2.10. Отобразим на рисунке модели последовательно соединённых элементов Гука. Последовательное соединение означает соединение конца первого элемента со вторым.

При таком соединении приложенное к системе напряжение будет напряжением на каждом из элементов. Относительная деформация системы в целом является суммой деформаций каждого из элементов. У эквивалентной модели напряжение той же величины, что и приложенное к системе последовательно соединённых элементов, вызовет деформацию равную деформации системы. Иначе говоря: и . Воспользовавшись законом Гука , получим: .

Откуда: или .

Подставив числовые данные, получим ответ:

.

2.11. Отобразим на рисунке модели параллельно соединённых элементов Гука. Параллельное соединение означает соединение начала первого элемента с началом второго и конца первого элемента с концом второго.

При таком соединении приложенное к системе напряжение будет суммой напряжений на каждом из элементов. Относительная деформация системы в целом равна деформации каждого из элементов. У эквивалентной модели напряжение той же величины, что и приложенное к системе параллельно соединённых элементов, вызовет деформацию равную деформации системы. Иначе говоря: и . Используя закон Гука: , получим: .

Откуда: .

Подставив числовые данные, получим ответ:

.

2.12. Исходная длина образца – L₀, исходный диаметр – D₀. После деформирования образец стал иметь длину – L_t и диаметр – D_t. Обратим внимание на то, что L_t > L₀, а D_t < D₀ . По определению коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлен образец: . Откуда:

или .

Объём цилиндрического образца равен объёму прямого кругового цилиндра: Отметим, что объём цилиндра есть функция двух переменных – диаметра основания цилиндра D и его высоты L. Прологарифмировав формулу объёма по основанию е и взяв полный дифференциал от прологарифмированного выражения, получим: ; . Переходя к конечным приращениям, получим: . Используя , получим: . Таким образом, нами получена формула для относительного изменения объёма образца:

=,

= .

.

Подставив числовые значения, получим ответ:

2.13.Используем реологическое уравнение ньютоновской жидкости: , где (Па) – касательное (сдвиговое) напряжение, (Па с) – динамическая вязкость, (1/с) – скорость сдвига. Откуда, получаем расчётную формулу: . Подставив числовые данные, получим ответ:.

2.14.Используем реологическое уравнение ньютоновской жидкости, записав его для удельного производства тепловой энергии при ламинарном течении ньютоновской жидкости: , где (Па) – касательное (сдвиговое) напряжение, (1/с) – скорость сдвига. Подставив числовые данные, получим ответ:

. Другими словами в одном кубическом сантиметре жидкости за одну секунду выделится 50 микроджоулей тепловой энергии.

2.15. Мягкие биологические ткани обладают «псевдоупругостью». Это означает однозначную, но нелинейную связь между длиной и растягивающим напряжением на восходящей петле

механического гистерезиса. Дифференциальный (инкрементальный) модуль характеризует свойство ткани при определённом значении длины и напряжения. Эффективный модуль характеризует гетерогенный объект как целое. Для мышцы используется Е_эф.диф. = .

Подставив числовые данные, получим ответ: Е_эф.диф. =

.

2.16. См. решение предыдущей задачи. Е_{эф.диф.1} = ,

Е_{эф.диф.2} = . Подставив числовые данные, получим ответ:

Е_{эф.диф.1} =

Е_{эф.диф.2} =

2.17. Обратим внимание на то, что в условии указана конечная толщина объекта. Выберем подходящую для рассматриваемого случая физическую модель. Адекватной физической моделью для данного случая является толстостенная оболочка. Осуществим выбор наиболее простого математического расчета физической модели. Подходящей является формула Лапласа-Ламе.

Применим общую формулу для случая цилиндрической толстостенной оболочки: R₂ = ∞. Произведём математические преобразования: ;.

Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат.

Ответ: σ = 328,62 кПа.

2.18. В данном случае для модели желудочка сердца используем толстостенную сферическую оболочку. В рамках этой модели применим формулу Лапласа – Ламе в виде: , где - среднее кольцевое напряжение в толстостенной сферической оболочке (модели желудочка сердца), - трансмуральное давление в желудочке сердца, - средний радиус сферической оболочки, h – толщина стенки. Учитывая, что , где - радиус полости оболочки – желудочка. .. Расчётная формула: . В этой формуле V – объём желудочка. Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный ответ.

2.19. В данном случае используем формулу Лапласа – Ламе для толстостенной оболочки: . На схеме аорты показаны точки А и Б, для которых применим формулу Лапласа- Ламе.

При применении для точки А формула принимает вид: , а для точки Б: .

