- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
Pikovsky 1995; Parekh et al. 1996; Sauer and Kaiser 1996; Hu et al. 1997; Kocarev et al. 1997; Jiang and Parmananda 1998; Boccaletti et al. 1999; Grassberger 1999]. Синхронизация в клеточных автоматах рассматривалась в [Morelli and Zanette 1998; Urias et al. 1998; Bagnoli et al. 1999; Bagnoli and Rechtman 1999; Grassberger 1999].
Синхронизация систеиы и копии обсуждалась в работах [Ресога and Carroll 1990, 1998; Carroll and Pecora 1993a,b, 1998; Gupte and Amritkar 1993; Heagy and Carroll 1994; Tresser et al. 1995; Gonzalez-Miranda 1996a,b; Konnur 1996; Balmforth et al. 1997; Boccaletti et al. 1997; de Sousa Vieira and Lichtenberg 1997; Duane 1997; Guemez et al. 1997; Kim 1997; Pecora et al. 1997b,c; Zonghua and Shigang 1997a,b; Carroll and Johnson 1998; Johnson et al. 1998; He and Vaidya 1999; Mainieri and Rehacek 1999; Matsumoto and Nishi 1999; Morgiil 1999; Voss 2000]. Асимптотическая устойчивость этой синхронизации исследовалась Не and Vaidya [1992] с использованием функций Ляпунова. Экспериментальная реализация этого эффекта в лазерах описана в [Sugawara et al. 1994]. Некоторые аспекты синхронизации копированных систем обсуждались в связи с проблемой передачи информации [Cuomo and Oppenheim 1993; Cuomo et al. 1993a,b; Gonzalez-Miranda 1999; Morgiil and Feki 1999].
Глава 15
Синхронизация сложной динамики внешним воздействием
В этой главе мы опишем синхронизацию внешними силами; обсуждаемые здесь эффекты отличаются от описанных в главах 7 и 10. Содержание главы довольно неоднородно: мы обсудим системы и силы различных типов. Тем не менее, оказывается возможным установить общее для всех ситуаций свойство: синхронизация наблюдается, если собственная динамика системы подавляется и она полностью подчиняется внешней силе. Другими словами, движения в системе синхронизуются, если они становятся устойчивыми к внутренним возмущениям. Количественно это измеряется максимальным показателем Ляпунова: отрицательный показатель приводит к синхронизации (отметим, что речь идет не о поперечном или условном показателе Ляпунова, а о «каноническом» показателе Ляпунова динамической системы). Это общее правило не зависит от типа силы и от вида системы, тем не менее ряд свойств синхронизации зависит от конкретной постановки задачи. Поэтому в последующих разделах мы рассмотрим случаи периодической, шумовой и хаотической силы по отдельности. Пока же интересно отметить, что захват фазы периодических колебаний (глава 7) также можно интерпретировать как стабилизацию динамики внешней силой: асинхронное движение (в отсутствие силы или вне области синхронизации) имеет нулевой максимальный ляпуновский показатель, в то время как в синхронном
режиме он отрицателен.1
Другой важный подход, на котором мы остановимся в этой главе, состоит в исследовании чувствительности к возмущениям вынуждающего сигнала. В отличие от чувствительности к начальным условиям, которая характеризуется ляпуновский показателем, чувствительность к внешнему воздействию таких универсальных количественных характеристик не имеет. Более того, о чувствительности можно говорить только в случае воздействий, для которых возможны малые возмущения. Они существуют для хаотических и квазипериодических воздействий, поскольку в этих случаях сила задается достаточно сложной динамикой; для периодических сигналов таких возмущений нет. Мы увидим, что синхронное состояние (в описанном выше смысле) может быть чувствительно или нечувствительно к внешней силе, этим двум случаям соответствуют гладкая и негладкая (фрактальная) зависимости вынужденных переменных от вынуждающих.
15.1 Синхронизация периодической силой
Во многих системах хаос исчезает при приложении периодической внешней силы достаточно большой амплитуды. В этом контексте синхронизация означает, что наблюдается не хаос, а вынужденные периодические колебания. Общие свойства этой разрушающей хаос синхронизации не универсальны: обычно при очень сильном воздействии наблюдаются регулярные режимы, но их зависимость от амплитуды и частоты не подчиняется каким-либо общим законам. Во всяком случае, в вынужденной системе аттрактором является периодическая траектория, так что соотношение между вынуждающими и вынуждаемыми переменными задаются гладкой функцией.
Ниже представлены результаты численного исследования системы Лоренца с периодической внешней силой
dx
* =10(,-*),
(Щ- = 28х -у- xz, (15.1) at
dz 8
— = — -z + ху + е sin uit. dt 3
1 Напомним, что есть и исключения из этого общего правила. Так, в разделе 14.3 упоминался «устойчивый» (в смысле отрицательности ляпуновских показателей) пространственно-временной хаос.
Область периодических колебаний показана на рис. 15.1. Порог синхронизации лежит высоко: при амплитудах силы меньших 20 периодические режимы не наблюдаются. Два типичных устойчивых аттрактора показаны на рис. 15.2.
0.0 I 1 1 1 1
4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
СО
Рис. 15.1. Область периодических режимов (черные точки) в системе Лоренца с внешней силой (15.1) на плоскости параметров внешнего воздействия. Счет всегда начинался с начальных условий х = у = 0.001,2 = 0, так что возможная мультистабильность (т.е. сосуществование периодических и хаотических решений) не выявлялась.
15.2 Синхронизация шумовым воздействием
Синхронизация внешним шумом заключается в том, что система «забывает» собственную динамику и свои начальные условия и следует за вынуждающим шумом. В одной системе переход к синхронизации не виден, но его можно наблюдать, если вместе с системой рассмотреть ее копию, т.е., если мы будем сравнивать две идентичные системы, возбуждаемые одним и тем же шумом, но начинающие движение с разных начальных условий. (Эта постановка задачи объясняет, какая устойчивость характеризуется ляпуновский показателем в системе с шумом: это устойчивость по отношению к возмущениям начальных условий, а не устойчивость по отношению к шуму.) При рассмотрении двух систем разница между положительным и отрицательным ляпуновский показателем легко видна: при положительном показателе траектории сохраняют зависимость от начальных условий и остаются различными, в то время как при отрицательном показателе начальные условия забываются и траектории сближаются, т.е. системы синхронизуются. Это совпадение движений в двух системах под действием общего шума тривиально, если системы линейны:
dx dy
Тогда движение каждой системы состоит из затухающих свободных колебаний, зависящих от начальных условий (однородная часть), и из вынужденных колебаний, зависящих только от шума (неоднородная часть). На больших временах зависимость от начальных условий исчезает, и состояния становятся идентичными (х = у); это видно из уравнения для разности х — у. То же самое происходит и в нелинейных системах, но задача исследования их устойчивости менее тривиальна.
Синхронизация общим шумом происходит без какого-либо прямого взаимодействия между осцилляторами и не зависит от их числа. Поэтому этот эффект может наблюдаться в сколь угодно большом ансамбле идентичных нелинейных систем, на которые действует один и тот же шум: все системы будут синхронизованы, если ляпуновский показатель отрицателен. Ниже мы рассмотрим случаи воздействия шума на периодические и хаотические колебания.
15.2.1 Периодические колебания под действием шума
Эффект воздействия шума на периодические колебания обсуждался выше в главе 9. Там нас интересовали свойства диффузии фазы, теперь же для нас важны характеристики устойчивости движения. Они нетривиальны, поскольку в автономном периодическом осцилляторе один ляпуновский показатель равен нулю (он соответствует фазе). При наличии внешнего шума этот показатель будет, в общем случае, ненулевым - и главный вопрос состоит в том, будет он положительным или отрицательным.
Как отмечалось в разделе 9.1, в присутствии шума простейшее уравнение для фазы имеет вид
Правая часть не зависит от фазы и поэтому ляпуновский показатель равен нулю, А = {йф/йф) = 0. Другими словами, фаза остается нейтральной по отношению к возмущениям начальных условий. Это вырождение снимается, если вынуждающая сила зависит от фазы (ср. с (9.1)):
где е характеризует амплитуду силы. В этой общей ситуации ляпуновский показатель будет ненулевым.
В качестве конкретного примера автоколебаний с шумом рассмотрим обобщение модели с импульсной силой, описанной в разделе 7.3.3. Там мы исследовали динамику осциллятора под действием периодической последовательности <5-импульсов (7.64). Теперь мы рассмотрим последовательность импульсов
ос
P(t)= Е Ш-*п) (15.2)
п=—ОС
со случайными амплитудами £п и случайными временами появления tn. Отображение окружности (7.68) очевидным образом обобщается на этот случай, приводя к стохастическому отображению (для простоты считаем, что параметр а равен нулю):
Фп+1 = Фп + ш0Тп + sin cos фп. (15.3)
Из-за случайности интервалов между импульсами Тп и их амплитуд £„, фаза меняется нерегулярно, так что нельзя говорить о
синхронизации или захвате фазы в обычном смысле. Мы покажем, однако, что фаза может быть привязана к внешней силе, и в этом смысле можно говорить об определенной синхронизации.
Нас интересует чувствительность фазы фп по отношению к изменениям начальной фазы фо. Другими словами, мы должны вычислить ляпуновский показатель:
{Ы\(Іфп+і/(Іфп\} = (ln|l-ggsin^l)
Здесь (Т) - средний промежуток между импульсами. Полученная численно зависимость ляпуновского показателя от амплитуды импульсной силы е немонотонна (рис. 15.3): при малых амплитудах показатель отрицателен, при больших - положителен.
Эти свойства показателя можно вывести аналитически. При малых е можно разложить (15.4) в ряд по е и получить
А ~ (г) V ^Sin ^ ~ V sin2 ^
В общем случае, для того, чтобы выполнить усреднение, нужно знать распределение фазы. При малых е и больших флуктуациях межимпульсных интервалов Тп это распределение почти однородно, так что первый член равен нулю, и ведущий член приводит к отрицательному ляпуновскому показателю:
15.2 Синхронизация шумовым воздействием 435т
.с-2
А ос ^тт^г-(Г)
Отрицательный ляпуновский показатель означает, что по прошествии определенного времени фаза осциллятора «забывает» свое начальное значение и следует за внешней силой (рис. 15.4). Этому эффекту можно дать следующее наглядное объяснение. Будем рассматривать случайную последовательность импульсов как набор периодических пачек. Каждая из пачек, согласно теории синхронизации (глава 7), приводит либо к синхронному (с отрицательным ляпуновский показателем), либо к квазипериодическому (с нулевым показателем) движению. Случайно «переключая» пачки, мы смешиваем эти два режима, получая в результате отрицательный в среднем показатель.
При большой амплитуде импульсов е, можно использовать другое приближение,2 и пренебречь постоянным членом под логарифмом в (15.4):
время
2 Хотя при выводе (15.3) сила предполагалась малой, можно рассматривать стохастическое отображение (15.3) как самостоятельную модель и исследовать ее при всех значениях параметров.
(Г) (Г)
Отсюда следует, что ляпуновский показатель положителен при больших е. Для одного осциллятора с внешней силой это ничего не значит. Но, если мы приготовим две копии системы с близкими начальными условиями и будем действовать на них одним и тем же шумом, то различие между состояниями систем будет расти экспоненциально, и через короткое время колебания в них будут независимыми -происходит десинхронизация.
В заключение отметим, что в математической литературе объект, возникающий при эволюции ансамбля идентичных систем под действием общего шума, называют случайным аттрактором [Crauel and Flandoli 1994;'Arnold 19981.
15.2.2 Синхронизация хаотических колебаний внешним шумом
При хаосе максимальный ляпуновский показатель положителен, но под действием внешнего шума он может поменять знак. Один возможный механизм стабилизации заключается в шуме, зависящем от координат (модулированном), подобно случаю периодических колебаний, описанному в разделе 15.2.1. Другая возможность состоит в том, что шум не влияет на устойчивость непосредственно, но изменяет функцию распределения в фазовом пространстве. В результате этого некоторые «устойчивые» области в фазовом пространстве могут посещаться более часто, приводя к уменьшению ляпуновского показателя. Этот механизм работает и при аддитивном шуме. Рассмотрим для примера два одномерных отображения под действием одного и того же шума:
x(t+l)=f(x(t))+№:
y(t + i) =f(y(t)) + №-
Очевидно, что синхронное состояние x(t) = y(i) = U(t) есть решение этих уравнений. Для определения его устойчивости, рассмотрим эволюцию малой разности v = х^у, подчиняющейся линеаризованному уравнению,
v(t + l)=f'(U(t))v(t). (15.5)
Это уравнение в точности совпадает с линеаризованным уравнением для возмущений в одном отображении, и рост величины v определяется ляпуновский показателем
\ = {Ы\Г(и)\). (15.6)
Усреднение в (15.6) производится по инвариантной мере в отображении с шумом, а оно зависит от интенсивности последнего. Поэтому при изменении шума и/или параметров отображения может наблюдаться переход ляпуновского показателя от положительных значений к отрицательным, т.е. переход от асинхронного режима к синхронному.
