algebra

Следствие 6.13. При элементарных преобразованиях строк строчечный ранг матрицы не изменяется.

Аналогично можно доказать

Следствие 6.14. При элементарных преобразованиях столбцов столбцовый ранг не изменяется.

Теорема 6.15. Строчечный и столбцовый ранги произвольной матрицы совпадают.

Доказательство. Любую матрицу серией элементарных преобразований, сохраняющих столбцовый и строчечный ранги, можно привести к простейшему виду. Но для матрицы простейшего вида эти ранги равны, следовательно, они будут равны и для исходной матрицы.

Столбцовый строчечный ранг назовем просто рангом матрицы и обозначим rank A.

Замечание 6.16. Как мы уже видели, для нахождения столбцовой базы удобно применять элементарные преобразования строк матрицы, приводящие ее к простейшему (или ступенчатому) виду. Это позволяет также сразу найти коэффициенты линейных комбинаций, выражающих столбцы матрицы через базу. Аналогично, для нахождения строчечной базы удобно применять элементарные преобразования столбцов матрицы. Если же нужно определить только ранг матрицы, то можно применять любые элементарные преобразования строк и столбцов.

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на 3; из третьего столбца вычтем первый, умноженный на 2; из четвертого столбца вычтем первый. Получим:

К четвертому столбцу прибавим третий, умноженный на 4:

Ранг матрицы равен 3.

Упражнение 6.18. Показать, как с помощью элементарных преобразований строк найти строчечную базу матрицы A.

Теорема 6.19. Пусть столбцы aj1 , , ajr составляют столбцовую базу матрицы A. Тогда элементарными преобразованиями строк матрицу A можно привести к простейшему виду, так, что на месте этих столбцов будут стоять векторы e1, e2, , er .

Доказательство. Переставим столбцы aj1 , , ajr в начало матрицы и применим к полученной матрице алгоритм Гаусса–Жордана. Этот алгоритм приводит матрицу к виду, который является и простейшим, и ступенчатым. Если на месте первых r столбцов не получены e1, e2, , er , то эти столбцы не составляют базы полученной матрицы, а, следовательно, столбцы aj1 , , ajr не составляют базы для исходной матрицы.

Теорема 6.20 (Кронекер–Капелли). Система линейных уравнений с расширенной матрицей (A, b) совместна тогда и только тогда, когда rank A rank(A, b).

Доказательство. Рассмотрим два доказательства теоремы.

1-й способ. Элементарными преобразованиями строк матрицы (A, b) приведем ее к простейшему виду (A , b ). Из теоремы 6.4 следует, что система совместна тогда и только тогда, когда rank(A , b ) rank A , но rank(A , b ) rank(A, b), rank A rank A, откуда следует доказываемое.

2-й способ. Систему уравнений можно записать в виде a1x1 anxn b, где a1, , an — столбцы матрицы A. Очевидно, что совместность системы эквивалентна условию b L(a1, , an). Докажем, что это эквивалентно условию rank {a1, , an} rank {a1, , an, b}.

Если b L(a1, , an), то rank {a1, , an} rank {a1, , an, b}.

Пусть теперь rank {a1, , an} rank {a1, , an, b}. Если aj1 , ajr — база системы a1, , an, то rank aj1 , , ajr rank aj1 , , ajr , b , поэтому система aj1 , , ajr , b линейно зависима, и, следовательно, найдется вектор в этой систе-

ме, линейно выражающийся через остальные. Так как система aj1 , , ajr линейно независима, то этим вектором может быть только b, т. е. b L(aj1 , , ajr) L(a1, , an).

Следствие 6.21. Число связанных переменных совместной системы линейных уравнений равно рангу матрицы и, следовательно, не зависит от способа приведения расширенной матрицы системы к простейшему виду элементарными преобразованиями строк.

6.3.Пространство решений системы линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений с нулевой правой частью (b 0) называется однородной. Исследуем множество M(A, 0).

Теорема 6.22. Пусть A Fm n, rank A r. Множество M(A, 0) решений системы однородных уравнений с матрицей A есть линейное подпространство в Fn размерности n r.

