algebra

Чтобы найти трансформирующую матрицу Q (т. е. матрицу, для которой J Q 1AQ) элементарными преобразованиями приведем J E к нормальной диагональной форме. Составляем матрицу

00 1

Вычитаем из второго столбца третий, умноженный на 2 :

00 (2 )2

Матрица Q и есть искомая трансформирующая матрица и J Q 1AQ.

Матрицей естественной формы, или матрицей, имеющей нормальную естественную форму, называется клеточно-диагональная матрица B diag(B1, B2, , Bs) Fn n, где B1, , Bs .являются матрицами, сопровождающими многочлены f1 ( ), , fs ( ) соответственно, причем fi ( ) .. fi 1 ( ) (i 2, 3, , s).

Утверждение 13.22. Первые n s инвариантных множителя матрицы естественной формы являются 1. Остальные инвариантные множители равны f1 ( ), , fs ( ).

Теорема 13.23. Любая матрица A из Fn n подобна над F единственной матрице B есте-

ственной формы, называемой нормальной естественной формой матрицы A, причем B diag(B1, B2, , Bs) Fn n, где B1, , Bs — матрицы, сопровождающие инвариантные множители f1 ( ), , fs ( )

матрицы. Две матрицы из Fn n подобны над F тогда и только тогда, когда их естественные формы совпадают.

Квазиестественной матрицей называется клеточно-диагональная матрица B diag(B1, B2, , Bs) Fn n, где B1, , Bs являются матрицами, сопровождающими многочлены вида

f1 ( ) k1 , f2 ( ) k2 , , fs ( ) ks ,

где f1 ( ), fs ( ) неприводимы над полем F и имеют старшие коэффициенты, равные единице.

Утверждение 13.24. Элементарные делители квазиестественной матрицы являются f1 ( ) k1 , f2 ( ) k2 , , fs ( ) ks .

Теорема 13.25. Любая матрица A из Fn n подобна над F квазиестественной матрице B, определяемой однозначно с точностью до порядка следования диагональных клеток, называемой нормальной квазиестественной формой матрицы A, причем B diag(B1, B2, , Bs)

Fn n, где B1, , Bs — матрицы, сопровождающие элементарные делители f1 ( ) k1 , f2 ( ) k2 , , fs ( ) ks

матрицы. Две матрицы из Fn n подобны над F тогда и только тогда, когда их нормальные квазиестественные формы совпадают.

Пример 13.26. Инвариантные множители матрицы J из примера 13.18 равны

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ( 2) ( 3)2 3 8 2 21 18,

( 2)3 ( 3)2 x5 12 4 57 3 134 2 156 72, поэтому ее естественная форма равна

Элементарные делители матрицы J равны

2, 2, ( 2)3 3 6 2 12 8, ( 3)2 2 6 9, ( 3)2 2 6 9,

Пример 13.27. Инвариантные множители матрицы A из примера 13.21 равны 1, 2, ( 2)2 2 4 4,

В данном примере квазиестественная форма совпадает с естественной, так как элементарные делители ненулевой степени совпадают с инвариантными множителями.

Найдем матрицу Q, такую, что B Q 1AQ. Для этого приведем B E к нормальной диаго-

(матрица Q1 вычислена в примере 13.21). Далее необходимо найти остаток Q при делении Q0 на J E, но так как матрица Q0 — скалярная, то Q Q0. Итак, Q0 — искомая трансформирующая матрица.

Теорема 13.28. Последний инвариантный множитель матрицы A Fn n является ее минимальным многочленом.

Преобразование эрмитово, неотрицатель-Собственный вектор, относится к соб-