Подчеркнем, что (15.5) близко к уравнению (13.10), описывающему линейную стадию синхронизации связанных автономных хаотических отображений. Таким образом, вся статистическая теория, развитая в разделе 13.3, справедлива и для систем с шумом. На пороге синхронизации наблюдается модуляционная перемежаемость со свойствами, описанными в разделе 13.3. В частности, численная ловушка, описанная в разделе 13.3, существует и для систем с общим шумом: даже еспи ляпуновский показатель положителен, две (или более) системы могут выглядеть при численных расчетах синхронными, если компьютерные представления их состояний в какой-то момент совпали (т.е., если разность состояний меньше, чем точность представления чисел в компьютере). Этот эффект, конечно, исчезает, если системы не идентичны.
В отличие от чисто детерминированного случая мы не можем проследить за топологическими свойствами аттракторов в фазовом пространстве, как это было сделано в разделе 13.4. В самом деле, шум размывает топологическую структуру детерминированных систем (периодические орбиты и т.д.). Нетривиальные топологическик свойства могут наблюдаться при хаотической силе, см. раздел 15.3.1.
15.3 Синхронизация хаотических колебаний хаотической силой
15.3.1 Полная синхронизация
Одна возможная реализация хаотической силы уже обсуждалась выше в главе 14 при рассмотрении однонаправленной связи. Перепишем систему с оператором связи (14.3) в виде
= /(*(*)), (15.7) y(t + 1) = (1 - e)f(y(t)) + ef(x(t)). (15.8)
Хаотическая сила, генерируемая отображением (15.7), действует на систему (15.8) так, что возможна полная синхронизация х = у.
15.3.2 Обобщенная синхронизация
Полная синхронизация при хаотическом воздействии возможна только в системах, обладающих определенной симметрией, так что возможно равенство переменных в вынуждающей и в вынуждаемой системах. Еспи такая симметрия отсутствует, то вынуждаемая система все же может следовать за силой, но в более слабом смысле. Рассмотрим общий случай однонаправленной связи:
Другой способ описать обобщенную синхронизацию состоит в копировании вынуждаемой системы. В этом случае мы дополняем уравнения (15.9) и (15.10) до системы
х(* + 1) У(' + 1)
y'(t + 1)
f(x(#)),
g(x.y):
: g(x,y')-
Негладкая обобщенная синхронизация
Уравнения (15.10) описывают динамику вынуждаемой системы; ясно, что состояние у следует за силой х независимо от начальных условий у(0) только, если динамика у устойчива, т.е. максимальный ляпуновский показатель в подсистеме у отрицателен. Это условие необходимо, но не достаточно. Действительно, может наблюдаться мультистабильность по у, т.е. одной траектории x(t) может соответствовать два (или больше) устойчивых отклика y(t). Другая особенность состоит в том, что устойчивость по у может обеспечить существование функции Н, но не ее гладкость. Как мы увидим, функция Н может быть фрактальной.
Продемонстрируем это на примере одномерной3 вынуждаемой системы с отрицательным ляпуновский показателем А^. Сравним, следуя Паоли и др. [Paoli et al. 1989b], ляпуновские размерности4 аттрактора в вынуждающей и полной (т.е. вынуждаемой плюс вынуждающей) системах; мы обозначим их соответственно DKX> и Dxy>. При гладком взаимоотношении между у и х размерность полной системы должна быть такая же, как в вынуждающей; если Dxy > Dx , то взаимоотношение негладкое. Поскольку связь однонаправленная, ляпуновские показатели Aj вынуждающей системы не зависят от вынужденных колебаний, поэтому Dxy не может быть меньше, чем Dx. Ляпуновская размерность задается формулой КапланаЛіорке [Kaplan and Yorke 1979]:
3 Легко видеть, что точно так же исследуется и вынуждаемая система произвольной размерности.
4 Обсуждение ляпуновских размерностей можно найти, например, в книгах [Шустер 1988; Ott 1992; Кузнецов 2001].
Поскольку только первые Т>+1 ляпуновские показатели фигурируют
/ ' (Һ) (Һ)
в (15.12), то, если Ху < Хт>+і, то Dxy = Dx . Пусть теперь Ар > >
\т>+1- Тогда
Из сказанного выше следует, в частности, что, если вынуждающая хаотическая система есть одномерное отображение (например, логистическое или типа тент), то функция Н всегда фрактальна. Действительно, одномерное отображение можно рассматривать как предельный случай двумерного отображения, отрицательный ляпуновский показатель которого стремится к ^оо. Поэтому такое отображение имеет ляпуновские показатели Аі, ^оо. Формула Каплана^
(Һ)
Порке для полной системы дает Dxy = min(2, 1 + Ai/jA^I), где А^ -максимальный показатель вынужденных движений; эта размерность больше единицы. Следовательно, чтобы наблюдать нетривиальный переход от гладких к негладким функциям Н, нужно иметь как минимум двумерное вынуждающее хаотическое отображение.
Пример гладкой и негладкой обобщенной синхронизации
функция Н может быть фрактальна даже в таком простом случае, когда подсистема (15.10) линейна:
Детальный анализ этой задачи при обобщенном преобразовании пекаря (см. (15.16) ниже) в качестве вынуждающей силы и при линейном отображении (15.13) в качестве отклика был выполнен Paoli et al. [1989а]. В этой работе был найден спектр особенностей отклика (т.н. /(а)-спектр) и описано его изменение при вариации коэффициента затухания у вынужденных движений, /(а)-спектр
есть преобразование Лежандра от обобщенных размерностей (детали можно найти в [Badii and Politi 1997]). Из результатов Па-оли и др. следует, что при малых у размерности не меняются. С ростом у, при превышении им наименьшего коэффициента сжатия преобразования пекаря, некоторые обобщенные размерности отклика начинают отличаться от размерностей вынуждающей системы. Это указывает на негладкость функции Н. При больших у отличаются уже все размерности.
Ниже мы изложим упрощенный вариант теории [Paoli et al. 1989а], следуя работе [Hunt et al. 1997]. Начнем с итерации уравнения (15.13)
y(t + 1) = g(x(f)) + T!j(t)
= q[f-H*(t + 1))] + 7{7у(# -1) + g[f-2(x(f + 1))]} = • • •,
дающей формальное выражение функции Н, связывающей y(t + 1) и x(t + 1):
ос
ff(x) = 5];y-1g(f-i(x)). (15.14)
j=i
Ясно, что эта функция существует, если у < 1 и сила q ограничена. Для проверки гладкости продифференцируем (15.14) и получим
ос
\Н = ^7^1J[f^(x)]Vg(f^(x)), (15.15)
i=i
где J - якобиан. Достаточное условие существования производной в точке х - это сходимость ряда (15.15), что выполняется если значения yJ|| Jf _J(x)|| убывают в геометрической прогрессии. Наиболее опасны для сходимости большие значения якобиана || Jf_-?(x)||. которые вычисляются по обратным итерациям отображения (15.9). Это соответствует малым значениям производной, вычисленной при итерациях вперед по времени, т.е. по наиболее устойчивому направлению отображения (15.9). Снова мы видим, что гладкость функции Н определяется соотношением между ляпуновский показателем вынужденных движений = In у и максимальным по модулю из отрицательных показателей вынуждающей системы (15.9).
Предположим, что вынуждающее отображение (15.9) двумерно и имеет один положительный и один отрицательный ляпуновский показатель; последний мы обозначим Хх. Тогда из (15.15) следует, что функция Н непрерывна «в среднем» (т.е., что производная существует почти во всех точках), если
т.е., если средняя степень сжатия вынужденных движений больше, чем средняя степень сжатия в вынуждающей системе. Нетрудно видеть, что это как раз условие неувеличения ляпуновской размерности согласно (15.12).
Для более детального анализа удобно определить зависящий от (х, у) ляпуновский показатель, по аналогии с использованным в главе 13 подходом, основанном на термодинамическом формализме. Определим так называемый ляпуновский показатель по предыстории: для вынуждающей системы запишем
||Jf-T(x)|| ос е-тл*М,
а для вынужденных движений -
dyW ос еТЛу(*,У)
dy(t - Т)
(в частном случае (15.13), = In7, но в общей ситуации показатель зависит от координат). Тогда функция Н дифференцируема в точке (х,у), если
Aj,(x,y) -Лх(х) < 0.
Если отрицательный ляпуновский показатель Лж(х) отображения (15.9) меняется от точки к точке, то функция Н может быть дифференцируемой в некоторых точках и фрактальной в других.
Переход от гладкой к негладкой обобщенной синхронизации проиллюстрирован на рис. 15.5. Здесь вынуждающей системой служит двумерное обобщенное преобразование пекаря, определенное на единичном интервале 0 < х.\,х2 < 1;
xi(t
X2it
0жі(і) x2(t)/a
Р + (1 - P)Xl(t) (x2(t) - a)/(l - a)
если X2(t) < a. если X2(t) > a.
15.16)
Оба параметра а и /3 не превышают 1/2. Вынуждаемая система линейна:
y(t + 1) =71/(*) +cos(27rxi(f)).
'15.1'
Легко видеть, что неустойчивое направление в вынуждающей системе есть .иг, а устойчивое направление - ад. Естественная мера равномерна по направлению х2 и сложным образом меняется по ад,
lim —-.
Т->оо Т ' у Т+
lim —-.
Т->оо Т '
где Т_ (Т+) - число прообразов с х2 < сч (х2 > ск), получим для показателя по предыстории
Л(жі, х2) = а_ In/3 + а+ 1п(1 — /3).
Значения а± различны для разных траекторий; их можно определить, используя метод символической динамики. Естественное символическое описание состоит в присвоении двух символов областям
іЬ ІЩі, Дг,
х < а и х > а, при этом разрешены все возможные последовательности этих символов, поэтому существуют траектории со всеми возможными значениями О < а± < 1. Это означает, что
ln/3 < A(xi,x2) < ln(l - /3).
Так как наиболее вероятные значения а± есть а_ = а, 0+ = 1 — а, то средний отрицательный ляпуновский показатель отображения равен
\х = a In /3 + (1- а) 1п(1 - 13).
Ляпуновский показатель вынужденных движений постоянен (Ху = In у). Таким образом, согласно формуле Каплана-Иорке, ля-пуновская размерность всей системы больше, чем вынуждающей, если \ХХ\ > | lnyj. Однако даже при выполнении этого неравенства в области
\ХХ\ < 11п7| < | In/3|.
существуют точки xi,x2, для которых ляпуновский показатель по предыстории Л больше, чем In у. В этих точках (они всюду плотны, хотя их мера равна нулю) функция Н не дифференцируема. Различные случаи обобщенной синхронизации в системе (15.16) и (15.17) показаны на рис. 15.5.
15.3.3 Обобщенная синхронизация квазипериодической силой
Интересно отметить, что переход от гладкой к негладкой обобщенной синхронизации возможен не только при хаотической внешней силе, но и при квазипериодической. В последнем случае вынуждающей динамике соответствует тор в фазовом пространстве. Еспи вынужденные движения тоже квазипериодические, то и в полном фазовом пространстве траектория лежит на торе. Но есть и другая возможность - когда вынужденные движения, хотя и являются устойчивыми, принадлежат странному нехаотическому аттрактору. У странного нехаотического аттрактора максимальный ляпуновский показатель отрицателен (поэтому он нехаотический), но в фазовом пространстве он образует фрактал (отсюда - странный). Аналогично случаю негладкой обобщенной синхронизации хаоса, соотношение между вынуждающей и вынуждаемой системами для странного нехаотического аттрактора весьма нетривиально: функциональное соотношение между квазипериодической силой и вынужденным движением либо задается фрактальной кривой, либо вообще не существует.
x(t+l)=x(t)+u, (1к1я\ y(t+l) = a^y2(t) + bcos2TTx(t). 1 '
Здесь ш = (\/5 —1)/2 есть иррациональная частота внешней силы. На рис. 15.6 показаны случаи с гладким и с фрактальным соотношением между у ш х. В обоих случаях ляпуновский показатель вынужденных движений отрицателен, так что режим на рис. 15.6Ь - нехаотический.
15.4 Библиографические заметки
Численному исследованию различных хаотических систем с внешней силой посвящены работы [Aizawa and Uezu 1982; Анищенко и Астахов 1983; Кузнецов и др. 1985; Безаева и др. 1987; Ланда и Перминов 1987; Ланда и др. 1989; Dykman et al. 1991; Rosenblum 1993; Franz and Zhang 1995; Tamura et al. 1999]. Экспериментальное исследование соответствующих режимов в лампе обратной волны выполнено Безручко [1980] и Безручко и др. [1981].
Синхронизация идентичных нелинейных систем общим шумом описана в [Pikovsky 1984b; Пиковский 1984а; Pikovsky 1992; Yu et al. 1990]. Наше изложение следует работам [Pikovsky 1984b; Пиковский 1984а]. Зависимость максимального ляпуновского показателя от шума в хаотических системах исследовалась в [Matsumoto and Tsuda
(b)
0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0
x x
Рис. 15.6. Аттракторы в логистическом отображении с квазипериодической силой (15.18). (а) При е = 0.3 и а = 0.9 вынужденное движение у есть гладкая функция от х, поэтому можно говорить о гладкой обобщенной синхронизации между х и у. (Ь) При е = 0.45 и а = 0.8 наблюдается фрактальный странный нехаотический аттрактор: хотя вынужденные движения следуют за силой, соотношение между переменными у и х негладкое.