Доказательство. Утверждение сразу следует из формул (6.13), описывающих множество M(A, 0).

Базис пространства M(A, 0) называется фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений.

Следствие 6.23. Любая линейно независимая система из n r частных решений системы линейных однородных уравнений составляет ее фундаментальную систему решений.

6.4.Множество решений системы линейных уравнений общего вида

Теорема 6.24. Пусть A Fm n, b Fm, rank A r. Множество M(A, b) решений совместной системы уравнений с расширенной матрицей (A, b) есть линейное многообразие в Fn размерности n r. В частности, если система совместна, то она имеет единственное решение тогда и только тогда, когда n r.

Доказательство. Утверждение сразу следует из формул (6.13), описывающих множество M(A, b).

Таким образом, несущим подпространством множества решений системы линейных уравнений является линейное пространство решений соответствующей однородной системы.

Доказательство. Утверждение сразу следует из формул (6.13).

Замечание 6.26. Можно дать следующую словесную формулировку теоремы: общее решение M(A, b) неоднородной системы уравнений есть ее частное решение x0 плюс общее решение M(A, 0) соответствующей однородной системы.

Утверждение 6.27. Для того, чтобы линейное уравнение являлось следствием совместной линейной системы необходимо и достаточно, чтобы оно являлось линейной комбинацией уравнений этой системы.

Доказательство. Достаточность условий очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что добавление уравнения-следствия к совместной линейной системе не должно менять ранга этой системы, откуда получаем требуемое.

6.5.Описание подпространства и линейного многообразия арифметического пространства в виде множества решений системы линейных уравнений

Ранее мы видели, что множество решений однородной (соответственно неоднородной) системы линейных уравнений есть линейное подпространство (соответственно многообразие) арифметического пространства. В этом разделе мы покажем обратное: любое линейное подпространство (соответственно многообразие) арифметического пространства является множеством решений некоторой однородной (соответственно неоднородной) системы линейных уравнений.

Теорема 6.28. Для любого подпространства L арифметического пространства Fn существует матрица A Fm n, такая, что L M(A, 0).

Доказательство. Пусть L L(b1, , bs), где bi (bi1, , bin) (i 1, , s). Рассмотрим систему линейных однородных уравнений

b11x1 b12x2 b1nxn 0;

образуют фундаментальную систему решений для (6.17). Покажем, что матрица A (aij) — искомая. Иными словами, покажем, что множество решений системы (6.1) есть заданное линейное подпространство. Действительно, этой системе удовлетворяют координаты каждого вектора b1, , bs, следовательно, этой системе удовлетворяют координаты произвольного вектора из L. Таким образом, L M(A, 0). С другой стороны, ранг системы (6.17) равен размерности пространства L, поэтому размерность m пространства решений системы (6.17) равна m n dim L. Откуда

dim M(A, 0) n m n (n dim L) dim L.

Итак, L M(A, 0) и dim M(A, 0) dim L. Следовательно, L M(A, 0).

Найдем систему линейных уравнений, множество решений которой совпадает с L.

1-й способ. Воспользуемся методом, описанным в доказательстве теоремы 6.28. Рассмотрим систему

x1 x2 x3 x4 0.

Фундаментальную систему ее решений составляют, например, векторы

x3 x4 0.

2-й способ. Рассмотрим матрицу B, составленную из столбцов b1, b2, и матрицу B, составленную из столбцов b1, b2, x. Для того, чтобы x L(b1, b2), необходимо и достаточно, чтобы rank B rank B. Элементарными преобразованиями строк матрицы B приведем ее к ступенчатому виду. Такие же

Ранг матрицы без последнего столбца равен 2. Для того, чтобы ранг всей матрицы был также равен 2 необходимо и достаточно, чтобы x2 x1 0 и x4 x3. Эти равенства и составляют искомую систему.

Теорема 6.30. Для любого линейного многообразия b0 L арифметического пространства Fn существуют матрица A Fm n и вектор b Fm, такие, что b0 L M(A, 0).

Доказательство. Для подпространства L построим однородную систему линейных уравнений с матрицей A, такую, что L M(A, 0). Положим b Ab0. Из теоремы 6.24 следует, что b0 M(A, b).

