3. Параметры распределения, числовые характеристики выборки.

Если вариационные ряды и графики эмпирических распределений дают наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности, то числовые характеристики дают количественное представление об эмпирических распределениях и позволяют сравнивать их между собой Минимальной, но часто и достаточной репрезентацией эмпирического распределения могут служить две се числовых характеристики:

1. Характеристики положение (мера центральной тенденции).

2. Характеристика рассеяния (мера изменчивости, разброса).

1. Мера центральной тенденции.

Рассмотрим основные характеристики положения, определявшие положение центра эмпирического распределения мода , медиана, среднее арифметическое (X) -величины, которых описывают типичное значение исследуемого признака (явления) в данной выборке.

Мода- обозначается какMoи является наиболее часто встречаемым в распределении - значением применяется в шкалах наименования и нестабильна в малых выборках.

В ранжированных выборках (и если данных немного)

например: 4,5,5,7,7,8,8,8,8,8,9,9,11

модой будет наиболее часто встречаемое значение т.к. эта величина встречается в выборке 5 раз.

Для сгруппированных данных (см. табл. №3) определяется по следующей формуле:

где - нижняя граница модального интервала (модальный интервал – интервал группировки с набольшей частотой(таблица 3, столбец 6)).

- ширина модального интервала группировки,

- частота модального интервала,

- частота интервала, предшествующего модальному интервалу,

- частота интервала, следующего за модальным интервалом.

В качестве примера вычислите моду для приведённого выше примера, воспользовавшись данными таблицы №3.

МЕДИАНА- обозначается какMeи является значением, которое делит пополам упорядоченное множество переменных. Широко используется для представления эмпирических данных т к. проста в вычислении и не зависит от формы распределения эмпирических данных, Медиана применяется в шкалах наименований, порядка наиболее часто в шкалах интервалов.

Вычисление медианы зависит от объема выборки:

1. если выборка невелика (данных немного) и содержит нечетное число, например 5,11,14,9.7,8,16,10,13 то данную выборку ранжируют (располагают данные в порядке возрастания или убывания) и в ранжированной выборке, содержащей членов, ранг(порядковый номер), медианы определяют так:

Для приведённых данных ранжированный ряд в порядке возрастания будет: 5,7,8,9,10,11,13,14,16, с нечётным числом n= 9.

Тогда ранг медианы будет:

и величина медианы будет совпадать с пятым членом ряда – Me= 10.

2. при чётном количестве данных, например: 7,9,12,14,16,19 – n= 6, ранг медианы по формуле (3.2) будет:

медианой в этом случае может быть любое число между 12 и 14 (3-м и 4-м членами ряда), но в этом случае принято определять медиану как среднее арифметическое Me= (12+14)/2 = 13.

3. для сгруппированных данных (см. табл. №3) медиану определяют следующим образом:

   1. находят интервал группировки, в котором содержится медиана, путём подсчёта накопленных частот (7 столбец - , в таблице 3).

Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота (n_xi) впервые окажется больше или равна n/2;

2. внутри медианного интервала медиана определяется по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала,

h- Ширина медианного интервала,

0,5n- половина объёма выборки,

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному интервалу,

- частота медианного интервала.

В качестве примера вычислите медиану (Me) для приведённого выше примера, воспользовавшись данными таблицы №3.

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ– представляет собой такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака с учетом знака отклонения равна нулю, и принятое обозначение -X,той же буквой, что и варианты выборки, только с символом усреднения чертой нал ним. Среднее арифметическое, или просто среднее, обеспечивает минимальную ошибку в представлении центральной тенденции эмпирических данных и наиболее часто используется в шкалах интервалов и отношений.

Среднее арифметическое для необработанных первичных данных вычисляется по формуле:

,

где n- объём выборки,

- варианты выборки (i– порядковый номер суммируемых чисел и принимает значения от 1,2,3,………n).

Для сгруппированных данных среднее арифметическое, также называемое средним взвешенным, определяется по формуле:

где n- объём выборки,

k- Число интервалов,

- частоты интервалов,

- срединные (центр) значения интервалов.

В качестве примера вычислите среднее арифметическое для приведённого выше примера, воспользовавшись данными таблицы №3.