1983]. Примеры хаотических систем под действием общего шума можно найти в [Maritan and Banavar 1994; Khoury et al. 1996, 1998; Ali 1997; Longa et al. 1997; Sanchez et al. 1997; Minai and Anand 1998, 1999a; Shuai and Wong 1998]. В частности, в работах [Maritan and Banavar 1994; Shuai and Wong 1998] из-за конечной точности вычислений наблюдалась «ложная» синхронизация, обсуждение этого артефакта можно найти в [Pikovsky 1994; Herzel and Freund 1995]. Эксперименты с действием шума на электронные устройства описаны в [Khoury et al. 1998].
Однонаправленная связь хаотических систем изучалась теоретически и численно в [Pecora and Carroll 1991; Rulkov et al. 1995; Abarbanel et al. 1996; Kapitaniak et al. 1996; Kocarev and Parlitz 1996; Konnur 1996; Pyragas 1996, 1997; Rulkov and Suschik 1996; Ali and Fang 1997; Brown and Rulkov 1997a,b; Hunt et al. 1997; Liu and Chen 1997; Parlitz et al. 1997; Carroll and Johnson 1998; Johnson et al. 1998; Baker et al. 1999; Liu et al. 1999; Minai and Anand 1999b; Parlitz and Kocarev 1999; Santoboni et al. 1999]. В нашем изложении гладкой и негладкой обобщенной синхронизации мы следуем работам [Paoli et al. 1989а; Hunt et al. 1997] и [Stark 1997], см. также статьи [Kaplan et al. 1984; Badii et al. 1988; Mitschke et al. 1988; Paoli et al. 1989b; Mitschke 1990; Pecora and Carroll 1996], где рассматривался отклик линейных систем на хаотическую силу, а также [de Sousa Vieira and Lichtenberg 1997]. Экспериментальные наблюдения обобщенной синхронизации можно найти в [Peterman et al. 1995; Abarbanel et al. 1996; Gauthier and Bienfang 1996; Rulkov and Suschik 1996; Tsukamoto et al. 1997; Tang et al. 1998b]. В статьях [Peng et al. 1996] и [Tamasevicius and Cenys 1997] обсуждается возможность синхронизации гиперхаоса одним скалярным сигналом.
Странные нехаотические аттракторы в системах с квазипериодической силой были введены в [Grebogi et al. 1984] и с тех пор исследовались теоретически [Romeiras et al. 1987; Ding et al. 1989; Brindley and Kapitaniak 1991; Heagy and Hammel 1994; Pikovsky and Feudel 1994, 1995; Kuznetsov et al. 1995; Keller 1996; Lai 1996b; Nishikawa and Kaneko 1996; Yalcinkaya and Lai 1997; Prasad et al. 1998 и ссылки в них же] и экспериментально [Ditto et al. 1990; Zhou et al. 1992; Yang and Bilimgut 1997; Zhu and Liu 1997].
Приложение П1
Открытие синхронизации Христиааном Гюйгенсом
В этом приложении мы приводим перевод оригинальных текстов Христиаана Гюйгенса [Huygens 1967а,b], где он описывает открытие синхронизации.
П1.1 Письмо Христиаана Гюйгенса его отцу, Константину Гюйгенсу1
26 Февраля 1665. Мой Отец,
В то время, как я был вынужден оставаться в постели в течение нескольких дней и наблюдал за двумя часами в моей мастерской, я заметил удивительный эффект, о котором ранее никто даже и не думал. Двое часов, висящих на стене друг рядом с другом на расстоянии одного или двух футов, поддерживали согласованность хода с такой высокой точностью, что их маятники всегда качались вместе, без отклонений. Наблюдая это с восхищением в течение некоторого времени, я, наконец, пришел к выводу, что это происходит вследствии некоторой симпатии: когда я придавал маятникам разный ход, то я обнаружил, что через полчаса они всегда возвращаются
1 Перевод с французского на английский Карстена Хенкеля.
к синхронизму, и поддерживают его до тех пор, пока я не нарушу их ход. После этого я поместил их на большем расстоянии друг от друга, одни в одной стороне комнаты, а другие на 15 футов в стороне. Через день я увидел, что разница в их показаниях составила 5 секунд, и, следовательно, наблюдаемая ранее согласованность была следствием некоторой симпатии, которая, по моему мнению, не может быть вызвана ничем иным, кроме как незаметным движением воздуха, вызванным движением маятников. Часы помещены в закрытый корпус, который вместе со свинцовыми грузами весит чуть менее ста фунтов. Колебания маятников, достигших синхронизма, не таковы, что они двигаются параллельно друг другу, а, наоборот, они приближаются и удаляются противоположным образом. Когда я снова поместил часы ближе друг к другу, я увидел, что маятники вновь стали двигаться таким образом. Далее я взял квадратный стол толщиной один дюйм и поместил его между двумя часами, так что внизу он касался пола и был достаточно высок, чтобы полностью закрыть часы и тем самым отделить их друг от друга. Несмотря на это, синхронизм сохранялся и далее, в течение нескольких дней и ночей; даже когда я его нарушил, то он вскоре восстановился. Сейчас я планирую достичь согласования часов, когда они далеко друг от друга и определить расстояние, на которое распространяется упомянутая симпатия. Основываясь на том, что я уже видел, я полагаю, что оно будет между пятью и шестью футами. Но чтобы получить большую уверенность в этих вопросах Вам придется подождать, пока я глубже их изучу и выявлю причину. Тем не менее, мы обнаружили, что двое часов находятся в полном согласовании, что кажется абсолютно невероятным, и тем не менее абсолютно истинно. Ранее никакие часы не были способны на такую согласованность, как эти вновь изобретенные часы, из чего можно увидеть, насколько они точны, еспи нечто столь малое способно их согласовать.
П1.2 Морские часы (симпатия часов). Часть V2
22 Февраля 1665.
В течение четырех или пяти дней я заметил удивительное согласование между двумя новыми часовыми механизмами, содержащими малые цепи (рис. П1.1), так что одни часы даже в малейшей степени
2 Перевод с латыни на английский Доротеи Прелл.
не опережали другие. Но качания обоих маятников оставались строго противоположными. Следовательно, так как расстояние между часами было небольшим, я начал подозревать существование некоей симпатии, как если бы одни часы были подвержены влиянию других. Чтобы изучить это экспериментально, я изменил движение одного из маятников, так что они не двигались более вместе в одно и то же время, но через четверть или половину часа я нашел их вновь согласованными.
Каждые часы свисали с собственной балки, толщиной примерно в 3 дюйма, концы которой опирались на два стула. Балки были всё время рядом; часы В были расположены не непосредственно сбоку от часов Л, а немного впереди. В были также несколько короче, чем А и не имели груза в нижней части, каковой в часах А обозначен как D. Оба часовых механизма висели рядом, с грузами около 80 или 90 фунтов, укрепленными в их нижней части для поддержания равновесия, и со слегка большим грузом у А из-за груза D. Длина маятников была 7 дюймов. Их качания были таковы, что они всегда приближались и удалялись друг от друга одновременно; вынужденные к другому движению, они не оставались в таком состоянии, а автоматически возвращались [к синхронному] и оставались так без изменения.
февраля я повернул часы так, что их циферблаты смотрели друг на друга; в этом положении согласованность не была длительной: часы А имели некоторое опережение до тех пор пока я не вернул их в предыдущее положение. Вечером я отодвинул В на 4 фута от А таким образом, что боковая сторона часов В была напротив циферблата часов А. Утром, точнее через 10| часа, я увидел, что А опережали В, но всего лишь на 2 секунды.
февраля. Я слегка ускорил маятник часов В. Я увидел, немного позднее, что маятники вернулись к согласованному движению, хотя при этом их ход был не одинаков, а со смешанными биениями, и в таком состоянии они оставались весь день. Тем не менее, около 9 вечера В в конце концов оказались впереди на половину колебания. Возможно, что холодный вечерний воздух нарушил согласованность, так как не удивительно, что на таком расстоянии согласованность может быть нарушена малейшим возмущением. Боковая сторона часов В была напротив лицевой стороны часов А.
В половину одиннадцатого вечера 23 февраля я поместил оба часовых механизма на старое место. Они немедленно восстановили согласованный ход, как много раз наблюдалось ранее, с движениями в противоположном направлении.
февраля. В 9 часов утра они кажутся идеально согласованными.
февраля. Я слегка повернул циферблат часов А к боковой части В. При этом согласование не сохранилось, а В были впереди, и так продолжалось, пока я не поместил их, как ранее.
Далее я раздвинул часы на расстояние шести с половиной футов в то время как ранее они были лишь на 2 дюйма друг от друга. В течение часа или двух они оставались со смешанными движениями, но после этого вернулись к согласованному ходу, как это было при меньшем расстоянии. В 3 часа после полудня я поместил между часовыми механизмами прямоугольную доску длиной 2 фута, что должно было остановить движение воздуха, по крайней мере в нижней части. В верхней части часы выступали примерно на полфута, но здесь движение (воздуха), если и есть, то минимальное. Тем не менее, часы продолжали быть в согласовании, как и ранее.
февраля. Хотя предыдущим вечером я и поместил другую планку, 3 фута длиной и примерно один дюйм толщиной, между ними, полностью скрыв одни часы от других, тем не менее этим утром я обнаружил, что они двигались в согласовании в течение всей ночи. Они оставались в таком состоянии до 6 часов вечера, когда часы В остановились из-за поломки в большей цепи. После того, как это препятствие было устранено, они после получасовой задержки вновь
вернулись к согласованному ходу, и оставались в этом состоянии до
часов, когда я начал новое испытание, раздвинув их более чем на
футов.
февраля. В половине девятого утра я обнаружил, что часы В ушли на 5 секунд вперед, и тем самым было установлено, как далеко распространяется симпатия (по-видимому, путем коммуникации через движение воздуха).
февраля. Я уменьшил скорость часов 5, так чтобы они двигались в лучшем согласовании между собой на том же расстоянии в 12 футов, но я не был свободен, чтобы заниматься этим дальше. В 9 часов вечера я подстроил их более точно.
февраля. В 9 часов утра я обнаружил, что часы А ушли вперед менее чем на 1 секунду; они шли со смешанными биениями, и они оставались в таком состоянии до шести вечера. В половине седьмого они двигались одновременно, причем часы В были впереди на эту половину колебания. Я сомневаюсь, что такое согласование могло продолжаться 9 часов без помощи симпатии, но она не могла противостоять вечернему изменению воздуха (который был значительно более теплым, так как холод прекратился после того, как он был с нами в течение трех дней). Так как изначально были впереди часы А, а впоследствии 5, то они не могли быть с большей точностью подстроены друг к другу.
1 марта. В 10 часов утра А были на три секунды впереди.
Рис. П1.2.
шей силой в момент, когда он проходит через нижнее положение. Таким образом, если маятник В находится в положении BD (рис. П1.2), в то время как А — только в АС, и В движется налево, а А направо, то точка подвеса А сдвигается влево, при этом вибрация маятника А ускоряется. Когда В опять проходит через BE и А находится в положении AF, подвес В сдвигается вправо, и, следовательно, вибрация маятника В замедляется. В опять проходит через положение BD, когда А находится в AG, при этом подвес А утягивается вправо, и, следовательно, вибрация маятника А ускоряется. В опять в ВК, когда А возвращается в положение AF, при этом подвес В утягивается влево и, следовательно, вибрация маятника В замедляется. Итак, когда вибрация маятника В постоянно замедляется, а А ускоряется, необходимым образом некоторое короткое время они должны двигаться с противоположными отклонениями: в одно и то же время А движется направо, а В — налево, и наоборот. В этот момент они не могут выйти из согласованности, потому что по этим же причинам они немедленно будут возвращены обратно тем же образом. Подвесы, естественно, являются неподвижными, но, если согласованность хотя бы слегка нарушается, то она будет восстановлена за счет малейших движений подвесов. Эти движения, конечно, не могут быть наблюдены и поэтому неудивительно, что это явилось причиной ошибки [в толковании].
Приложение П2
Мгновенные фаза и частота сигнала
П2.1 Аналитический сигнал и преобразование Гильберта
Непротиворечивый способ определения фазы произвольного сигнала известен в теории обработки данных как метод аналитического сигнала [Panter 1965; Рабинер и Голд 1975; Вайнштейн и Вакман 1983; Boashash 1992; Smith and Mersereau 1992]. Этот общий подход, предложенный Табором [Gabor 1946] и основанный на преобразовании Гильберта (ПГ), позволяет однозначно получить мгновенные фазу и амплитуду сигнала s(t) путем конструирования аналитического сигнала C(i), который является комплексной функцией времени
((t) = s(t) + isH(t) = A(ty*W, (П2.1)
где функция sH(t) есть ПГ от s(t)
sH(t) = тг^Р.Ү. Г ^-dr, (П2.2)
J-oo t - T
и P.V. означает, что интеграл берется в смысле главного значения Коши. Таким образом, мгновенные амплитуда A(t) и фаза ф{і) сигнала s(t) однозначно определяются из (П2.1). Подчеркнем, что ПГ не содержит параметров. Заметим также, что вычисление мгновенных характеристик сигнала требует его знания на всем интервале времени, т.е. ПГ нелокально во времени. Тем не менее, основной вклад
Как можно видеть из (П2.2), ПГ является сверткой функций s(t) и l/nt. По свойствам свертки, преобразование Фурье SH(s) от sH(t) является произведением преобразований Фурье от s(t) и 1/irt. Для физически значимых частотных компонент с > О имеем SH(s) = —iS(s). Это означает, что ПГ может быть реализовано идеальным фильтром с единичной амплитудной характеристикой, вносящим постоянную фазовую задержку тт/2 для всех частотных компонент.
