Министерство образования Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Физический факультет

Отчет

по лабораторной работе

«Машина атвуда»

Выполнил:

студент группы №511

Кучин Д.П.

Проверил:

Позднеев Д.Б.

г. Нижний Новгород

2003 г.

Цель работы: экспериментально установить закон движения грузов.

Теоретическая часть.

М

При расчёте движения этих тел нить можно считать нерастяжимой. Тогда для любого момента времени можно записать

X₁ + X₂ +πR = L = const

где X₁ и X₂ ­­­­­­­– координаты тела; R – радиус блока; L – длина нити. Дважды дифференцируя это выражение по времени, получим

(X₁)^' + (X₂)^' и –а_1х = а_2х = а (1)

Напишем для каждого тела второй закон Ньютона в проекциях на ось х с учетом уравнения (1) получим

-Ма = Мg – T₁

(M + m)a = (M + m)g – T₂

откуда

a = (mg – (T₂ – T₁)) / (2M + m) (2)

ашина Атвуда представляет собой укреплённый на стойке блок, через который перекинута нить с грузами массыM на концах (рис. 1). На один из них накладывается дополнительный груз (перегрузок) массы m. Таким образом масса первого тела равна M, масса второго (M+m).

Чтобы найти (T₂ – T₁), рассмотрим движение частей нити под действием приложенных сил, полагая, что масса нити (m_н) можно пренебречь (рис. 2-а)

Рис. 2

Разобьём нить на три участка: 1, 2 и 3, длины которых равны Х₁, Х₂ и πR. Третий участок охватывает блок и в отсутствии проскальзывания в каждый момент времени неподвижен, относительно него. Это свидетельствует о наличии силы трения покоя между нитью и блоком, меньшей максимального значения силы трения покоя. В силу сказанного можно сказать, что силы T₁^'' и T₂^'' приложены к блоку со стороны первого и второго участков. Соответственно силы T₁^''' и T₂^''' приложены к первому и второму участкам нити со стороны третьего. Силы T₁^' и T₂^' приложены к первому о второму участкам со стороны тел (рис. 2). Теперь можно записать 2-ой закон для первого и второго участков нити с учётом m_н  0:

m_н1a_н1 = T₁^' + T₁^'' = 0, T₁^' = -T₁^''

m_н2a_н2 = T₂^' + T₂^'' = 0, T₂^' = -T₂^''

где m_н1, m_н2, a_н2, a_н1 – массы и ускорения соответствующих участков нити.

Рассмотрим движение бесконечно малого сегмента нити, принадлежащего её третьему участку (рис. 2-b). Для этого сегмента можно записать

adm_н = T_k + T_k+1 + dF_тр + dN = 0

т.к. массой нити можно пренебречь. Спроектируем это уравнение на направление касательной к внешней окружности блока (рис. 2-b) , приняв в следствии малости сегмента T_k+1 = T_k + dT,

T_k – T_k – dT + dF_тр = 0

Откуда

dF_тр = dT

И, следовательно, будут равны интегралы, взятые в пределах от 0 до π

∫ dF_тр = ∫ dT

Нам неизвестны зависимости F_тр(α) и T(α), но мы знаем, что T₍₀₎ = T₁^'' и T_(π) = T₂^'', так что

∫ dT = T_(π) – T₍₀₎ = T₂^'' – T₁^''

Откуда

∫ dF_тр = T₂^'' – T₁^''

Тем самым показано, что, если прене4бречь массой нити, то силы t2'' и t1''можно считать приложенными в каждый данный момент времени к самому блоку.

Используя 3-й закон Ньютона, можно показать, что

T₂^'' – T₁^'' = T₂ – T₁

Из приведённых рассуждений следует: T₂ – T₁ ≠ 0 в том случае, если для вращения блока к нему должны быть приложены неравные силы T₂^'' и T₁^'' (T₂^'' ≠ T₁^'').

Для объяснения последнего неравенства рассмотрим движение блока под действием приложенных к нему сил (рис. 2-b): T₂^'' , T₁^'' и F_отр – силы трения между блоком и осью. Трение о воздух примем пренебрежимо малым. Эти три силы создают моменты сил относительно центра блока, действующие на блок

М_отр = F_отрr, М₁^' = T₁^''R, М₂^'' = T₂^''R (4)

где r – радиус оси блока.

В случае вращения блока с постоянной угловой скоростью будем иметь

М_отр + М₁^' – М₂^'' = 0 (5)