23. Ду-1-пнроп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.

- определенная и непрерывная по совокупности переменных – уравнение, не разрешенное относительно производной.

Решение– функция, непрерывная, дифференцируемая и обращающая уравнение в тождество по:

Общее решение зависит от произвольной постоянной. Общее решении может быть записано как общий интеграл или как параметризация .

Постановка задачи Коши: найти решение, удовлетворяющее поставленному условию.

Уравнение задает поле направлений, но в каждой точкеопределено столько наклонов, сколько действительных корней имеет соотношение.

Считается, что -обыкновенная, если через нее по каждому направлению, определяемомупроходит единственная ИК, -особая, если в ней задача Коши не имеет решения или хотя бы по одному направлению проходит больше одной ИК.

24. Теорема Коши-Пикара для ду 1 порядка, не разрешенного относительно производной.

- (1),- (2),- (3)

Теорема Коши-Пикара: пусть дано уравнение (1) и задача Коши (2), и выбрано направление , определенное соотношением (3). Если в областифункцияопределена и непрерывна по совокупности переменных, существуют непрерывные,ивсюду в. Тогда задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, удовлетворяющее условию (2) и дополнительному условию.

Доказательство: по теореме о неявной функции, условия (1) и (2) гарантируют существование и единственность непрерывной и дифференцируемой в окрестности . Покажем, чтонепрерывна и ограничена, тогда будет выполнено условие Липшица и теорема Коши-Пикара для уравнения, разрешенного относительно производной.

Продифференцируем по :,, гдеограничена и непрерывна, аограничена и не равна 0. Следовательно,непрерывна и ограничена.

25. Особые решения ду-1-нпроп. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.

Особое решение– решение, содержащее континуум особых точек.

Отыскание кривых, подозрительных на особое решение:

1. По виду ДУ.

Ищем ГМТ, в которых нарушаются условия теоремы Коши-Пикара, т.е. дискриминантную кривую из системы: . Исключаем, полученная функция-дискриминантная кривая.

Замечание: особое решение может состоять только из точек ДК, но ДК может быть также ГМТ особых точек (возврата, заострения, прикосновения ИК, отвечающих разным ветвям уравнения).

2. По виду общего интеграла.

Ищется огибающая семейства ИК, составляющих общее решение. Из системы исключаем. Полученная функция-огибающая

Замечание:1) наряду с огибающей, эта кривая может быть геометрическим местом особых точек (возврата, узловых, и т.д.). кривая заведомо будет огибающей, если существует непрерывные, ограниченные и не равные 0 частные производныеи. Однако эти условия лишь достаточны, так что кривая, на которой они нарушены, может быть огибающей; 2) если ДК – особое решение, то она является огибающей семейства ИК, составляющих общее решение; 3) огибающая всегда составляет часть дискриминантной кривой.

Проверка кривой , подозрительной на особое решение.

1. Проверить, является ли она решением

2. Подставить в общий интеграл. Получим. Разрешим относительно. Возможны варианты:

   1. не существует, тогда- не особое решение, его надо приписать к общему

   2. , тогда- не особое решение

   3. , тогдаможет быть особым решением, следует проверить наклоны в этой точке.

Пусть - кривая из семейства общего решения с найденным, а. Если, то- особое решение.

Пусть ,. Продифференцируем:,. Если, то- особое решение.