Гармоническое колебание s(t) = A cos uit часто представляют в комплексном виде как A cos uit + г A sin uit. Это означает, что действительное колебание дополняют мнимой частью, которая отстает по фазе на 7г/2, т.е. связана с s(t) преобразованием Гильберта. Аналитический сигнал есть естественное расширение такого представления, т.к. ПГ осуществляет сдвиг фазы ^тт/2 для каждой спектральной компоненты s(t).
Хотя формально A(t) и ф{і) могут быть вычислены для произвольного s(t), они имеют четкий физический смысл только для узкополосных сигналов s(t) (см. подробное обсуждение в [Boashash 1992]). В этом случае амплитуда A(t) совпадает с огибающей s(t) и мгновенная частота йф/dt соответствует частоте максимума спектра мощности, вычисленного в скользящем временном окне.
П2.2 Примеры
Проиллюстрируем свойства преобразования Гильберта следующими примерами.
Затухающие колебания Промоделируем измеряемый сигнал свободными колебаниями линейного осциллятора,
х + 0.05І + X = О,
и нелинейного осциллятора Дуффинга, х + ОШх + X + хг = 0.
Вычислим по x(t) мгновенные амплитуды A(t) и частоту йф/dt (рис. П2.1). Амплитуды, показанные жирными линиями, действительно являются огибающими затухающих процессов. Частота линейного осциллятора постоянна, в то время как частота осцилля-
Периодический сигнал В качестве следующего примера возьмем решение уравнения Ван-дер-Поля (ср. с (7.2))
х — (1 — X1
0.
TI2.5)
Для данных значений параметров форма колебаний существенно отличается от синусоидальной (рис. П2.2а), а фазовый портрет системы (П2.5) - от окружности. Соответственно, мгновенная амплитуда А(Т) не является константой, а осциллирует (рис. П2.2а) с частотой 2ш = 2 ■ 2тт/Т, где Т период колебаний. Рост мгновенной фазы не является строго линейным; действительно, ф{і) — uit колеблется с
|
|
|
|
1.2 0.6 0.0 -0.6 -1.2
1.3
1.2 1.1 1.0
0.9
0 50 100 0 50 100
время время
Рис. П2.1. Свободные колебания x(t) линейного осциллятора (а) и нелинейного осциллятора Дуффинга (с). Мгновенные амплитуды A(t). вычисленные с помощью преобразования Гильберта, показаны жирными линиями. Соответствующие мгновенные частоты (Іф/dt показаны в (Ь) и (d). Из [Rosenblum and Kurths 1998], рис. 1, Copyright Springer-Verlag.
<
Рис. П2.2. Решение x(t) уравнения Ван-дер-Поля и мгновенная амплитуда A(t) (жирная линия) (а). Мгновенная фаза ф растет практически линейно (Ь); тем не менее, малые колебания видны при большом увеличении (с); здесь ш - это средняя частота.
-10
2010
£ 0 -
-10
(a)
.«Шва
10
-20
-20
-20 -10 0 10 20
x
-20 -10 0 10 20
x
Рис. П2.3. Фазовый портрет системы Рёсслера в координатах (х,хн) (а) и исходных координатах (х,у) (Ь).
Электрокардиограмма человека Как пример сложного сигнала возьмем запись ЭКГ человека (рис. П2.5). Мы видим, что точка в плоскости (s,sH) делает два оборота, соответствующие так называемым R- и Т-зубцам (малые
1 Отметим, что ПГ дает оптимальную в некотором смысле реконструкцию. Действительно, если фазовый портрет системы реконструируется методом Такенса [Takens 1981] по сигналу с периодом Г, то временная задержка Т/4 обеспечивает то, что аттрактор не вытянут вдоль диагонали. Применение ПГ эквивалентно выбору такой оптимальной задержки для каждой компоненты сигнала.
0.5 0.0 -0.5
(b)
50 100
время
150
Рис. П2.4. Решение системы Рёсслера x(t) и его мгновенная амплитуда A(t) (жирная линия) (а). Мгновенная фаза ф растет практически линейно, тем не менее, малые колебания видны при большом увеличении (Ь). Из [Rosenblum and Kurths 1998], рис. 2, Copyright Springer-Verlag.
10
-2 5
® 1
я
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c)
время(Б)
П2.3 Численные проблемы и практические рекомендации 459
П2.3 Численные проблемы и практические рекомендации
Важное преимущество метода аналитического сигнала состоит в том, что он легко может быть реализован численно. Выделим основные шаги в вычислении.
Вычисление ПГ в частотной области Самый простой способ вычислить ПГ состоит в том, чтобы сделать быстрое преобразование Фурье (БПФ) от исходного временного ряда, сдвинуть фазу каждой частотной компоненты на и применить обратное БПФ.2 Чтобы сделать длину временного ряда подходящей для применения БПФ, надо добавить к нему нули (zero padding). Чтобы уменьшить краевые эффекты, желательно не использовать порядка десяти характерных периодов в начале и в конце сигнала для вычисления мгновенных характеристик. Вычисления с двойной точностью позволяют получить ПГ с погрешностью около 1%. (Погрешность оценивалась путем вычисления дисперсии от s(t) + H2(s(t)), где Н2 означает, что ПГ было выполнено дважды: теоретически s(t) + H2(s(t)) = 0.)
Вычисление ПГ во временной области Численно это может быть осуществлено с помощью свертки экспериментальной реализации с заранее вычисленной характеристикой фильтра (преобразователя Гильберта) [Рабинер и Голд 1975: Little and Shure 1992; Smith and Mersereau 1992]. Такие фильтры
2 Фазовый сдвиг может быть легко реализован, если поменять местами мнимую и действительную часть преобразования Фурье: Re(w;) —¥ tmp, Im(wj) —¥ Re(wj), ^tmp —¥ Im(wj), где tmp - промежуточная переменная.
Вычисление и разворачивание фазы Удобный способ вычисления фазы состоит в использовании функций DATAN2(sw, s) (FORTRAN) и atan2(sw, s) (С), что дает циклическую фазу на интервале [—тг,7г]. Разность фаз двух сигналов si(t) и s2(t) может быть получена с помощью ПГ как
i sH}i(t)s2(t) - si(t)sH}2(t) si(t)s2(t) + sH,i(t)sH,2(t)'
Для определения синхронизации часто бывает необходимо использовать фазу, определенную не на окружности, а на всей действительной оси (т.е. фазу, изменяющуюся от —оо до оо). Для этой цели фаза (или разность фаз) может быть развернута путем отслеживания скачков и27г в зависимости ф{і).
Чувствительность к низкочастотному тренду Мы уже обсуждали, что фаза хорошо определена, только если траектория в плоскости (s,sH) всегда обходит начало координат и s и sH не обращаются в ноль одновременно. Это условие может быть нарушено, если сигнал содержит низкочастотный тренд, например, из-за дрейфа нуля измерительного прибора. В результате некоторые обороты траектории, не охватывающие начало координат, не будут восприняты как цикл, и в набеге фазы будет потеряно 2тт. Чтобы проиллюстрировать это, добавим искусственный тренд к ЭКГ; реконструкция такого сигнала в координатах s,sH показана на рис. П2.6, его следует сравнить с аналогичным графиком для оригинальных данных на рис. П2.5. Очевидно, что начало координат, помеченное на рис. П2.5 первой стрелкой, будет в этом случае неправильным выбором. Чтобы избежать этой проблемы, мы рекомендуем всегда
строить график зависимости ПГ от исходного сигнала и проверять, правильно ли выбрано начало координат.
П2.4 Вычисление мгновенной частоты
Частота непрерывного сигнала
Вычисление мгновенной частоты ui(t) сигнала является довольно сложной процедурой. Непосредственное вычисление путем численного дифференцирования ф{і) приводит, естественно, к большим флук-туациям в оценке ui(t). Более того, может оказаться, что ui(t) < О для некоторых t. Это может произойти не только из-за влияния шума, но и как следствие сложной формы сигнала. Так, например, типичные элементы ЭКГ (например, Т-зубцы) приводят к отрицательным значениям мгновенной частоты. С физической точки зрения мы ожидаем, что мгновенная частота является положительной функцией времени, изменяющейся медленно по сравнению с характерным периодом колебаний и имеющей смысл числа колебаний в единицу времени. Это особенно важно в контексте исследования синхронизации, где нас не интересует поведение фазы на масштабах, меньших характерного периода колебаний. Существует несколько методов получения оценки u>(t) в соответствии с такой точкой зрения; их обсуждение и сравнение можно найти в [Boashash 1992].
-7 1 1 1 1 1 1 1 1
-4 0 4 8 12
s(t)
Рис. П2.6. Иллюстрация чувствительности преобразования Гильберта к низкочастотному тренду.
Возьмем для иллюстрации запись дыхания человека (поток воздуха через нос), см. рис. П2.7а, и воспользуемся методом, называемым в [Boashash 1992] «оценкой частоты методом максимального правдоподобия». Пусть мгновенная фаза ф{і) развернута на бесконечной оси, так что она является возрастающей, хотя и не обязательно монотонной, функцией времени. Выполним для каждого момента времени локальную аппроксимацию полиномом по интервалу, существенно большему характерного периода колебаний. Аналитически
0.2 1 1 1 1 1 1 1 ^
0 500 1000 1500
время (s)
Рис. П2.7. Мгновенная частота дыхания человека. Исходный сигнал - поток воздуха - показан на (а). На (Ь) жирная линия показывает частоту, соответствующую максимуму спектра мощности, вычисленного методом авторегрессии (методом Бурга [Press et al. 1992]) в скользящем окне длительностью 30 секунд. Длина окна показана горизонтальным отрезком на (а); она соответствует примерно 10 характерным периодам дыхания. Непрерывная и пунктирные линии на (Ь) изображают мгновенную частоту /(£), полученную с помощью ПГ с последующей аппроксимацией полиномом в окне длиной соответственно 30 и 60 секунд.
вычисленная производная полиномиальной функции в данный момент времени даёт всегда положительную оценку частоты. Практически это делается с помощью фильтра Савицкого-Голая (Savitzky^ Golay); четвертая степень полинома и длина интервала аппроксимации порядка 10 характерных периодов являются разумным выбором параметров. Мгновенная частота, вычисленная таким способом, практически совпадает с частотой, соответствующей максимуму скользящего спектра, полученного методом авторегрессии, например методом Бурга [Press et al. 1992], см. рис. П2.7Ь.
Частота точечного процесса
Фаза и медленно меняющаяся частота точечного процесса могут быть получены достаточно просто. Действительно, если интервал времени между двумя событиями соответствует полному циклу колебательного процесса, то набег фазы за этот интервал в точности равен 2тт. Следовательно, мы можем приписать временам t% значения фазы фі = ф{и) = 2тті. С таким временным рядом трудно работать, так как он неэквидистантен по времени. Тем не менее, мы можем воспользоваться тем, что такой сигнал есть монотонно возрастающая функция времени, и обратить ее. Полученный процесс 1{фф эквидистантен, так как шаг по фазе равен 2тх. Теперь мы можем применить описанный выше метод полиномиальной аппроксимации, чтобы получить мгновенный период Tj = Т(фф. Снова обращая временной ряд, получим частоту u>i = u>(ti) = 2тт/Т{.
Список литературы
А. А. Андронов и А. А. Витт. К математической теории захватывания. Журнал прикладной физики, 7(4):3, 1930а.
А. А. Андронов и А. А. Витт. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol. Archiv far Elektrotechnik, 24(1):99-110, 1930b. Русский перевод в: А. А. Андронов. Собрание трудов, стр. 70-84. Из-во АН СССР, М., 1956.
А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин. Теория колебаний. Гостехиздат,
М., 1937; Физматгиз, М., 1959; Наука, М., 1981.
С. Анищенко. Сложные колебания в простых системах. Механизмы
возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах. Наука, М., 1990. B.C. Анищенко и В. В. Астахов. Бифуркационные явления в автостохастическом генераторе при внешнем воздействии. Ж ТФ. 53(11):2165-2170, 1983.
В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Д. Э. Постнов и М. А. Сафонова. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. Радиотехника и электроника, 36(2):338-351, 1991.
В. В. Антюхов, А. Ф. Слова, О. Р. Качурин, Ф. В. Лебедев, В. В. Лихан-ский, А. П. Напартович и В. Д. Письменный. Эффективная фазовая синхронизация набора ОКР Письма в ЖЭТФ, 11(2):6-''. 75. 1986.
В. И. Арнольд. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности в окружность. Изв. Акад. Наук Сер. Мат., 25(1):21-86, 1961.
В. И. Арнольд. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье. Yen. Мат. Наук, 38(4):189-203, 1983.
