algebra

соотношению (7.44), может быть представлена в виде линейной комбинации последовательностей e(0) , e(1) , , e(n 1) . Действительно, если последовательность (7.43) удовлетворяет (7.44), то

Докажем это индукцией по k. При k 0, 1, , n 1 равенство (7.46) очевидно. Пусть k n. По предположению индукции

Умножая обе части этого равенства на dk j и складывая полученные равенства при j k n, k n 1, , k 1 придем к (7.46).

Лемма 7.84. Пусть корни 1, 2, , s характеристического многочлена (7.45) имеют кратности n1, n2, , ns соответственно. Тогда n последовательностей

k1 , k k1 1, k(k 1) k1 2, , k (k 1) (k n1 2) k1 n1 1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ks , k ks 1, k(k 1) ks 2, , k (k 1) (k ns 2) ks ns 1,

образуют базис пространства V всех последовательностей, удовлетворяющих рекуррентному соотношению (7.44).

Доказательство. Во-первых докажем, что каждая из указанных последовательностей принадлежит V . Пусть i {1, 2, , s}. Так как

то k d1 k 1 d2 k 2 dn k n, т. е. k удовлетворяет рекуррентному соотношению (7.44). i i i i i

Докажем, что если i — кратный корень, то k ki 1 также удовлетворяет этому соотношению. Действительно, в этом случае f ( i) 0, т. е.

веряются аналогично.

Во-вторых докажем, что указанные последовательности линейно независимы и, так как dim V n, образуют базис. Для этого составим из первых n членов этих последовательностей матрицу:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

По лемме 7.78 определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, указанные последовательности линейно независимы.

Доказательство теоремы 7.81. Непосредственно следует из леммы 7.84. Числа cij в формулировке теоремы — это (определяемые единственным образом) координаты произвольной последовательности, удовлетворяющей рекуррентному соотношению, в базисе из леммы 7.84.

поэтому общий член последовательности, удовлетворяющей рекуррентному соотношению (7.49), имеет вид:

c1 5 , c2 5 .

Получаем, что общий член последовательности, удовлетворяющей рекуррентному соотношению (7.49) и начальным условиям (7.50), имеет вид:

Составляем характеристический многочлен 2 4 4. Многочлен имеет один кратный корень 1,2 2, поэтому общий член последовательности, удовлетворяющей рекуррентному соотношению (7.52), имеет вид:

Подставляя в (7.54) при k 0, 1 значения (7.53), получим систему линейных уравнений

1 c1,

0 2c1 c2,

из которой определим c1 1, c2 2. Получаем, что общий член последовательности, удовлетворяющей рекуррентному соотношению (7.52) и начальным условиям (7.53), имеет вид:

Пример 7.87. Рассмотрим линейное рекуррентное соотношение

с начальными условиями

Составляем характеристический многочлен:

4 5 3 6 2 4 8 (x 1) (x 2)3.

Многочлен имеет простой корень 1 и трехкратный корень 2, поэтому общий член последовательности, удовлетворяющей рекуррентному соотношению (7.55), имеет вид:

Пример 7.88. Линейные рекуррентные соотношения появляются, например, при вычислении трехдиагональных определителей n-го порядка:

164 Глава 7. Определители

Для решения рекуррентного соотношения составим характеристический многочлен f( ) 2 6 5 ( 5) ( 1). Таким образом, n c15n c2 ( 1)n. Учитывая начальные условия

Из свойств линейности оператора по индукции легко вывести следующее обобщение:

8.2. Матрица линейного оператора

Обозначим через (V, W) множество всех линейных операторов, действующих из V в W . В этом разделе мы дадим обозрение множества (V, W).

1. Пусть e1, e2, , en — некоторый базис пространства V . Для произвольного вектора x nj 1 jej V из (8.1) получаем:

n

Таким образом, линейный оператор восстанавливается однозначно по образам базисных векторов.

2. Пусть e1, e2, , en и f1, f2, , fm — базисы пространств V и W соответственно. Так как ej W (j 1, 2, , n), то ej раскладывается по базису f1, f2, , fm. Пусть [ ej ]f ( 1j , 2j, , mj,) — столбец координат вектораej в базисе f1, f2, , fm. Матрица, j-ый столбец которой есть столбец координат [ ej ]f (j 1, 2, , n), называется матрицей оператора , построенной в

базисах e1, e2, , en и f1, f2, , fm. Обозначение: [ ] f,e . Из определения получаем

[ ] f,e ( ij) Fm n.

3. Переходя в выражении (8.2) к координатам, получим:

n

[ x]f j [ ej ]f.

где e, f — два фиксированных базиса пространств V , W соответственно, A — произвольная матрица из Fm n. Приведенная формула каждому вектору x V ставит в соответствие вектор x W , таким образом, определяет оператор: V W . Исследуем его.

Лемма 8.2. Отображение : V W , заданное формулой (8.4), является линейным, причем A — его матрица: [ ] f,e A.

Доказательство. Для произвольных x, y V имеем

[ (x y)]f A[x y]e A([x]e [y]e) A[x]e A[y]e [ x]f [ y]f,

следовательно, (x y) x y. Для произвольного x V и произвольногоF имеем

[ ( x)]f A[ x]e A( [x]e) A[x]e [ x]f,

следовательно, ( x) x. Итак, оператор — линейный.

