algebra

5.15. Линейное многообразие

Рассмотрим линейное пространство V над полем F. Пусть a0 — произвольный вектор, L — подпространство в V . Под записью a0 L будем понимать множество всевозможных векторов вида a0 x, где x — произвольный вектор из L. Множество a0 L называется линейным многообразием, порожденным вектором a0 и подпространством L. Подпространство L называется также несущим подпространством для многообразия a0 L.

Утверждение 5.62. Следующие три утверждения эквивалентны:

1.a0 L b0 L,

2.b0 a0 L,

3.b0 a0 L.

Доказательство. Импликации 1 2, 2 3 очевидны. Докажем импликацию 3 1 Пусть b0 a0 L, тогда b0 a0 l для некоторого l L. Рассмотрим произвольный вектор a a0 x из a0 L, x L. Имеем a b0 (x l), поэтому a b0 L, откуда a0 L b0 L. Аналогично можно показать, что b0 L a0 L.

Замечание 5.63. Импликация 2 1 означает, что многообразие порождается любым своим представителем. Эквивалентность 1 3 дает критерий совпадения двух линейных многообразий с одинаковым несущим подпространством.

Утверждение 5.64. Пусть a0, b0 — векторы, L, L — подпространства. Тогда, если a0 L b0 L , то L L . Таким образом, несущее подпространство линейного многообразия определяется единственным образом.

Доказательство. Из предыдущего утверждения следует, что, если a0 L b0 L , то a0 L a0 L , поэтому для любого x из L найдется такой y из L , что a0 x a0 y, откуда x y, т. е. x L , а, следовательно, L Аналогично можно показать, что L L.

Из доказанного утверждения следует корректность следующего определения. Размерностью линейного многообразия a0 L называется размерность его несущего подпространства L: dim(a0 L) dim L.

Линейное многообразие размерности 1 называется прямой, размерности 2 —

плоскостью4, размерности n 1 — гиперплоскостью.

4Иногда плоскостью называют линейное многообразие произвольной размерности

где t1, t2 — произвольные числа1. Решение (6.6) можно записать в «столбцовой» форме:

Следующие преобразования строк матрицы будем называть элементарными преобразованими:

1)перестановка (транспозиция) i-й и j-й строк (i j),

2)домножение i-й строки на число F ( 0),

3)прибавление к i-й строке j-й строки, умноженной на .

Лемма 6.2. Элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы линейных уравнений не меняют множества решений.

Доказательство. Докажем, что преобразование 3-го типа не меняет множества решений. Запишем систему, получающуюся из (6.1) преобразованием 3-го типа: Система, полученная из (6.1) преобразованием 3-го типа, будет отличаться от (6.1) только i-м уравнением, которое примет вид:

Пусть x (x1, , xn) — частное решение системы (6.1). Оно удовлетворяет всем уравнениям системы (6.1) и, следовательно, всем уравнениям новой системы, в том числе уравнению (6.7). Последнее справедливо, так как тождество

умноженного на . Итак, любое частное решение системы (6.1) является частным решением новой системы. Пусть теперь x (x1, , xn) — частное решение новой системы. Оно удовлетворяет всем уравнениям системы (6.1), в том числе i-му уравнению. Последнее справедливо, так как тождество (6.9) получается вычитанием из равенства (6.8) равенства (6.10), умноженного на . Таким образом, любое решение новой системы является решением системы (6.1).

1Форма записи ответа, в общем случае не единственна

e1, er. По матрице (A , b ) построим систему уравнений, эквивалентную исходной. Если полученная система содержит уравнения вида

0x1 0xn aj,

где aj 0 (т. е. в (A , b ) есть строка (0, 0, , 0, ) с 0), то система, очевидно, несовместна. В противном случае выразим неизвестные xj1 , , xjr через оставшиеся неизвестные:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xjr cr0 cr1xk1 c1n r xkn r ,

где {j1, , jr } {k1, , kn r} {1, 2, , n}.