В. С. Афраймович и Л. П. Шильников. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. В Методы качественной теории
дифференциальных уравнений, стр. 3-28. Горький, 1983. Л. Г. Безаева, Л. Н. Капцов и П. С. Ланда. Порог синхронизации как
критерий стохастичности в генераторе с инерционной нелинейностью.
ЖТФ, 56(9):1849-1853, 1986. Б. П. Везручко. Экспериментальное исследование нестационарных и
хаотических эффектов в распределенной автоколебательной системе
электронный пучок - электромагнитная волна. Автореферат канд.
дисс, Саратовский Университет, 1980.
Б. П. Везручко, Л. В. Булгакова, С. П. Кузнецов и Д. И. Трубецков. Экспериментальное и теоретическое исследование стохастических автоколебаний в лампе обратной волны. В Лекции по высокочастотной электронике (5-ая Зимняя Школа), Саратов 1981, стр. 25-77, Изд-во Саратовского Университета, 1981.
Б. П. Везручко, С. П. Кузнецов и Д. И. Трубецков. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный пучок - обратная электромагнитная волна. Письма в ЖЭТФ, 29(3):180-184, 1979.
И. И. Блехман. Синхронизация динамических систем. Наука, М., 1971 И. И. Блехман. Синхронизация в природе и технике. Наука, М., 1981 Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, М., 1958.
В. Бондаренко, А. Ф. Глова, С. Н. Козлов, Ф. В. Лебедев, В. В. Лихан-ский, А. П. Напартович, В. Д. Письменный и В. П. Ярцев. Бифуркации и хаос в системе оптически связанных СО^-лазеров. ЖЭТФ, 95(3): 807-816, 1989.
Я. Бродский. Околочасовые ритмы в клеточной популяции. Проблема синхронизации. Бюлл. Эксп. Биол. Мед., 124(12):604-609, 1997.
Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев. Введение в теорию
нелинейных колебаний. Наука, М., 1987. Л. А. Вайнштейн и Д. Е. Вакман Разделение частот в теории колебаний
и волн. Наука, М., 1983. И. М. Гельфанд, С. А. Ковалев и Л. М. Чайлахян. Внутриклеточное
раздражение различных отделов сердца лягушки. ДАН СССР, 148(4):
973-976, 1963.
Л. Гласе и М. Мэки. От часов к хаосу: Ритмы жизни. Мир, М., 1991.
Ф. Глова, С. Ю. Курчатов, В. В. Лиханский, А. Ю. Лысиков и А. П. На-
партович. О когерентной генерации линейного набора волноводных ССЬ-лазеров с пространственным фильтром. Квант, электрон., 23(6): 515-517, 1996.
С. Гурфинкель, Я. М. Коц и М. Л. Шик. Регуляция позы человека. Наука, М., 1965.
Ж. Йосс и Д. Джозеф. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. Мир, М., 1983.
Б. Каток и Б. Хассельблат Введение в современную теорию динамиче-
ских систем. Факториал, М., 1999.
Г. Колинько, Т. А. Архангельская и Ю. М. Романовский. Движение про-
топлазмы плазмодия миксомицета Physarum в условиях изменяющейся температуры. Stud. Biophys., 106(3):215-222, 1985. И. П. Корнфельд, С. В. Фомин и Я. Г. Синай. Эргодическая теория. Наука, М., 1980.
СП. Кузнецов, Динамический хаос. Физматлит, М., 2001.
П. Кузнецов и А. С. Пиковский. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений. Изв. ВУЗов - Радиофизика, 32(1):41-45, 1989.
Ю. И. Кузнецов, П. С. Ланда, А. Ф. Ольховой и С. М. Перминов. Связь между амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных системах. ДАН СССР, 281(2):291-294, 1985.
И. О. Кулик и И. К. Янсон. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. Наука, М., 1970.
П. С. Ланда. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. Наука, М., 1980.
П. С. Ланда. Нелинейные колебания и волны. Наука, М., 1997.
П. С. Ланда и С. М. Перминов. Взаимодействие периодических и стохастических автоколебаний. Изв. ВУЗов - Радиофизика, 25(3):424-427, 1985.
П. С. Ланда и С. М. Перминов. Синхронизация хаотических колебаний в системе Маккея-Рласса. Изв. ВУЗов - Радиофизика, 30(3):437-439, 1987.
П. С. Ланда, Ю. С. Рендель и В. А. Шер. Синхронизация колебаний в системе Лоренца. Изв. ВУЗов - Радиофизика, 32:1172-1174, 1989.
П. С. Ланда и М. Г. Розенблюм. О синхронизации хаотических автоколебательных систем. ДАН СССР, 324(1):63-68, 1992.
П. С. Ланда и Н. Д. Таранкова. Синхронизация генератора при модуляции его собственной частоты. Радиотехника и электроника, 21(2):260,1976.
Е. М. Лифшиц и Л. П. Питаевский. Физическая кинетика. Наука, М., 1979.
Н. Малахов. Флуктуации в автоколебательных системах. Наука, М.,
1968.
И. Г. Малкин. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Госте-хиздат, М., 1956.
М. Митюшин, Л. Л. Литинская и Л. Б. Каминир. О синхронном изменении клеточных ядер. В Колебательные процессы в биологических и химических системах, стр. 325-331, Наука, М., 1967.
Ф. Мун. Хаотические колебания: Вводный курс для научных сотрудников
и инженеров. Мир, М., 1990. А. Найфэ. Введение в методы возмущений. Мир, М., 1984.
Ю. И. Неймарк и П. С. Ланда. Стохастические и хаотические колебания. Наука, М., 1987.
А. А. Непомнящий. Устойчивость волновых режимов в пленке, стекающей по наклонной плоскости. Изд. АН СССР, Механика жидкости и газа, (3):28^34, 1974.
Я. Г. Пановко и И. И. Губанова. Устойчивость и колебания упругих систем. Наука, М., 1964.
А. С. Пиковский. Синхронизация и стохастизация ансамбля автогенераторов внешним шумом. Изв. ВУЗов Радиофизика, 27(5):5764581, 1984а.
С. Пиковский. Синхронизация фазы стохастических автоколебаний периодическим внешним сигналом. Радиотехника и электроника, 30(10): 1970^197485, 1984b.
Л. Рабинер и Б. Голд. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Мир, М., 1978.
М. И. Рабинович и Д. И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. Per. Хаот. Дин., Ижевск, 2000.
Д. В. Рэлей (Стретт). Теория звука. Гостехиздат, М., 1955.
Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова и Д. С. Чернавский. Математическое моделирование в биофизике. Наука, М., 1975.
Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова и Д. С. Чернавский. Математическая биофизика. Наука, М., 1984.
С. М. Рытов. Введение в статистическую радиофизику. Наука, М., 1976.
Р. Л. Стратонович. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике. Сов. Радио, М., 1961.
К. Ф. Теодорчик. Автоколебательные системы. Гостехиздат, М., 1952.
Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Мир, М.,
1984.
А. Харкевич. Основы радиотехники. Связьиздат, М., 1962.
Т. Хаяси. Нелинейные колебания в физических системах. Мир, М., 1968.
Хорстхемке и Р. Лефевр. Индуцированные шумом переходы. Мир, М.,
1987.
М. Л. Цетлин. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. Наука, М., 1969.
Р. Шмидт и Г. Тевс. Физиология человека. Мир, М., 1986.
Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. Мир, М., 1988.
Н. D. I. Abarbanel. Analysis of Observed Chaotic Data. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1996.
H. D. I. Abarbanel, N. F. Rulkov, and M. M. Suschik. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach. Phys. Rev. E, 53 (5):4528-4535, 1996.
L. F. Abbott and C. van Vreeswijk. Asynchronous states in networks of pulse-coupled oscillators. Phys. Rev. E, 48(2):1483^1490, 1993.
J. A. Acebron, L. L. Bonilla, S. De Leo, and R. Spigler. Breaking the symmetry
in bimodal frequency distributions of globally coupled oscillators. Phys.
Rev. E, 57(5):5287-5290, 1998. U. Achenbach and К. E. Wohlfarth-Bottermann. Synchronization and signal
transmission in protoplasmatic strands of Phys arum. Reaction to varying
temperature gradient. Planta, 150:180-188, 1980. U. Achenbach and К. E. Wohlfarth-Bottermann. Synchronization and signal
transmission in protoplasmatic strands of Phys arum. Effects of externally-applied substances and mechanical influences. Planta, 151:574-583, 1981. R. Adler. A study of locking phenomena in oscillators. Proc. IRE, 34:351-357,
1946. Reprinted in Proc. IEEE, 61(10):1380-1385, 1973. V. S. Afraimovich, V. I. Nekorkin, G. V. Osipov, and V. D. Shalfeev. Stability,
Structures and Chaos in Nonlinear Synchronization Networks. World
Scientific, Singapore, 1994. Y. Aizawa and T. Uezu. Global aspects of the dissipative dynamical systems.
II. Periodic and chaotic responses in the forced Lorenz system. Proy. Theor.
Phys., 68(6):1864-1879, 1982. M. K. Ali. Synchronization of a chaotic map in the presence of common noise.
Phys. Rev. E, 55(4):4804-4805, 1997. M. K. Ali and J.-Q. Fang. Synchronization of chaos and hyperchaos using
linear and nonlinear feedback functions. Phys. Rev. E, 55(5):5285-5290,
1997.
К. T. Alligood, T. D. Sauer, and J. A. Yorke. Chaos: An Introduction to
Dynamical Systems. Springer, New York, 1997. P. Alstr0m, B. Christiansen, and M. T. Levinsen. Characterization of a simple
class of modulated relaxation oscillators. Phys. Rev. B, 41(3):1308-1319,
1990.
R. Andretic, S. Chaney, and J. Hirsh. Requirement of circadian genes for
cocaine sensitization in Drosophila. Science, 285:1066-1068, 1999. V. S. Anishchenko, A. G. Balanov, N. B. Janson, N. B. Igosheva, and
G. V. Bordyugov. Entrainment between heart rate and weak noninvasive
forcing. Int. J. Bifurc. Chaos, 10:2339-2348, 2000. V. S. Anischenko, Т. E. Vadivasova, D. E. Postnov, and M. A. Safonova.
Synchronization of chaos. Int. J. Bifurc. Chaos, 2(3):633-644, 1992. T. Aoyagi and Y. Kuramoto. Frequency order and wave patterns of mutual
entrainment in two-dimensional oscillator lattices. Phys. Lett. A, 155(6,7):
410-414, 1991.
E. V. Appleton. The automatic synchronization of triode oscillator. Proc.
Cambridye Phil. Soc. (Math, and Phys. Sci), 21:231-248, 1922. J. Argyris, G. Faust, and M. Haase. An Exploration of Chaos. North-Holland,
Amsterdam, 1994.
J. Arnhold, P. Grassberger, K. Lefmertz, and С. E. Elger. A robust method for detecting interdependences: Application to intracranially recorded EEC Physica D, 134(4):419-430, 1999.
L. Arnold. Random Dynamical Systems. Springer, Berlin, 1998.
V. I. Arnold. Cardiac arrhythmias and circle mappings. Chaos, 1:20-24, 1991. D. G. Aronson, M. A. Chory, G. R. Hall, and R. P. McGehee. Bifurcations
from an invariant circle for two parameter families of maps of the plane: A
computer-assisted study. Commun. Math. Phys., 83:303-353, 1982. D. G. Aronson, G. B. Ermentrout, and N. Koppel. Amplitude response of
coupled oscillators. Physica D, 41:403-449, 1990. D. G. Aronson, R. P. McGehee, I. G. Kevrekidis, and R. Aris. Entrainment
regions for periodically forced oscillations. Phys. Rev. A, 33(3):2190-2192,
1986.
R. Artuso, E. Aurell, and P. Cvitanovic. Recycling of strange sets. I. Cycle
expansions. Nonlinearity, 3:325-359, 1990a. R. Artuso, E. Aurell, and P. Cvitanovic. Recycling of strange sets. II.
Applications. Nonlinearity, 3:361-386, 1990b. J. Aschoff, S. Daan, and G. A. Groos. Vertebrate Circadian Systems. Structure
and Physiology. Springer, Berlin, 1982. P. Ashwin and P. J. Aston. Blowout bifurcations of codimension two. Phys.
Lett. A, 244(4):261-270, 1998. P. Ashwin, J. Buescu, and I. Stewart. Bubbling of attractors and
synchronization of chaotic oscillators. Phys. Lett. A, 193:126-139, 1994. P. Ashwin, J. Buescu, and I. Stewart. From attractor to chaotic saddle: a tale
of transverse instability. Nonlinearity, 9(3):703-737, 1996. P. Ashwin, J. R. Terry, K. S. Thornburg, and R. Roy. Blowout bifurcation in
a system of coupled chaotic lasers. Phys. Rev. E, 58(6):7186-7189, 1998. V. Astakhov, T. Kapitaniak, A. Shabunin, and V. Anishchenko. Non-
bifurcational mechanism of loss of chaos synchronization in coupled non-identical systems. Phys. Lett. A, 258(2-3):99-102, 1999. P. J. Aston and M. Dellnitz. Symmetry breaking bifurcations of chaotic
attractors. Int. J. Bifurc. Chaos, 5(6):1643-1676, 1995. R. Badii, G. Broggi, B. Derighetti, M. Ravani S. Ciliberto, A. Politi, and M. A.
