- •1. Основные понятия о ду.
- •2. Ду-1-проп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.
- •3. Геометрическая интерпретация ду-1-проп. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.
- •4. Качественное исследование ду-1-проп. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.
- •5. Особые решения ду-1-проп. Способы их отыскания.
- •6. Ду 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.
- •8. Ду 1 порядка, приводимые к однородным.
- •9. Линейные ду 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.
- •10. Ду 1 порядка, приводимые к линейным. Ду Бернулли и Риккати
- •11. Ду 1 порядка в полных дифференциалах.
- •12. Интегрирующий множитель ду 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения
- •13. Интегрирующий множитель для ду с разделяющимися переменными, однородного и линейного.
- •14. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.
- •15. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
- •16. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.
- •17. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.
- •18. Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.
- •19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.
- •20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.
- •21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.
- •22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.
- •23. Ду-1-пнроп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.
- •24. Теорема Коши-Пикара для ду 1 порядка, не разрешенного относительно производной.
- •25. Особые решения ду-1-нпроп. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.
- •26. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие искомой функции.
- •27. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
- •28. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Общий случай.
- •29. Ду Лагранжа
- •30. Ду Клеро
19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.
Теорема:пусть функцияв областипри изменении параметров в конечной областиудовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности; 2); 3)не зависит от. Тогда можно указать промежуток, в котором задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от параметров:определено единственное решениеи.
Доказательство:аналогично доказательству теоремы Коши-Пикара.
Рассмотрим последовательность пикаровых приближений:
Все оценки сохраняются, т.к. не зависит от параметров. Последовательность приближений, являющихся непрерывными функциями от, равномерно сходится к точному решению, непрерывному по.
20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.
Теорема:пусть дано- уравнение (1).- задача Коши (2). Пусть в областифункцияудовлетворяет теореме Коши-Пикара, тогда можно указать промежуток, в котором задача Коши (2) имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начального условия, т.е.
Доказательство:сведем вопрос о зависимости от начальных условий к вопросу зависимости от параметров:
, т.е.,,,.
Если , то по теореме о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров, задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от-..
, т.е..
Решение, для которого близость сохраняется при любых больших значениях аргумента – устойчивое, т.е.
21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.
Теорема:если в областиимеет непрерывные производные по обеим переменным до-го порядка, то всякое решение этого уравнения непрерывно и непрерывно дифференцируемее похотя быраз.
Степень гладкости решения задачи Коши по крайней мере на единицу больше степени гладкости правой части.
Теорема:пусть дано. В областипри изменении параметров в конечной областиудовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных, существует непрерывная; 3) существует непрерывные. Тогда задача Коши имеет единственное решение, которое определено на, непрерывно по совокупности переменныхи непрерывно дифференцируемо по начальным условиями параметрам.
22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.
Прежде чем применять численные методы надо убедиться, что решение существует и единственно. Пусть дано уравнение и требуется найти нарешение задачи Коши. Разделим отрезок на части,. Рассмотримкак малую, и считая решение достаточно гладким, представимв виде ряда Тейлора:. Различные численные методы различаются числом учтенных членов разложения и степенью оценки производных.
Численные методы разделяются на одношаговые (на каждом шаге используется только одно предыдущее значение искомой функции) и многошаговые (несколько значений).
Порядок членов, учитываемых при аппроксимации – порядок метода.
Метод Эйлера (I порядка):. ИК приближаются ломаной, звенья которой состоят из отрезков касательных.
Метод улучшенной ломаной Эйлера (II порядка):,,
Метод Рунге-Кутта (IV порядка):,,,,.
Метод Рунге-Кутта в модификации Мерсона (V порядка):,,,,,. Этот метод позволяет регулировать шаг:. Если, то. Если, то. Если, то.
Метод Штермера (многошаговый II порядка):,,. Для начала вычисления надо знать значенияи.задается,вычисляется методом Рунге-Кутта или улучшенной ломаной Эйлера.
Погрешность: погрешность шага; погрешность накопления ошибок; ошибки конечноразрядной арифметики при использовании ЭВМ.
Оценки погрешности имеют сложный вид, так что, исходя из заданной точности выбирают шаг и производят вычисления. Берут шаги вычисляют. Если в общих точках значения совпадают с заданной точностью, то считают, что шаг обеспечивает точность.