Проверим теперь, что [ ] f,e A. Подставим ej (j 1, 2, , n) в (8.4): [ ej ]f A[ej ]e. Так как j-ая компонента столбца [ej ]e равна 1, а остальные компоненты равны 0, то A[ej ]e есть j-ый столбец матрицы A, значит A, по определению, есть матрица оператора .

5. Переформулировка результатов пп. 2,4 приводит нас к следующему.

Следствие 8.3. Отображение, ставящее в соответствие всякому оператору его матрицу, является биекцией из (V, W) в Fm n.

8.3. Операции с линейными отображениями

Определения.

• Суммой двух операторов , (V, W) называется оператор , такой, что x x x для произвольного x V . Обозначение для суммы:

.

•Произведением оператора (V, W) на число F называется оператор , такой, что x ( x) для произвольного x V . Обозначение для произведения оператора на число: .

•Рассмотрим три пространства U, V, W , заданных над одним и тем же полем F. Пусть , — линейные операторы, действующие из U в V и из V в W

соответственно: U V W . Произведением операторов и называется оператор , такое, что x ( x). Обозначение для произведения операторов: .

Итак,

( )x x x, ( )x ( x), ( )x ( x).

Линейность результата операций.

Утверждение 8.4. 1) Пусть , (V, W), F, тогда операторы ,— линейные, причем [ ] [ ] [ ], [ ] [ ].

2) Пусть (V, W), (U, V), тогда оператор — линейный,

причем [ ] [ ] [ ].

Доказательство. Все свойства доказываются аналогично. Приведем для примера два способа доказательства п. 2.

1 способ Пусть

g1, g2, , gl — базис пространства U,

[ ] f,e ( ij) Fm n, [ ]e,g ( jk) Fn l .

Теперь получаем [( )x]f [ ( x)]f [ ] f,e [ x]e [ ] f,e [ ]e,g

чим A [ ] f,e [ ]e,g , тогда [( )x]f A[x] g . Применяя лемму из предыдущего раздела, получаем, что оператор — линейный и [ ] f,g [ ] f,e [ ]e,g .

2 способ Докажем вначале линейность. Для произвольных x, y U имеем ( ) (x y) ( (x y)) ( x y) ( x) ( y) ( )x ( )y. Для произволь-

Замечание 8.5. Сумма, произведение и произведение на число линейных операторов являются операторами линейными в том числе и для бесконечномерного пространства. 2-ой способ доказательства проходит и для этого случая.

Другие свойства линейных операций. Линейные операции над операторами

— это сложение операторов и умножение их на числа из поля.

Утверждение 8.6. Для любых , , (V, W), , F справедливы равенства:

1.,

2.( ) ( ) ,

3.0 , где 0 — нулевой оператор,

4.( 1) 0 (таким образом, ( 1) — оператор противоположный

оператору ),

5.1 ,

6.( ) ( ) ,

7. ( ) ,

8. ( ) .

Доказательство. Доказательство приведенных выше свойств не должно вызывать затруднений. Докажем для примера двумя способами последнее свойство. 1 способ (по определению) Для произвольного x V имеем [ ( )x]f

[ ( )] f,e [x]e [ ] f,e [x]e [ ] f,e [x]e [ x]f [ x]f, откуда вытекает доказываемое.

2 способ (через свойства матриц) Для произвольного x V имеем () x ( )x ( x x) ( x) ( x) ( )x ( )x, т. е.

( ) .

Замечание 8.7. 2-й способ доказательства проходит также и для случая бесконечномерного линейного пространства.

Следствие 8.8. Множество (V, W) относительно ранее введенных операций сложения операторов и умножения их на числа является линейным пространством. Отображение, ставящее в соответствие всякому преобразованию его матрицу, является изоморфизмом (V, W) в Fm n.

Доказательство. Замкнутость операций сложения операторов и умножения их на числа вытекает из утверждения о линейности результата операций. Аксиомы линейного пространства доказаны в предыдущем утверждении. Биективность указанного в формулировке следствия вытекает из утверждения п. 5 предыдущего раздела. Сохранение операций следует из утверждения о линейности результата операций.

Другие свойства операций умножения линейных операторов.

Утверждение 8.9. Пусть U, V, W, Q — линейные пространства, заданные над одним полем F. Тогда для любых линейных операторов , 1 (V, W),, 1 (U, V), (Q, U), и произвольных , F справедливы равенства:

1. ( ) ( ) ,

2.( ) ( ) ) ( ),

3.( 1) 1 ,

4.( 1) 1.

Доказательство. Как и свойства линейных операций сформулированные свойства легко могут быть выведены из определения, либо из соответствующих свойств матриц.

8.4. Изменение матрицы оператора при замене базисов

Пусть (V, W),

e1, e2, , en

два базиса пространства V ;

e1, e2, , en $

f1, f2, , fm

два базиса пространства W.

f1, f2, , fm $

Изучим, как меняется матрица преобразования при переходе от базисов e1, e2, , en

8.5. Ядро и образ оператора

Образом, или множеством значений оператора (V, W), называется множество векторов из W , для которых в V существует по крайней мере один прообраз. Обозначение: V или Im . Итак, по определению,

V {y W : x V, x y} .

Ядром, или нуль-пространством, оператора (V, W), называется множество векторов из V , обращающихся в 0 W . Обозначение: Ker . Итак, по определению,

Ker {x V : x 0} .