Rubio. Dimension increase in filtered chaotic signals. Phys. Rev. Lett., 60:
979-982, 1988.
R. Badii and A. Politi. Complexity. Hierarchical Structures and Scaling in
Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. F. Bagnoli, L. Baroni, and P. Palmerini. Synchronization and directed
percolation in coupled map lattices. Phys. Rev. E, 59(1):409-416, 1999. F. Bagnoli and R. Rechtman. Synchronization and maximum Lyapunov
exponents of cellular automata. Phys. Rev. E, 59(2):R1307-R1310, 1999. G L. Baker, J. A. Blackburn, and H. J. T. Smith. A stochastic model of
synchronization for chaotic pendulums. Phys. Lett. A, 252(3-4):191-197,
1999.
J. Baker and J. Gollub. Chaotic Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
N. Balmforth, C. Tresser, P. Worfolk, and C. W. Wu. Master-slave synchronization and the Lorenz equation. Chaos, 7(3):392-394, 1997.
N. J. Balmforth, A. Jacobson, and A. Provenzale. Synchronized family-dynamics in globally coupled maps. Chaos, 9(3):738-754, 1999.
N. J. Balmforth and R. Sassi. A shocking display of synchrony. Physica D, 143(1-4):21-55, 2000.
M. Banaji and P. Glendinning. Towards a quasi-periodic mean flow theory for globally coupled oscillators. Phys. Lett. A, 251:297-302, 1994.
A.-L. Barabasi and H. E. Stanley. Fractal Concepts in Surface Growth. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
S. Barbay, G. Giacomelli, and F. Marin. Stochastic resonance in vertical cavity-surface emitting lasers. Phys. Rev. E., 61(1):157-166, 2000.
Barone and G. Paterno. Physics and Applications of the Josephson Effect. Wiley, New York, 1982.
C. Beck and F. Schlogl. Thermodynamics of Chaotic Systems. Cambridge
University- Press, Cambridge, 1997. J. Benford, H. Sze, W. Woo, R. R. Smith, and B. Harteneck. Phase locking of
relativistic magnetrons. Phys. Rev. Lett., 62(8):969-971, 1989. T. B. Benjamin and J. E. Feir. The disintegration of wave trains on deep
water. J. Fluid Mech., 27:417, 1967. R. E. Best. Phase-Locked Loops. McGraw-Hill, New York, 1984. L. Billings, J. H. Curry, and E. Phipps. Lyapunov exponents, singularities, and
a riddling bifurcation. Phys. Rev. Lett., 79(6):1018-1021, 1997.
Blasius, A. Huppert, and L. Stone. Complex dynamics and phase synchronization in spatially- extended ecological systems. Nature, 399: 354-359, 1999.
I. I. Blekhman, P. S. Landa, and M. G. Rosenblum. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems. Appl. Mech. Rev., 48(11): 733-752, 1995.
B. Boashash. Estimating and interpreting the instantaneous frequency- of a
signal. Proc. IEEE, 80(4):520-568, 1992. S. Boccaletti, J. Bragard, F. T. Arecchi, and H. Mancini. Synchronization in
nonidentical extended systems. Phys. Rev. Lett., 83(3):536-539, 1999. S. Boccaletti, A. Farini, and F. T. Arecchi. Adaptive synchronization of chaos
for secure communication. Phys. Rev. E, 55(5):4979-4981, 1997. T. Bohr, M. H. Jensen, G. Paladin, and A. Vulpiani. Dynamical Systems
Approach to Turbulence. Cambridge University- Press, Cambridge, 1998. R. Bonaccini and A. Politi. Chaotic-like behavior in chains of stable nonlinear
oscillators. Physica D, 103:362, 1997. L. L. Bonilla, J. M. Casado, and M. Morillo. Self-synchronization of populations
of nonlinear oscillators in the thermodynamic limit. J. Stat. Phys., 48(3/4):
571-591, 1987.
L. L. Bonilla, J. C. Neu, and R. Spigler. Nonlinear stability- of incoherence and collective synchronization in a population of coupled oscillators. J. Stat. Phys., 67(1/2):313-330, 1992.
L. L. Bonilla, C. J. Perez Vicente, F. Ritort, and J. Soler. Exactly- solvable
phase oscillator models with synchronization dynamics. Phys. Rev. Lett.,
81(17):3643-3646, 1998. L. L. Bonilla, C. J. Perez Vicente, and J. M. Rubi. Glassy synchronization in
a population of coupled oscillators. J. Stat. Phys., 70(3/4):921-936, 1993. S. Bottani. Pulse-coupled relaxation oscillators: From biological
synchronization to self-organized criticality. Phys. Rev. Lett., 74
(21):4189-4192, 1995. S. Bottani. Synchronization of integrate and fire oscillators with global
coupling. Phys. Rev. E, 54(3):2334-2350, 1996.
Boyd. On the structure of the family of Cherry fields on the torus. Ergod.
Theor. Dynam. Syst., 5:27-46, 1985. M. Bracic and A. Stefanovska. Synchronization and modulation in the human
cardiorespiratory system. Physica A, 283:451-461, 2000. Y. Braiman, W. L. Ditto, K. Wiesenfeld, and M. L. Spano. Disorder-enhanced
synchronization. Phys. Lett. A, 206:54-60, 1995.
M. Bramble and D. R. Carrier. Running and breathing in mammals. Science,
219:251-256, 1983.
H. Bremmer. The scientific work of Balthasar van der Pol. Philips Tech. Rev., 22(2):36-52, 1960/61.
P. C. Bressloff and S. Coombes. Symmetry and phase-locking in a ring of pulse-coupled oscillators with distributed delays. Physica D, 126(1-2):99-122, 1999.
J. Brindley and T. Kapitaniak. Analytic predictors for strange non-chaotic
attractors. Phys. Lett. A, 155:361-364, 1991. R. Brown and N. Rulkov. Designing a coupling that guarantees synchronization
between identical chaotic systems. Phys. Rev. Lett., 78(22):4189-4192,
1997a.
R. Brown and N. Rulkov. Synchronization of chaotic systems: Transverse
stability of trajectories in invariant manifolds. Chaos, 7(3):395-413, 1997b. L. Brunnet and H. Chate. Phase coherence in chaotic oscillatory media. Physica
A, 257:347-356, 1998. L. Brunnet, H. Chate, and P. Manneville. Long-range order with local chaos
in lattices of diffusively coupled ODEs. Physica D, 78:141-154, 1994. P. Bryant and C. Jeffries. The dynamics of phase locking and points of
resonance in a forced magnetic resonator. Physica D, 25:196-232, 1987. J. Buck and E. Buck. Mechanism of rhythmic synchronous flashing of fireflies.
Science, 159:1319-1327, 1968. J. Buck, E. Buck, F. E. Hanson, J. F. Case, L. Mets, and G. J. Atta. Control
of flushing in fireflies. IV. Free run pacemaking in a synchronic Pteroptyx.
J. Сотр. Physiol., 144:277-286, 1981. C. J. Buczek, R. J. Freiberg, and M. L. Skolnick. Laser injection locking. Proc.
IEEE, 61(10):1411-1431, 1973. P. J. Butler and A. J. Woakes. Heart rate, respiratory frequency and wing beat
frequency of free flying barnacle geese. J. Exp. Biol, 85:213-226, 1980.
J. L. Cardy, Editor. Finite-Size Scaling. North-Holland, Amsterdam, 1988. T. L. Carroll. Amplitude-independent chaotic synchronization. Phys. Rev. E,
53(4):3117-3122, 1996. T. L. Carroll, J. F. Heagy, and L. M. Pecora. Transforming signals with chaotic
synchronization. Phys. Rev. E, 54(5):4676-4680, 1996. T. L. Carroll and G. A. Johnson. Synchronizing broadband chaotic systems to
narrow-band signals. Phys. Rev. E, 57(2):1555-1558, 1998. T. L. Carroll and L. M. Pecora. Cascading synchronized chaotic systems.
Physica D, 67:126-140, 1993a. T. L. Carroll and L. M. Pecora. Synchronizing nonautonomous chaotic circuits.
IEEE Trans. Circ. Syst, 40:646, 1993b. T. L. Carroll and L. M. Pecora. Synchronizing hyperchaotic volume-preserving
maps and circuits. IEEE Trans. Circ. Syst. I, 45(6):656-659, 1998. M. L. Cartwright and J. E. Littlewood. On nonlinear differential equations of
the second order. J. London Math. Soc, 20:180-189, 1945. A. Cenys, A. N. Anagnostopoulos, and G. L. Bleris. Distribution of laminar
lengths for noisy on-off intermittency. Phys. Lett. A, 224(6):346-352,
1997a.
A. Cenys, A. N. Anagnostopoulos, and G. L. Bleris. Symmetry between laminar and burst phases for on-off intermittency. Phys. Rev. E, 56(3):2592-2596, 1997b.
A. Cenys, A. Namajunas, A. Tamasevicius, and T. Schneider. On-off intermittency in chaotic synchronization experiment. Phys. Lett. A, 213: 259-264, 1996.
J. Cernacek. Stabilography in neurology. Agressologie D, 21:25-29, 1980.
H. Chate and P. Manneville. Collective behaviors in spatially extended systems
with local interactions and synchronous updating. Prog. Theor. Phys., 87
(1):1-60, 1992.
H. Chate and P. Manneville. Phase diagram of the two-dimensional complex
Ginzburg-Landau equation. Physica A, 224:348, 1996. H. Chate, A. Pikovsky, and O. Rudzick. Forcing oscillatory media: Phase kinks
vs. synchronization. Physica D, 131(1-4):17-30, 1999. Chia-Chu Chen. Threshold effects on synchronization of pulse-coupled
oscillators. Phys. Rev. E, 49:2668-2672, 1994. M. Y. Choi, H. J. Kim, D. Kim, and H. Hong. Synchronization in a system of
globally coupled oscillators with time delay. Phys. Rev. E, 61(1):371-381,
2000.
B. Christiansen, P. Alstr0m, and M. T. Levinsen. Routes to chaos and complete
phase locking in modulated relaxational oscillators. Phys. Rev. A, 42(4): 1891-1900, 1990.
B. Christiansen, P. Alstr0m, and M. T. Levinsen. Collective dynamics of coupled modulated oscillators with random pinning. Physica D, 56:23-35, 1992.
J. J. Collins and I. N. Stewart. Coupled nonlinear oscillators and the
symmetries of animal gaits. J. Nonlinear Sci., 3:349-392, 1993. S. Coombes. Liapunov exponents and mode-locked solutions for integrate-and-
fire dynamical systems. Phys. Lett. A, 255(1-2):49-57, 1999. S. Coombes and P. C. Bressloff. Mode locking and Arnold tongues in integrate-
and-fire neural oscillators. Phys. Rev. E, 60(2):2086-2096, 1999. A. Corral, C. J. Perez, A. Diaz-Guilera, and A. Arenas. Self-organized criticality
and synchronization in a lattice model of integrate-and-fire oscillators.
Phys. Rev. Lett, 74(1):118-121, 1995a. A. Corral, C. J. Perez, A. Diaz-Guilera, and A. Arenas. Synchronization in a
lattice model of pulse-coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 75(20):3697-
3700, 1995b.
D. Cortez and S. J. Elledge. Conducting the mitotic symphony. Nature, 406: 354-356, 2000.
P. Coullet and K. Emilsson. Pattern formation in the strong resonant forcing of spatially distributed oscillators. Physica A, 188:190-200, 1992a.
P. Coullet and K. Emilsson. Strong resonances of spatially distributed oscillators: A laboratory to study patterns and defects. Physica D, 61: 119-131, 1992b.
H. Crauel and F. Flandoli. Attractors for random dynamical systems. Probab.
Theory Relat. Fields, 100:365-393, 1994. J. D. Crawford. Amplitude expansions for instabilities in populations of
globally-coupled oscillators. J. Stat. Phys., 74(5/6):1047-1084, 1994. J. D. Crawford. Scaling and singularities in the entrainment of globally coupled
oscillators. Phys. Rev. Lett, 74(21):4341-4344, 1995. J. D. Crawford and К. T. R. Davies. Synchronization of globally coupled phase
oscillators: Singularities and scaling for general couplings. Physica D, 125
(1-2):1-46, 1999.
A. Crisanti, M. Falconi, and A. Vulpiani. Broken ergodicity and glassy behavior
in a deterministic chaotic map. Phys. Rev. Lett., 76(4):612-615, 1996. A. Crisanti, G. Paladin, and A. Vulpiani. Products of Random Matrices in
Statistical Physics. Springer, Berlin, 1993. M. C. Cross and P. С Hohenberg. Pattern formation outside of equilibrium.
Rev. Mod. Phys., 65:851-1112, 1993. J. P. Crutchfield and K. Kaneko. Are attractors relevant to turbulence? Phys.
Rev. Lett, 60:2715-2718, 1988. К. M. Cuomo and A. V. Oppenheim. Circuit implementation of synchronized
chaos with applications to communications. Phys. Rev. Lett., 71(1):65-68,
1993.
