1.6.Задачи

1.1.Выпукло ли множество точек (x1, x2) R2, для которых либо x1 ≥ 0, либо x2 ≥ 0?

1.2.Доказать выпуклость множества Aff M, где M — произвольное множество точек.

1.3.Доказать выпуклость множества Cone M, где M — произвольное множество точек.

1.4.Доказать выпуклость множества Conv M, где M — произвольное множество точек.

1.5.Дать геометрическую интерпретацию множествам Aff M, Cone M,

Conv M, если M = {x1, . . . , xs}, xi Rn (i = 1, . . . , s) и 1 ≤ s ≤ 4, 1 ≤ n ≤ 3.

1.6.Доказать, что при аффинном преобразовании выпуклое множество переходит в выпуклое множество.

1.7.Суммой множеств Y и Z называется множество Y +Z = x : x = y + z, y Y, z Z. Доказать, что сумма выпуклых множеств есть выпуклое множество.

1.8.Пусть D — симметричная, положительно определенная матрица.

Доказать выпуклость эллипсоида x : x>Dx ≤1. (Указание: использовать задачу 1.6 и пример 1.5.

1.9.Доказать, что сумма выпуклых функций — выпукла. Верно ли это для произведения выпуклых функций?

1.10.Пусть f(x) — выпуклая функция. Выпукла ли функция |f(x)|?

1.11.Пусть f(x) — выпуклая функция. Выпукло ли множество {x : f(x) ≥ α}?

1.12.Пусть f(x) и g(x) — выпуклые функции. Можно ли утверждать, что функции min f(x), g(x) и max f(x), g(x) — выпуклы?

1.13.Доказать, что множество минимумов в задаче выпуклого программирования выпукло.

1.14.Показать оптимальность точки x = 0 для задачи:

max(x1 − x2)

x1 − x2 ≤ 0,

0 ≤ x2 ≤ 1,

x1 ≥ 0.