algebra

Доказательство. Если g( ) m, то формула 8.30 превращается в 8.31. Далее доказательство не должно вызывать затруднений.

Пример 8.56. Для матрицы

A 1 11 3

найти A2000.

Характеристический многочлен в данном случае совпадает с минимальным и имеет вид f( )2 4 4 ( 2)2, поэтому

8.11.2. Функции от матриц

Пусть

f( ) ( 1)k1 ( s)ks

— минимальный многочлен матрицы A. Будем говорить, что произвольная функция g( ) : задана на спектре матрицы A, если существует набор значений

g( 1), g ( 1), , gk1 1 ( 1);

g( 2), g ( 2), , gk2 1 ( 1);

(8.32)

g( s), g ( s), , gks 1 ( 1).

В данном случае говорят также, что функция g( ) на спектре матрицы A принимает значения (8.32). Обозначим через gA ( ) многочлен минимальной степени, совпадающий на спектре матрицы A с функцией g( ) (так называемый интерполяционный многочлен Лагранжа–Эрмита, заданный на спектре матрицы A). Значение g(A) функции g( ) определим как значение многочлена gA ( ) от матрицы A:

g(A) gA (A).

Сразу отметим, что, по предыдущей теореме, степень интерполяционного многочлена Лагранжа–Эрмита, заданного на спектре матрицы A, меньше степени минимального многочлена этой матрицы.

Пример 8.57. Для матрицы

найти eA.

Минимальный многочлен f( ) ( 2)2 имеет вторую степень, поэтому ищем интерполяционный многочлен в виде

gA ( ) f1 f2.

На спектре матрицы A функция g( ) e принимает следующие значения: g(2) e2, g (2) e2, поэтому

gA (2) 2f1 f2 e2, gA (2) f1 e2;

откуда получаем f1 e2, f2 e2, следовательно, gA ( ) e2 e2, поэтому

Следующее утверждение показывает корректность введенного определения для того случая, когда функция g( ) сама является многочленом.

Теорема 8.58. Пусть g( ), h( ) — многочлены из [ ], A — матрица изn n . Для того, чтобы g(A) h(A) необходимо и достаточно, чтобы значения многочленов g( ), h( ) совпадали на спектре матрицы A.

Доказательство. Пусть

f( ) ( 1)k1 ( s)ks

— минимальный многочлен матрицы A, тогда g(A) h(A)

g(A) h(A) 0

g( ) h( ) — аннулирующий многочлен матрицы A

g( ) h( ) p( ) f( ) для некоторого p( ) [ ]

i — корень g( ) h( ) кратности ki (i 1, 2, , s)

g(j) ( i) h(j) ( i) 0 (i 1, , s; j 0, , ki 1).

Пример 8.59. Для матрицы

A 1 11 3

найти A2000.

Этот пример уже рассматривался. Приведем другой способ его решения. Для функции g( )2000 найдем интерполяционный многочлен

gA ( ) f1 f2,

заданный на спектре матрицы A. Имеем

gA (2) 2f1 f2 22000, gA (2) f1 2000 21999;

откуда f1 2000 21999, f2 1999 22000, следовательно,

gA ( ) 2000 21999 1999 22000 22000 (1000 1999).

Следующие утверждения являются аналогами утверждений 1, 2, 4 из раздела 8.11.1.

Утверждение 8.60. 5 Если матрицы A, B подобны, причем B Q 1AQ, тогда для любой функции g( ), определенной на спектре матрицы A, g(B) существует, причем

g(B) Q 1 g(A)Q.

Доказательство. Так как A и B подобны, то у них совпадают минимальные многочлены и, следовательно, наборы значений функции g( ) на их спектре, поэтому g(B) существет и gA ( ) gB ( ). Теперь по утверждению 1 получаем

g(B) gB (B) gA (B) Q 1 gA (A)Q Q 1 g(A)Q.

Утверждение 8.61. Для произвольной функции g( ), определенной на спектре блочно-диагональной матрицы diag(A1, , Ap) функция g(Ai) существует для каждого i 1, 2 , p и

g(diag(A1, , Ap)) diag(g(A1), , g(Ap)).

Доказательство. Пусть fi ( ) — минимальный многочлен матрицы Ai (i

1, 2, , p), а f( ) — минимальный многочлен матрицы A. Так как f( ) НОК(f1 ( ), , fp ( )), то все корни многочлена fi ( ) являются корнями многочлена f( ), причем в по-

следнем каждый из корней имеет не меньшую кратность (спектр матрицы Ai содержится в спектре матрицы A). Следовательно, g(Ai) существует, gA ( ) gAi ( ) и поэтому, используя утверждение 2, получаем

g(diag(A1, , Ap))

gA (diag(A1, , Ap))

diag(gA (A1), , gA (Ap))

diag(gA1 (A1), , gAp (Ap))

diag(g(A1), , g(Ap)).

Утверждение 8.62. Пусть функция g( ) определена на спектре матрицы Jn ( 0), тогда справедлива формула (8.31).

Доказательство. Для краткости обозначим A Jn ( 0)). Минимальный многочлен матрицы A равен f( ) ( 0)n, поэтому интерполяционный многочлен gA ( ) удовлетворяет n условиям вида

откуда по утверждению 4 получаем доказываемое.

200 Глава 11. Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

векторов, равенство (11.1) перепишем в виде

A [ ]

Таким образом, преобразование единственно, является линейным и имеет матрицу (11.2).

Замечание Если базис ортонормированный, то матрица Грама единичная и формула (11.2) приобретает особенно простой вид:

[ ]e [ ]e .

Матрица A называется сопряженной к матрице A Fn n и обозначается A . Таким образом, в ортонормированном базисе матрица сопряженного преобразования сопряжена с матрицей исходного преобразавания.

Теорема 11.2 (Свойства операции сопряжения). Для произвольных преобразований , и любого скаляра F справедливы следующие свойства:

1.( ) ;

2.( ) ;

3.( ) ;

4.( ) .

Доказательство. Свойства можно вывести из соответствующих свойств матриц. Проиллюстрируем на примере свойства 1) другой способ доказательства. Для произвольных x, y из V имеем:

( x, y) (x, y) ( y, x)

(y, x) ( x, y).

Откуда ( x x, y) 0. Последнее равенство справедливо для произвольного вектора y. В частности, для y x имеем

( x x, x x) 0,

поэтому x x, где x — любой вектор из V , поэтому .