К. M. Cuomo, A. V. Oppenheim, and S. H. Strogatz. Robustness and signal recovery in a synchronized chaotic system. Int. J. Bifurc. Chaos, 3(6): 1629-1638, 1993a.
К. M. Cuomo, A. V. Oppenheim, and S. H. Strogatz. Synchronization of Lorenz-based chaotic circuits with applications to communications. IEEE
Trans. Circ. Syst, 40:626-633, 1993b. С. A. Czeisler, J. S. Allan, S. H. Strogatz, J. M. Ronda, R. Sanches, C. D. Rios, W. O. Freitag, G. S. Richardson, and R. E. Kronauer. Bright light resets the human circadian pacemaker independent of the timing of the sleep-wake cycle. Science, 233:667-671, 1986.
C. A. Czeisler, J. F. Duffy, T. L. Shanahan, E. N. Brown, J. F. Mitchell, D. W. Rimmer, J. M. Ronda, E. J. Silva, J. S. Allan, J. S. Emens, D.-J. Dijk, and R. E. Kronauer. Stability, precision, and near-24-hour period of the human circadian pacemaker. Science, 284:2177-2181, 1999.
H. Daido. Intrinsic fluctuations and a phase transition in a class of large population of interacting oscillators. J. Stat. Phys., 60(5/6):753-800,1990.
H. Daido. Order function and macroscopic mutual entrainment in uniformly-coupled limit-cycle oscillators. Prog. Theor. Phys., 88(6):1213-1218,1992a.
H. Daido. Quasientrainment and slow relaxation in a population of oscillators with random and frustrated interactions. Phys. Rev. Lett., 68(7):1073-1076, 1992b.
H. Daido. Critical conditions of macroscopic mutual entrainment in uniformly-coupled limit-cycle oscillators. Prog. Theor. Phys., 89(4):929-934, 1993a.
H. Daido. A solvable model of coupled limit-cycle oscillators exhibiting perfect synchrony and novel frequency- spectra. Physica D, 69:394-403, 1993b.
H. Daido. Multi-branch entrainment and multi-peaked order-functions in a phase model of limit-cycle oscillators with uniform all-to-all coupling. J. Phys. A: Math. Gen., 28:L151-L157, 1995.
H. Daido. Onset of cooperative entrainment in limit-cycle oscillators with uniform all-to-all interactions: Bifurcation of the order function. Physica
D, 91:24-66, 1996.
D. Dawson and J. Gartner. Large deviations from the McKean-Vlasov limit for weakly- interacting diffusions. Stochastics, 20:247-308, 1987.
M. de Sousa Vieira and A. J. Lichtenberg. Nonuniversality of weak
synchronization in chaotic systems. Phys. Rev. E, 56(4):R3741-3744,1997. M. de Sousa Vieira, A. J. Lichtenberg, and M. A. Lieberman. Synchronization
of regular and chaotic systems. Phys. Rev. A, 46(12):R7359-R7362, 1992. M. de Sousa Vieira, A. J. Lichtenberg, and M. A. Lieberman. Self
synchronization of many coupled oscillations. Int. J. Bifurc. Chaos, 4(6):
1563-1577, 1994.
A. Denjoy. Sur les courbes definies par les equations differentielles a la surface
du tore. J. Math. Pure Appl, 11:333-375, 1932. R. L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-
Wesley, Reading MA, 1989. N. E. Diamant and A. Bortoff. Nature of the intestinal slow-wave frequency.
Am. J. Physiol., 216(2):301-307, 1969. A. Diaz-Guilera, C. J. Perez, and A. Arenas. Mechanisms of synchronization
and pattern formation in a lattice of pulse-coupled oscillators. Phys. Rev.
E, 57(4):3820-3828, 1998.
М. Ding, С. Grebogi, and Е. Ott. Evolution of attractors in quasiperiodically
forced systems: From quasiperiodic to strange nonchaotic to chaotic. Phys.
Rev. A, 39(5):2593-2598, 1989. M. Ding and W. Yang. Stability of synchronous chaos and on-off intermittency
in coupled map lattices. Phys. Rev. E, 56(4):4009-4016, 1997. W. L. Ditto, M. L. Spano, H. T. Savage, S. N. Rauseo, J. Heagy, and E. Ott.
Experimental observation of a strange nonchaotic attractor. Phys. Rev.
Lett, 65:533, 1990.
M. Dolnik and I. R. Epstein. Coupled chaotic chemical oscillators. Phys. Rev. E, 54(4):3361-3368, 1996.
Drossel. Self-organized criticality and synchronization in a forest-fire-model.
Phys. Rev. Lett, 76(6):936-939, 1996. G. S. Duane. Synchronized chaos in extended systems and meteorological
teleconnections. Phys. Rev. E, 56(6):6475-6493, 1997. J. Dudel and W. Trautwein. Der Mechanismus der automatischen
rhythmischen Impulsbildung der Herzmuscelfaser. Pfliigers Arch., 313:553,
1958.
G. I. Dykman, P. S. Landa, and Yu. I. Neymark. Synchronizing the chaotic oscillations by external force. Chaos, Solit. Fract., 1(4):339-353, 1991.
W. H. Eccles and J. H. Vincent. British Patent Spec, clxiii p.462, 1920. Application date 17.02.1920.
R. J. Elble and W. C. Roller. Tremor. John Hopkins University Press, Baltimore, 1990.
Elphick, A. Hagberg, and E. Meron. Multiphase patterns in periodically-forced oscillatory- systems. Phys. Rev. E, 59(5):5285-5291, 1999.
R. C. Elson, A. I. Selverston, R. Huerta, N. F. Rulkov, M. I. Rabinovich,
and H. D. I. Abarbanel. Synchronous behavior of two coupled biological
neurons. Phys. Rev. Lett, 81(25):5692-5695, 1998. C. Elton and M. Nicholson. The ten-year cycle in numbers of the lynx in
Canada. J. Anim. Ecol, 11:215-244, 1942. J. Engel and T. A. Pedley. Epilepsy: A Comprehensive Textbook. Lippincott-
Raven, Philadelphia, 1975. G. B. Ermentrout. The behavior of rings of coupled oscillators. J. Math. Biol,
23:55-74, 1985.
G. B. Ermentrout. Oscillator death in populations of "all to all" coupled nonlinear oscillators. Physica D, 41:219-231, 1990.
G. B. Ermentrout and N. Kopell. Frequency- plateaus in a chain of weakly-coupled oscillators, I. SIAM J. Math. Anal, 15(2):215-237, 1984.
G. B. Ermentrout and J. Rinzel. Beyond a pacemaker's entrainment limit: Phase walk-through. Am. J. Physiol, 246:R102-106, 1984.
U. Ernst, K. Pawelzik, and T. Geisel. Synchronization induced by temporal delays in pulse-coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 74(9):1570-1573,1995.
U. Ernst, K. Pawelzik, and T. Geisel. Delay-induced multistable synchronization of biological oscillators. Phys. Rev. E, 57(2):2150-2162,
M.S. Feldman. Non-linear system vibration analysis using Hilbert transform I. Free vibration analysis method "FREEVIB". Mech. Syst. Signal Proc, 8 (2):119-127, 1994.
R. Femat and G. Solis-Perales. On the chaos synchronization phenomena. Phys. Lett. A, 262(1):50-60, 1999.
M. Franz and M. Zhang. Supression and creation of chaos in a periodically-forced Lorenz system. Phys. Rev. E, 52(4):3558-3565, 1995.
H.-J. Freund. Motor unit and muscle activity in voluntary motor control. Physiol. Rev., 63(2):387-436, 1983.
H. Fujigaki, M. Nishi, and T. Shimada. Synchronization of nonlinear systems with distinct parameters: Phase synchronization and metamorphosis. Phys. Rev. E, 53(4):3192-3197, 1996.
H. Fujigaki and T. Shimada. Phase synchronization and nonlinearity decision in the network of chaotic flows. Phys. Rev. E, 55(3):2426-2433, 1997.
H. Fujisaka, H. Ishii, M. Inoue, and T. Yamada. Intermittency caused by-chaotic modulation II. Prog. Theor. Phys., 76(6):1198-1209, 1986.
H. Fujisaka, S. Matsushita, and T. Yamada. Fluctuation-controlled transient below the on-off intermittency transition. J. Phys. A: Math. Gen., 30(16): 5697-5707, 1997.
H. Fujisaka, K. Ouchi, H. Hata, B. Masaoka, and S. Miyazaki. On-off intermittency in oscillatory media. Physica D, 114(3-4):237-250, 1998.
H. Fujisaka and T. Yamada. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. Prog. Theor. Phys., 69(1):32-47, 1983.
H. Fujisaka and T. Yamada. A new intermittency in coupled dynamical systems. Prog. Theor. Phys., 74(4):918-921, 1985.
H. Fujisaka and T. Yamada. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. IV. Instability of synchronized chaos and new intermittency. Prog. Theor. Phys., 75(5):1087-1104, 1986.
H. Fujisaka and T. Yamada. Intermittency caused by chaotic modulation. III. Self-similarity and higher order correlation functions. Prog. Theor. Phys., 77(5):1045-1056, 1987.
J. M. Furman. Posturography: Uses and limitations. In Bailliere's Clinical Neurology, volume 3, pages 501-513. Bailliere Tindall, London, 1994.
D. Gabor. Theory of communication. J. IEE (London), 93(3):429-457, 1946.
P. M. Gade. Synchronization of oscillators with random nonlocal connectivity. Phys. Rev. E, 54(1):64-70, 1996.
J. A. C. Gallas, P. Grassberger, H. J. Herremann, and P. Ueberholz. Noisy-collective behaviour in deterministic cellular automata. Physica A, 180: 19-41, 1992.
L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, and F. Marchesoni. Stochastic resonance. Rev. Mod. Phys., 70:223-288, 1998.
W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods. Springer, Berlin, 1990.
J. Gauthier and J. C. Bienfang. Intermittent loss of synchronization
in coupled chaotic oscillators: Toward a new criterion for high-qualitiy
synchronization. Phys. Rev. Lett., 77(9):1751-1754, 1996. W. Gerstner. Time structure of the activity in neural network models. Phys.
Rev. E, 51(1):738-758, 1995. L. Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps. Chaos, 1:13-19, 1991. L. Glass. Synchronization and rhythmic processes in physiology. Nature,
410:277-284, 2001.
L. Glass and A. Shrier. Low-dimensional dynamics in the heart. In L. Glass, P. Hunter, and A. McCulloch, Editors, Theory of Heart, pages 289-312. Springer, New York, 1991.
P. Glendinning. Stability, Instability and Chaos. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
P. Glendinning. The stability boundary of synchronized states in globally-coupled dynamical systems. Phys. Lett. A, 259:129-134, 1999.
P. Glendinning, U. Feudel, A. Pikovsky, and J. Stark. The structure of mode-locking regions in quasi-periodically forced circle maps. Physica D, 140(1): 227-243, 2000.
P. Glendinning and M. Proctor. Travelling waves with spatially resonant forcing: Bifurcation of a modified Landau equation. Int. J. Bifurc. Chaos, 3(6):1447-1455, 1993.
N. R. J. Glossop, L. C. Lyons, and P. E. Hardin. Interlocked feedback loops within the Drosophila circadian oscillator. Science, 286:766-768, 1999.
L. Goldberg, H. F. Taylor, and J. F. Weller. Injection locking of coupled-stripe diode laser arrays. Appl. Phys. Lett., 46(3):236-238, 1985.
D. Golomb, D. Hansel, B. Shraiman, and H. Sompolinsky. Clustering in globally-coupled phase oscillators. Phys. Rev. A, 45(6):3516, 1992.
D. L. Gonzalez and O. Piro. Symmetric kicked self-oscillators: Iterated maps, strange attractors, and symmetry of the phase-locking Farey hierarchy. Phys. Rev. Lett, 55(1):17-20, 1985.
J. M. Gonzalez-Miranda. Chaotic systems with a null conditional Lyapunov exponent under nonlinear driving. Phys. Rev. E, •">•''>( I ):!>•"> R*. 1996a.
J. M. Gonzalez-Miranda. Synchronization of symmetric chaotic systems. Phys. Rev. E, 53(6):5656-5669, 1996b.
J. M. Gonzalez-Miranda. Communications by synchronization of spatially-symmetric chaotic systems. Phys. Lett. A, 251(2):115-120, 1999.
M. Gorman, P. J. Widmann, and K. A. Robbins. Chaotic flow regimes in a convective loop. Phys. Rev. Lett, 52(25):2241-2244, 1984.
M. Gorman, P. J. Widmann, and K. A. Robbins. Nonlinear dynamics of a convection loop: a quantitative comparison of experiment with theory. Physica D, 19(2):255-267, 1986.
A. Goryachev, H. Chate, and R. Kapral. Synchronization defects and broken symmetry in spiral waves. Phys. Rev. Lett., 80(4):873-876, 1998.
A. Goryachev and R. Kapral. Spiral waves in chaotic systems. Phys. Rev. Lett, 76(10):1619-1622, 1996.
P. Grassberger. Are damage spreading transitions generically in the universality class of directed percolation? J. Stat. Phys., 79(1-2):13, 1995.