Учтём, что трансмуральное давление в аорте одинаково для обеих точек, а за среднее колцевое напряжение возьмём напряжение разррушения материала аорты.

Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат:

2.20. Модель упруговязкого тела (материала) или модель Максвелла представляет собою последовательное соединение абсолютно упругого и абсолютно вязкого элементов.

При последовательном соединении элементов в модель напряжение каждого из элементов равно приложенному напряжению ко всей модели. Полная деформация составной модели при последовательном соединении элементов равна сумме деформаций элементов. Ответ: напряжение в вязком элементе равно напряжению на упругом элементе и составляет 38 Па.

2.21. Будем исходить из реологического уравнения упруговязкого тела (максвелловского материала): . При постоянстве приложенного напряжения и реологическое уравнение становится обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: . Решением этого уравнения является относительная деформация как функция времени: . Полученное выражение позволяет определить динамическую вязкость:. Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат:

.

2.22. Модель упруговязкого тела или модель Максвелла представляет собою последовательное соединение абсолютно упругого и абсолютно вязкого элементов.

При последовательном соединении элементов в модель напряжение каждого из элементов равно приложенному напряжению ко всей модели. Полная деформация составной модели при последовательном соединении элементов равна сумме деформаций элементов. В условии задачи есть значение напряжения на одном из последовательно соединённых элементов, а значит и на втором элементе будет то же самое напряжение. Воспользовавшись законом Гука (реологическим уравнением абсолютно упругого материала), получим: .

2.23. Будем исходить из реологического уравнения упруговязкого тела (максвелловского материала): . При постоянной деформации и реологическое уравнение становится обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: Решением этого уравнения является напряжение как функция времени: где - время релаксации, а описывает релаксацию напряжения в упруговязкой системе.Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат:

.

2.24. Изобразим зависимость давления в вене от времени:

Аналитически изображенная зависимость выглядит: (P_t- P_) = (P₀ -P_)exp{-t/t^}. Произведём преобразования в полученном выражении: exp{-t/t^} = (P_t- P_) / (P₀ -P_); exp{t/t^} = (P₀ -P_) / (P_t- P_). Из полученного выражения выразим время: t^= t/[ln{(P₀ -P_)/(P_t- P_)}]

Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат: t^= 108,82 с.

2.25. Реологическая модель вязкоупругой системы – модель Кельвина – Фойгта. Модель состоит из параллельно соединённых пружины (элемент Гука) и продырявленного поршня в цилиндре с ньютоновской жидкостью (элемент Ньютона).

При параллельном соединении элементов в составную реологическую модель приложенное напряжение равно сумме напряжений на каждом из элементов, а деформации элементов одинаковы. Поэтому ответ на поставленный в задаче вопрос очевиден:.

2.26. Реологическая модель вязкоупругой системы – модель Кельвина – Фойгта. Модель состоит из параллельного соединения пружины (элемент Гука) и продырявленного поршня в цилиндре с ньютоновской жидкостью (элемент Ньютона).

Под действием постоянного напряжения в системе наблюдается ползучесть – увеличение со временем деформации, происходящее в соответствии с формулой: , где . Из формулы видно, что максимальное значение деформации() получится в пределе, когда время будет стремиться к бесконечности.

Ответ: . Иначе: .

2.27. Реологическая модель вязкоупругой системы – модель Кельвина – Фойгта. Модель состоит из параллельно соединённых пружины (элемент Гука) и продырявленного поршня в цилиндре с ньютоновской жидкостью (элемент Ньютона).

Под действием постоянного напряжения в системе наблюдается ползучесть – увеличение со временем деформации, происходящее в соответствии с формулой: , где . Ответ:

Иначе: .

2.28. Реологическое поведение вязкопластической системы в простейшем случае описывается с помощью модели Бингама:

Для случая, когда приложенное к системе напряжение больше предельного напряжения сдвига (соответствует условию задачи) реологическое уравнение системы выглядит как:. Скорость сдвига: . Ответ:.

2.29. Проанализируем реологическую модель.

Модель может быть представлена в виде последовательно соединённых элементов: упругого (1), вязкоупругого (2 и 3) и вязкого (4). Полная относительная деформация при последовательном соединении элементов модели равна сумме относительных деформаций каждого элемента. . Напряжение на каждом из элементов модели будет одинаковым при последовательном соединении элементов. Формулы для относительных деформаций каждого из элементов:.

Получим формулу для относительной деформации в момент времени t. Подставим в получившееся выражение числовые данные и получим окончательный результат: ;0,4%.