояний (4.14) удобно

вычислять через табулированные функции

Справка. Из математики известно, что распределение случайной величины X будет пуассоновским тогда, когда число независимых испытаний n велико, а вероятность появления события в каждом испытании p мала. Это распределение называют также законом ред ких явлений. При этом вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение m, выражается формулой (4.16), где a = np – параметр Пуассона (интенсивность появления событий в n независимых испытаниях). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона,

M[X] = D[X] = a.

Для определения численных значений P(m, a) и R (m, a) существу ют таблицы – например, [2, прил. 1 и 2].

Функцию P(m, a) можно выразить через R(m, a):

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (4.14) можно пе реписать в виде

95

4.4.2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной очередью

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с парамет ром μ =1/tобсл. Длина очереди не ограничена. Финальные вероятно сти существуют только при ρ = (λ/μ) < 1 (при ρ ≥ 1 очередь растет неограниченно). Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО, находящихся в очереди или обслуживаемых:

s0 – СМО свободна;

s1 – канал занят, очереди нет;

s2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...; sk – канал занят, k – 1 заявок стоят в очереди; ...

Для поставленной задачи найдем финальные вероятности состоя ний и характеристики эффективности СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

где ρ= (λ/μ) < 1.

Характеристики эффективности:

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал за нят)

4.4.3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с парамет ром μ =1/tобсл. В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Со стояния СМО:

s0 – СМО свободна;

s1 – канал занят, очереди нет;

s2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...; sk – канал занят, k – 1 заявок стоят в очереди; ...;

96

sm+1 – канал занят, m заявок стоят в очереди.

Найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристи ки ее эффективности.

Финальные вероятности состояний существуют при любом

ρ= λ/μи равны

Характеристики эффективности СМО:

A = λ(1− pm+1 ); Q =1− pm+1; Pотк = pm+1.

Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят)

На n канальную СМО поступает простейший поток заявок с ин тенсивностью λ; время обслуживания одной заявки – показательное с параметром μ =1/tобсл. Финальные вероятности существуют толь ко при ρ/n = χ < 1, где ρ = λ/μ. Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО:

s0 – СМО свободна;

s1 – занят один канал; ...;

sk – занято k каналов (1d”kd”n); ...; → очереди нет sn – заняты все n каналов;

sn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; ...; sn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди.

97

Найдем финальные вероятности состояний и характеристики эф фективности такой СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

С помощью функций P(m, a) и R(m, a) (4.16)–(4.18) формулы (4.29) могут быть приведены к виду

Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4.4.4, с той разни цей, что число m мест в очереди ограничено.

Финальные вероятности состояний существуют при любых λи μи выражаются формулами:

98

4.4.6. Многоканальная СМО с отказами при простейшем потоке заявок и произвольном времени

обслуживания

Формулы Эрланга (4.14) остаются справедливыми и тогда, когда поток заявок – простейший, а время обслуживания Tобсл имеет про

извольное распределение с математическим ожиданием tобсл =1/μ.

4.4.7. Одноканальная СМО с неограниченной очередью при простейшем потоке заявок и произвольном времени обслуживания

Если на одноканальную СМО поступает простейший поток зая вок с интенсивностьюλ, а время обслуживания Tобсл распределяется по произвольному закону с математическим ожиданием tобсл =1/μ и ко эффициентом вариации vμ, то среднее число заявок в очереди выра жается формулой Полячека—Хинчина

99

где ρ= λ/μ, а среднее число заявок в СМО

Из (4.39) и (4.40) по формуле Литтла получим

4.4.8. Одноканальная СМО при произвольном (пальмовском) потоке заявок и произвольном времени обслуживания

Точных формул для этого случая не существует; приближенная оценка длины очереди может быть произведена по формуле

где vλ – коэффициент вариации интервала между событиями во вход ном потоке; ρ= λ/μ; λ– величина, обратная математическому ожида нию этого интервала; μ =1/tобсл – величина, обратная среднему вре мени обслуживания; vμ – коэффициент вариации времени обслужи вания.

Среднее число заявок, связанных с СМО,

а средние времена пребывания заявки в очереди и в СМО соответ ственно равны:

100