Пример 6.31. Пусть L L(b1, b2), где L — такое же, как в примере 6.29, и

Найдем систему линейных уравнений, множество решений которой совпадает с b0 L.

Подставляя компоненты вектора b0 в левую часть системы (6.18) получим числа 1, 0, следова-

Описание линейного многообразия с помощью системы линейных уравнений удобно для нахождении пересечения линейных многообразий.

Находим системы линейных уравнений, определяющих каждое из многообразий:

Пересечение многообразий определяет система, составленная из этих систем:

Множество решений этой системы есть одномерное линейное многообразие c0 L(c1), где

6.6. Матричные операции

Пусть F — произвольное поле. Таблица

m строк и n столбцов, или, кратко, матрицей размера m n (а также (m n)- матрицей). Числа aij называются элементами матрицы, первый индекс элемента aij указывает номер строки, второй индекс указывает номер столбца. Сокращенное обозначение матрицы, указывающее общий вид ее элементов: A (aij), где, разумеется, вместо i, j можно использовать другие переменные. Если m n, матрица называется квадратной матрицей порядка n. Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу (т. е. составленная из элементов a11, a22, , ann) называется главной диагональю. Диагональ, идущая от правого верхнего к левому нижнему углу называется побочной диагональю.

Множество всех матриц с элементами из X обозначим Xm n.

Матрицы из Fm n можно складывать и умножать на числа из F. При этом получаются матрицы из Fm n. Под суммой A B матриц A (aij)

B (bij) Fm n понимается матрица C (cij) Fm n, в которой cij aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n). Под произведением A матрицы A (aij) Fm n на число F понимается матрица C (cij) Fm n, в которой cij aij .

Легко доказываются следующие свойства этих операций.

Утверждение 6.33. Пусть A, B, C — матрицы из Fm n, а , — числа из F. Тогда

1)A (B C) (A B) C;

2)A B B C;

3)A O A, где O — нулевая матрица размера m n, т. е. матрица, в которой все элементы равны 0;

4)для любой матрицы A найдется матрица B, называемая противоположной и обозначаемая A, такая, что A B O; элементы противоположной матрицы равны bij aij.

5)( )A ( A);

6)1 A A;

7) ( )A A A;

8) (A B) A B.

Следствие 6.34. Относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число Fm n является линейным пространством над полем F размерности mn. В частности, Fm n изоморфно арифметическому пространству Fmn.

Так как Fm n — линейное пространство, то все результаты, полученные для линейных пространств относятся и к Fm n. В частности, в Fm n вводится операция вычитания и т. д.

Пусть A (aij) Fm n, B (bjl) Fn k. Под произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C (cil) Fm k, в которой

n

По определению матричного произведения имеем

n

Подставляя полученное выражение в формулу для fil , получаем:

По определению матричного произведения имеем

p

Подставляя полученное выражение в формулу для hil , получаем:

Имеем fil hil (i 1, 2, , m, l 1, 2, , q), откуда F H.

Утверждение 6.38. j-й столбец произведения AB есть линейная комбинация столбцов матрицы A с коэффициентами, взятыми из j-го столбца матрицы B. i-я строка произведения AB есть линейная комбинация строк матрицы B с коэффициентами, взятыми из i-й строки матрицы A.

Следствие 6.39. Если A Fm n, B Fn p, то

Множество Fn n квадратных матриц замкнуто относительно умножения. Отметим, что умножение не обладает свойством коммутативности.

Действия с матрицами, разбитыми на клетки. Матрицы, составленные из других матриц называются блочными матрицами, или матрицами, разбитыми на клетки. Пусть A Fm n1 , B Fm n2 . Матрицу, полученную приписыванием к A справа матрицы B обозначим (A B). Пусть теперь A Fm1 n, B Fm2 n. Матрицу, полученную приписыванием к A снизу матрицы B обозначим

A

.

B

Можно строить матрицы из большего числа блоков, например, из блоков Aij Fmi nj (i 1, 2, , q; j 1, 2, , r) можно составить матрицу