Эта таблица — оптимальна. Опорный план, соответствующий этой базе, равен (2, 2, 0, 0)>.

Переход от базы к следующей базе называется итерацией симплексметода. Столбец i и строка j, получаемые на шаге 2 и 3 симплекс-метода, называются ведущими. Элемент симплекс-таблицы, стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца называется ведущим.

Определение 2.7. База AI называется невырожденной, если все компоненты опорного плана с номерами из I, отличны от нуля. Задача линейного программирования называется невырожденной, если все ее допустимые базы являются невырожденными.

В случае невырожденной базы величина β строго больше нуля, поэтому неравенство (??) — строгое. ает схему последовательного улучшения опорного плана. Так как число баз конечно, то в случае невырожденной ЗЛП получаем конечный алгоритм ее решения. Для перехода от текущей базы AI к следующей достаточно вычислить вектор cI¯ − cI A−I 1AI¯ и матрицу A−I 1AI¯.

Теорема 2.8. Симплекс-метод, примененный к невырожденной задаче линейного программирования, конечен.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Число различных баз задачи линейного программирования не превосходит числа

n!

(n − m)! m!

всех m-элементных подмножеств n-элементного множества. Значение целевой функции на каждой итерации симплекс-метода уменьшается, поэтому повторение баз невозможно. Таким образом, через конечное число итераций симплекс-метод должен остановиться.

2.3. Зацикливание и способы защиты от него

2.3.1. Зацикливание

Выбор элемента, вводимого в базу, и элемента, выводимого из базы, в симплекс-методе определен, вообще говоря, неоднозначно. Желательно

конкретизировать этот выбор так, чтобы любая ЗЛП решалась бы как можно быстрее. Однако надеяться на точное решение такой «сверхзадачи» в настоящее время трудно, и поэтому приходится использовать такие приемы, от которых требуется, чтобы, во-первых, любая ЗЛП решалась за конечное число итераций, и, во-вторых, это число итераций по какимто эвристическим соображениям было бы «не очень большим» хотя бы в большинстве случаев.

Пусть Q = (qij) — симплекс-таблица, соответствующая некоторой допустимой базе. Обычно применяются следующие критерии для выбора номера вводимого в базу (шаг 2 симплекс-метода).

α1 Выбираем первый встретившийся индекс l, удовлетворяющий условию q0l < 0.

α2 Выбираем индекс l, с наименьшим значением q0l.

α3 Выбираем l с наименьшим значением величины θq0l.

Первый из этих критериев — самый простой. Третий — дает наибольшее увеличение целевой функции за одну итерацию симплекс-метода. Второй занимает промежуточное положение между первым и третьим, он обещает наибольшее увеличение целевой функции при увеличении на 1.

Простое правило выбора элемента выводимого из базы при выбранном i (шаг 3 симплекс-метода) можно сформулировать так:

β1 Выбираем первый встретившийся индекс j, на котором достигается минимум отношения

qj0 .

qjl

Пример 2.9. Начиная с допустимой базы {2, 3, 4, 5} применить симплексметод с критериями α1 и β1 к ЗЛП

max(−600x1 + 75x6 − 500x7 + 2x8)

xj ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , 8).

Процесс решения опишем последовательностью симплекс-таблиц, помечая ведущий элемент и выписывая множество номеров базисных векторов на каждой итерации.