algebra

Осталось применить к полученному определителю предположение индукции.

Пример 7.31.

11

Теорема 7.24 позволяет дать следующее индуктивное определение определителя (2-я точка зрения на определители). Определителем матрицы 1-го порядка называется (единственный) элемент этой матрицы. Определителем матрицы A (aij) n-го порядка, n 2, называется

n

det A ( 1)1 j a1j M1j,

j 1

где Mij — определитель матрицы, полученной из A вычеркиванием i-го строки и j-го столбца. В силу теоремы 7.24 это определение эквивалентно комбинаторному определению.

Теорема Лапласа. Обобщением теоремы 7.24 является теорема Лапласа, позволяющая раскладывать определитель по нескольким строкам (столбцам).

Теорема 7.33 (Лаплас). Сумма произведений миноров, стоящих в фиксированных k строках матрицы A, на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы A:

Аналогичное утверждение справедливо и для любого набора выбранных столбцов.

Доказательство. По лемме 7.23 произведение минора на алгебраическое дополнение является суммой части членов, входящих в разложение det A, взятых с теми же знаками, с которыми они встречаются в этом разложении. Количество этих членов равно произведению числа членов в миноре на число членов в алгебраическом дополнении: k!(n k)!. Общее число миноров, стоящих в выбранных строках равно nk , поэтому общее число членов, встречающихся в произведениях этих миноров на их алгебраические дополнения, равно

nk k!(n k)! n!

Легко видеть, что все члены попарно различны и поэтому их сумма равна det A.

Пример 7.34. Разложим определитель 4-го порядка по 1-й и 4-й строкам, применим теорему 7.33 при i1 1, i2 4:

нулевой столбец, поэтому заведомо равны нулю, поэтому в сумме (7.21) останется только 3 члена:

0B

Для доказательства достаточно разложить определитель по первым n столбцам.

7.6. Полилинейные знакопеременные функции

Рассмотрим функцию f(a1, , an) от n аргументов a1, , an, где aj Fn (j 1, , n). Такая функция называется линейной по каждому аргументу (или полилинейной), если

f(a1, , aj aj , , an) f(a1, , aj , , an) f(a1, , aj , , an), f(a1, , aj , , an) f(a1, , aj , , an)

для любых входящих сюда векторов, любых чисел 1, 2 из поля F и любого j {1, , n}. Функция f называется знакопеременной, если

f(a1, , aj , , ai, , an) f(a1, , ai, , aj , , an)

для любых векторов и любых i, j {1, , n}, i j. Функция f называется нормированной, если f(e1, , en) 1,

где ej — столбец, у которого j-ая компонента равна 1, а остальные равны 0.

Из доказанных результатов следует, что определитель есть полилинейная знакопеременная нормированная функция от своих столбцов. Верно и обратное утверждение:

Теорема 7.38. Любая полилинейная знакоперменная нормированная функция f(a1, , an) есть определитель матрицы, составленной из столбцов a1, , an. Аналогичное утверждение справедливо и для строк матрицы.

Доказательство. По индукции для полилинейной функции мы можем доказать

Докажем теперь, что если ai aj, где i j, то знакопеременная функция f(a1, , an) равна нулю. Действительно, при транспозиции i-го и j-го аргумента функция не меняется, но по свойству знакопеременности меняет знак, следовательно,

Теорема доказана.

Мы получаем так называемое аксиоматическое определение определителя: определителем матрицы называется полилинейная нормированная знакопеременная функция от столбцов (строк) матрицы (третья точка зрения на определитель).

Следствие 7.40. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, образуют соответственно строчечную и столбцовую базы матрицы.

Следствие 7.41. Если в матрице некоторый минор не равен нулю, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то исходный минор — базисный.

Следствие 7.42. Минорный ранг равен столбцовому и строчечному рангам матрицы.

Теорема 7.43. Минор, стоящий на пересечении строк строчечной базы и столбцов столбцовой базы матрицы, является базисным.

Доказательство. Пусть i1, , ir, j1, , jr — номера строк и столбцов матрицы A соответственно. Обозначим B подматрицу, образованную элементами, стоящими на пересечении базисных строк и столбцов. Обозначим C подматрицу, образованную всеми строками матрицы A и столбцами j1, , jr. По условию столбцы матрицы C линейно независимы, поэтому rank C r. По условию каждая строка матрицы A (и, следовательно, C) линейно выражается через строки i1, , ir. Так как rank C r, то строки i1, , ir линейно независимы, откуда rank B r, т. е. det B 0. Так как очевидно, что все окаймляющие миноры равны нулю, то исходный минор — базисный.

7.8. Обратная матрица

Матрица B Fn n называется обратной к матрице A Fn n, если AB BA E, где E — единичная матрица. Обратная матрица обозначается A 1.

Обозначим Aij алгебраическое дополнение к элементу aij матрицы A. Матрица

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A1n A2n Ann

называется присоединенной, или взаимной, к матрице A.

Утверждение 7.44.

A Adj A Adj A A det A E.

Доказательство. Покажем, что A Adj A det A E. Для этого рассмотрим элемент матрицы A Adj A, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, и покажем, что он равен det A при i j и 0 в остальных случаях, т. е. покажем, что

Действительно, при i j левая часть равенства (7.28) есть разложение определителя det A по i-й строке. При i j левая часть этого равенства есть разложение определителя матрицы, получающейся из A заменой j-й строки на i-ю — очевидно, этот определитель равен нулю.

Равенство Adj A A det A E доказывается аналогично.

Теорема 7.45. Если матрица A Fn n невырождена, т. е. det A 0, то A 1 существует, единственна и равна

Если det A 0, то A 1 не существует.

Доказательство. Из утверждения 7.44 следует, что если det A 0, то матрица A 1 существует и определяется формулой (7.29). Докажем единственность обратной матрицы. Пусть B1, B2 — матрицы, обратные к A. Тогда B1AB2 B1, так как AB2 E, а с другой стороны, B1AB2 B2, так как B1A E, поэтому

B1 B2.

Осталось показать, что если det A 0, то обратной матрицы не существует. Предположим, что это не так и B — обратная к A матрица, тогда AB E. Но по следствию 6.39 rank E rank A, что невозможно, так как rank A n, а rank E n.

Пример 7.46.

1