Неизвестные xk1 , , xkn r назовем свободными, а xj1 , , xjr — связанными. Легко видеть, что какие бы значения не принимали свободные неизвестные

всегда по формулам (6.11) найдутся значения связанных неизвестных, при которых все уравнения системы превращаются в верные равенства. С другой стороны, любое решение исходной системы линейных уравнений удовлетворяет также и системе (6.11). Таким образом, общее решение системы можно записать в виде:

xj1 c10 c11t1 c1n r tn r, xj2 c20 c21t1 c2n r tn r,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

где t1, , tn r — произвольные числа из F. В частности, если n r, то решение системы единственно. Формулы (6.12) можно записать в «столбцовой» форме. Для простоты обозначений предположим, что j1 1, , jr r (этого всегда можно добиться перенумерацией неизвестных), тогда имеем:

Мы доказали следующие утверждения:

Теорема 6.4. Система с расширенной матрицей (A, b) несовместна тогда и только тогда, когда в некотором (любом) простейшем виде этой матрицы есть строка (0, 0, , 0, ), где 0.

Теорема 6.5. Если система линейных уравнений с раширенной матрицей (A, b) совместна, то найдется такой вектор c0 и такие линейно независимые векторы c1, , cn r, что

M(A, b) {x c0 t1c1 tn rcn r : t1, , tn r F} ,

где r — число строк в некотором простейшем виде матрицы A. В частности, если n r, то решение c0 единственное.

Говорят, что матрица A (aij) Fm n имеет ступенчатый вид, если найдутся j1, j2, , jr,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1, 2, , r), то ступенчатая матрица называется верхней треугольной. Легко видеть, что следующая процедура (прямой ход метода Гаусса) приводит матрицу A к ступенчатому виду.

procedure GAUSS (var A) i : 1

for j : 1, , n do

найти k {i, i 1, , m}, такое, что akj 0 если такого k не существует, то continue

переставить k-ю и i-ю строки for l : i 1, , m do

из l-й строки вычесть i-ю, умноженную на alj /aij end

i : i 1 end

end

Один из методов решения системы линейных уравнений основан на приведении расширенной матрицы (A, b) элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду (A , b ). Пусть j1, , jr

— номера столбцов ведущих элементов. Как и раньше, неизвестные xj1 , , xjr назовем связанными, а остальные переменные свободными. По матрице (A , b ) запишем соответствующую ей систему линейных уравнений. Если полученная система содержит уравнения вида

0x1 0xn bj ,

где bj 0, то она, очевидно, несовместна. В противном случае выполняем следующую процедуру, называемую обратным ходом метода Гаусса. Из r-го уравнения выразим неизвестную xjr через свободные неизвестные xjr 1, , xn. Полученное выражение подставим в (r 1)-е уравнение и выразим оттуда неизвестную xjr 1 . Полученное выражение подставим в (r 2)-е уравнение и т. д. до тех пор, пока не выразим все связанные неизвестные через свободные и не получим формулы

110 Глава 6. Матрицы и системы линейных уравнений

Эта система эквивалентна (6.15), поэтому она тоже имеет единственное (нулевое) решение, что означает линейную независимость векторов aj1 , , ajr .

Теперь покажем, что для произвольного j {1, , n} вектор aj линейно выражается через aj1 , , ajr . Система

1aj1 rajr aj

совместна, поэтому совместной будет система

1aj1 rajr aj,

полученная из исходной той же серией элементарных преобразований, с помощью которых мы из матрицы A получили A .

Следствие 6.9. При элементарных преобразованиях строк столбцовый ранг матрицы не изменяется.

Аналогично можно доказать

Следствие 6.10. При элементарных преобразованиях столбцов строчечный ранг матрицы не изменяется.

Пример 6.11. Найдем столбцовую базу матрицы и выразим остальные столбцы через базу:

25 7 1 1

Элементарными преобразованиями со строками приведем матрицу к простейшему виду:

1-й, 2-й и 4-й столбцы образуют базу. При этом 3-й столбец равен сумме 1-го и 2-го, a 5-й равен линейной комбинации 1-го и 2-го с коэффициентами 7, 3.

Утверждение 6.12. Пусть матрица A получена из матрицы A серией элементарных преобразований ее строк. Если a1, , am — строки матрицы A, a1, , am — строки матрицы A , то L(a1, , am) L(a1, , am).

Доказательство. Рассмотрим, например, преобразование третьего типа. Легко видеть, что системы

a1, , ai, , aj, , am; a1, , ai aj , , aj, , am

эквивалентны.