Статистический анализ результатов эксперимента.

Результаты нескольких измерений случайной величины (проведённых в одинаковых условиях), на первый взгляд, имеют хаотический разброс. На самом деле, количество повторений различных экспериментальных значений определяется законом распределения вероятностей для исследуемой случайной величины.

Оказывается, что огромное количество различных физических случайных величин описывается малым числом законов распределения вероятностей. Три из наиболее часто встречающихся распределений рассматриваются в этой работе.

Экспериментально установлено, что для определённого типа радиоактивных атомных ядер вероятность распада в единицу времени  есть постоянная величина. Следовательно вероятность распада одного ядра за время t равна q = t. Величина q одинакова для всех радиоактивных ядер данного препарата и не меняется со временем. Распады всех ядер независимы.

Из перечисленных свойств следует, что радиоактивный распад удовлетворяет условиям т. н. схемы Бернулли.

Это значит, что число распадов за интервал времени t подчиняется биномиальному распределению вероятностей.

Следует заметить, что в этой работе в качестве случайной величины экспериментально исследуется не число распадов, а число отсчётов счётчика Гейгера за время t. Счётчик срабатывает каждый раз, когда частица попадает внутрь его. Хотя при каждом распаде ядра испускается частица, но частицы разлетаются в разные стороны, и лишь некоторая их доля попадает в счётчик (СГМ).

Число отсчётов СГМ за время t, как и число распадов, есть случайная величина с биномиальным распределением вероятностей. Это распределение имеет два параметра - N и P¹. В качестве первого параметра N следует взять K₀ – максимальное число частиц, которое СГМ может зарегистрировать за t. Любой детектор частиц характеризуется определённым разрешающим временем . Если две частицы попадут в детектор с интервалом времени меньше , то на выходе детектора будет сформирован лишь один импульс. Для СГМ величина  в основном определяется временем электрического разряда и равна ~10^-4 с. Т. к. t~10 с, то M₀=t/=10⁵.

Второй параметр биномиального распределения P в данной задаче есть вероятность регистрации счётчиком Гейгера одной частицы за время t. Эта вероятность зависит от активности используемого в работе препарата и от расстояния между радиоактивным препаратом и счётчиком.

Численные значения параметров K₀ и P можно экспериментально определить достаточно точно. Тогда вероятность K отсчётов СГМ за t будет выражаться биномиальным законом распределения вероятностей:

(1)

где - число сочетаний изk₀ по k.

Но практические расчёты по этой формуле невозможны из-за большой величины k₀ и малости Р. При этих условиях первых сомножитель в (1) очень велик, второй – очень мал, а третий представляет собой неопределённость типа 1^.

Задача вычисления вероятностей биномиального распределения в случаях очень больших значений параметра k₀ решается с помощью одной из двух важных теорем теории вероятностей (теорема Муавра-Лапласа, приближение биномиального распределения распределением Пуассона).

• При условиях: k₀>>1, P<<1 и k₀p~1 биномиальное распределение почти не отличается от распределения Пуассона с параметром а= k₀p. Вероятность (1) можно с пренебрежимо малой погрешностью вычислять по закону распределения Пуассона:

(2)

Параметр a экспериментально определить нетрудно, т. к. он представляет собой среднее число отсчётов за выбранное время t.

Проверка свидетельствует, что биномиальное распределение (1) можно заменить распределение Пуассона (2) при: k₀>>100; 0,1k₀P5. Максимальное расхождение составляет  10%.

• При несколько других условиях: k₀  ; k₀P>>1 биномиальное распределение вероятностей стремится к нормальному распределению.

При большом (хотя и конечном) значении параметра k₀=N для вычисления биномиальной вероятности P(k) формулу (1) можно заменить приближённым равенством:

(3)

Хорошее приближение биномиальной вероятности (1) формулой (3) наблюдается уже при: k₀>>100; k₀P>>10.

Численные значения k₀P и k₀P(1-Р) вычисляются из экспериментальных результатов методом, изложенным в следующем параграфе.