P. Grassberger. Synchronization of coupled systems with spatiotemporal chaos. Phys. Rev. E, 59(3):R2520-R2522, 1999.
C. Graves, L. Glass, D. Laporta, R. Meloche, and A. Grassino. Respiratory-phase locking during mechanical ventilation in anesthetized human subjects. Am. J. Physiol, 250:R902-R909, 1986.
С. M. Gray, P. Konig, A. K. Engel, and W. Singer. Oscillatory- responses in cat visual cortex exhibit inter-columnar synchronization which reflects global stimulus properties. Nature, 338:334-337, 1989.
C. Grebogi, E. Ott, S. Pelikan, and J. A. Yorke. Strange attractors that are not chaotic. Physica D, 13:261-268, 1984.
Grinstein, D. Mukamel, R. Seidin, and С. H. Bennett. Temporally- periodic phases and kinetic roughening. Phys. Rev. Lett., 70(23):3607-3610, 1993.
J. Guckenheimer. Isochrons and phaseless sets. J. Math. Biol, 1:259-273,1975.
J. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, New York, 1986.
J. Giiemez, C. Martin, and M. A. Matias. Approach to the chaotic synchronized state of some driving methods. Phys. Rev. E, 55(1):124-134, 1997.
J. Giiemez and M. A. Matias. Synchronization in small assemblies of chaotic systems. Phys. Rev. E, 53(4):3059-3067, 1996.
M. R. Guevara. Iteration of the human atrioventricular (AV) nodal recovery-curve predicts many rhythms of AV block. In L. Glass, P. Hunter, and A. McCulloch, Editors, Theory of Heart, pages 313-358. Springer, New York, 1991.
M. R. Guevara, L. Glass, and A. Shrier. Phase-locking, period-doubling bifurcations and irregular dynamics in periodically- stimulated cardiac cells. Science, 214:1350-1353, 1981.
M. R. Guevara, A. Shrier, and L. Glass. Phase-locked rhythms in periodically-stimulated cardiac cells. Am. J. Physiol, 254:H1-10, 1989.
N. Gupte and R. E. Amritkar. Synchronization of chaotic orbits: The influence of unstable periodic orbits. Phys. Rev. E, 48(3):R1620-R1623, 1993.
Gutowitz, Editor. Cellular Automata: Theory and Experiment. North-Holland, Amsterdam, 1990.
R. Guttman, S. Lewis, and J. Rinzel. Control of repetitive firing in squid axon membrane as a model for a neuron oscillator. J. Physiol. (London), 305: 377-395, 1980.
H. Haken. Information and Self-Organization. A Macroscopic Approach to Complex Systems. Springer, Berlin, 1988; 2nd edition, 1999.
H. Haken. Advanced Synergetics: Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems. Springer, Berlin, 1993.
H. Haken, J. A. S. Kelso, and H. Bunz. A theoretical model of phase transitions in human hand movements. Biol. Cybern., 51:347-356, 1985.
V. Hakim and W. J. Rappel. Dynamics of the globally coupled complex Ginzburg-Landau equation. Phys. Rev. A, 46(12):R7347-R7350, 1992.
J. K. Hale and H. Kocak. Dynamics and Bifurcations. Springer, New York, 1991.
G. M. Hall, S. Bahar, and D. J. Gauthier. Prevalence of rate-dependent behaviors in cardiac muscle. Phys. Rev. Lett., 82(14):2995-2998, 1999.
T. Halpin-Healy and Y.-C. Zhang. Kinetic roughening phenomena, stochastic growth, directed polymers and all that. Physics Reports, 254:215-414,1995.
M. Hamalainen, R. Hari, R. J. Ilmoniemi, J. Knuutila, and О. V. Lounasmaa. Magnetoencephalography - Theory, instrumentation, and applications to noninvasive studies of the working human brain. Rev. Mod. Phys., 65: 413-497, 1993.
P. W. Hammer, N. Piatt, S. M. Hammel, J. F. Heagy, and B. D. Lee.
Experimental observation of on-off intermittency. Phys. Rev. Lett., 73
(8):1095-1098, 1994. S. K. Han, C. Kurrer, and Y. Kuramoto. Dephasing and bursting in coupled
neural oscillators. Phys. Rev. Lett., 75:3190-3193, 1995. S. K. Han, Ch. Kurrer, and Y. Kuramoto. Diffusive interaction leading to
dephasing of coupled neural oscillators. Int. J. Bifurc. Chaos, 7(4):869-876,
1997.
D. Hansel, G. Mato, and C. Meunier. Clustering and slow switching in globally-coupled phase oscillators. Phys. Rev. E, 48(5):3470-3477, 1993.
M. Hasler, Yu. Maistrenko, and O. Popovych. Simple example of partial synchronization of chaotic systems. Phys. Rev. E, 58(5):6843-6846, 1998.
R. He and P. G. Vaidya. Time delayed chaotic systems and their synchronization. Phys. Rev. E, 59(4):4048-4051, 1999.
J. F. Heagy and T. L. Carroll. Chaotic synchronization in Hamiltonian systems. Chaos, 4:385, 1994.
J. F. Heagy, T. L. Carroll, and L. M. Pecora. Experimental and numerical evidence for riddled basins in coupled chaotic systems. Phys. Rev. Lett., 73(26):3528, 1994a.
J. F. Heagy, T. L. Carroll, and L. M. Pecora. Synchronous chaos in coupled
oscillator systems. Phys. Rev. E, 50(3):1874-1884, 1994b. J. F. Heagy, T. L. Carroll, and L. M. Pecora. Desynchronization by periodic
orbits. Phys. Rev. E, 52(2):R1253-R1256, 1995. J. F. Heagy and S. M. Hammel. The birth of strange nonchaotic attractors.
Physica D, 70:140-153, 1994. J. F. Heagy, N. Piatt, and S. M. Hammel. Characterization of on-off
intermittency. Phys. Rev. E, 49(2):1140-1150, 1994c. M. R. Herman. Une methode pour minorer les exposants de Lyapunov et
quelques exemples montrant le caractere local d'un theoreme d'Arnold et
de Moser sur le tori de dimension 2. Comment. Math. Helvetici, 58:453,
1983.
A. V. Herz and J. J. Hopfield. Earthquake cycles and neural reverberations:
Collective oscillations in systems with pulse-coupled threshold elements.
Phys. Rev. Lett, 75(6):1222-1225, 1995. H. Herzel and J. Freund. Chaos, noise, and synchronization reconsidered. Phys.
Rev. E, 52(3):3238, 1995. R. C. Hilborn. Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists
and Engineers. Oxford University Press, Oxford, New York, 1994. P. Holmes and D. R. Rand. Bifurcations of the forced van der Pol oscillator.
Quart. Appl. Math., 35:495-509, 1978. H. Hong, M. Y. Choi, K. Park, B. G. Yoon, and K. S. Soh. Synchronization
and resonance in a driven system of coupled oscillators. Phys. Rev. E, 60
(4):4014-4020, 1999a. H. Hong, M. Y. Choi, J. Yi, and K.-S. Soh. Inertia effects on periodic
synchronization in a system of coupled oscillators. Phys. Rev. E, 59(1):
353-363, 1999b.
H. Hong, M. Y. Choi, B.-G. Yoon, K. Park, and K.-S. Soh. Noise effects on synchronization in systems of coupled oscillators. J. Phys. A: Math. Gen., 32:L9-L15, 1999c.
J. J. Hopfield. Neurons, dynamics and computation. Phys. Today, pages 40-46, February 1994.
J. J. Hopfield and A. V. M. Herz. Rapid local synchronization of action
potentials: Toward computation with coupled integrate-and-fire neurons.
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 92:6655-6662, 1995. F. C. Hoppensteadt and E. M. Izhikevich. Weakly Connected Neural Networks.
Springer, Berlin, 1997. F. C. Hoppensteadt and E. M. Izhikevich. Oscillatory neurocomputers with
dynamic connectivity. Phys. Rev. Lett, 82(14):2983-2986, 1999. D. Hoyer, O. Hader, and U. Z wiener. Relative and intermittent
cardiorespiratory coordination. IEEE Eng. Med. Biol., 16(6):97-104, 1997.
G Hu, J. Xiao, J. Yang, F. Xie, and Zh. Qu. Synchronization of spatiotemporal chaos and its applications. Phys. Rev. E, 56(3):2738-2746, 1997.
B. R. Hunt, E. Ott, and J. A. Yorke. Differentiable generalized synchronization
of chaos. Phys. Rev. E, 55(4):4029-4034, 1997. Ch. Huygens (Hugenii). Horologium Oscillatorium. Apud F. Muguet, Parisiis,
France, 1673. English translation: The Pendulum Clock, Iowa State
University Press, Ames, 1986. Русский перевод: X. Гюйгенс. Три мемуара
по механике. Изд-во АН СССР, М., 1951.
Ch. Huygens. CEvres Completes, volume 15. Swets & Zeitlinger В. V., Amsterdam, 1967a.
Ch. Huygens. CEvres Completes, volume 17. Swets & Zeitlinger В. V., Amsterdam, 1967b.
J. M. Hyman, B. Nicolaenko, and S. Zaleski. Order and complexity in the Kuramoto-Sivashinsky model of weakly turbulent interfaces. Physica D, 23(1-3):265-292, 1986.
А. К. Jain, К. К. Likharev, J. Е. Lukens, and J. Е. Sauvageau. Mutual phase-locking in Josephson junction arrays. Phys. Reports, 109(6):309-426,1984.
J. Jalife and C. Antzelevitch. Phase resetting and annihilation of pacemaker activity in cardiac tissue. Science, 206:695-697, 1979.
M. H. Jensen, P. Bak, and T. Bohr. Complete devil's staircase, fractal dimension and universality of mode-locking structure in the circle map. Phys. Rev. Lett, 50(21):1637-1639, 1983.
M. H. Jensen, P. Bak, and T. Bohr. Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. I. Circle maps. Phys. Rev. A, 30(4): 1960-1969, 1984.
Y. Jiang and P. Parmananda. Synchronization of spatiotemporal chaos in asymmetrically coupled map lattices. Phys. Rev. E, 57(4):4135-4139,1998.
A. Johnson, D. J. Mar, T. L. Carroll, and L. M. Pecora. Synchronization and
imposed bifurcations in the presence of large parameter mismatch. Phys.
Rev. Lett., 80(18):3956-3959, 1998. L. Junge and U. Parlitz. Phase synchronization of coupled Ginzburg-Landau
equations. Phys. Rev. E, 62(1):438-441, 2000. E. Kaempfer. The History of Japan (With a Description of the Kingdom
of Siam). Sloane, London, 1727. Posthumous translation; or reprint by
McLehose, Glasgow, 1906. P. B. Kahn. Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Linear and
Nonlinear Systems. Wiley, New York, 1990. K. Kaneko. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering and control in
network of chaotic elements. Physica D, 41:137-172, 1990. K. Kaneko. Globally coupled circle maps. Physica D, 54(1):5-19, 1991. K. Kaneko, Editor. Theory and Applications of Coupled Map Lattices. Wiley,
Chichester, 1993.
K. Kaneko. Dominance of Milnor attractors and noise-induced selection in a multiattractor system. Phys. Rev. Lett., 78(14):2736-2739, 1997.
K. Kaneko. On the strength of attractors in a high-dimensional system: Milnor attractor network, robust global attraction, and noise-induced selection. Physica D, 124:322-344, 1998.
Kantz and T. Schreiber. Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
T. Kapitaniak, Y. Maistrenko, A. Stefanski, and J. Brindley. Bifurcations from locally to globally riddled basins. Phys. Rev. E, 57(6):R6253-R6256, 1998.
T. Kapitaniak and Yu. L. Maistrenko. Chaos synchronization and riddled basins in two coupled one-dimensional maps. Chaos Solit. Fract., 9(1-2): 271-282, 1998.
T. Kapitaniak, J. Wojewoda, and J. Brindley. Synchronization and desynchronization in quasi-hyperbolic chaotic systems. Phys. Lett. A, 210: 283-289, 1996.
D. Kaplan and L. Glass. Understanding Nonlinear Dynamics. Springer, New York, 1995.
J. L. Kaplan, J. Mallet-Paret, and J. A. Yorke. The Lyapunov dimension of a nowhere differentiable attracting torus. Ergod. Theor. Dynam. Syst., 4: 261-281, 1984.
J. L. Kaplan and J. A. Yorke. Chaotic behavior of multidimensional difference equations. In H. O. Walter and H.-O. Peitgen, Editors, Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, volume 730 of Lecture Notes in Mathematics, pages 204-227. Springer, Berlin, 1979.
R. Kapral and K. Showalter, Editors. Chemical Waves and Patterns. Kluwer, Dordrecht, 1995.
Keller. A note on strange nonchaotic attractors. Fund. Math., 151:139-148,
1996.
T. Kenner, H. Pessenhofer, and G. Schwaberger. Method for the analysis of the entrainment between heart rate and ventilation rate. Pfliigers Arch., 363:263-265, 1976.
P. Khoury, M. A. Lieberman, and A. J. Lichtenberg. Degree of synchronization
of noisy maps on the circle. Phys. Rev. E, 54(4):3377-3388, 1996. P. Khoury, M. A. Lieberman, and A. J. Lichtenberg. Experimental
measurement of the degree of chaotic synchronization using a distribution
exponent, Phys. Rev. E, 57(5):5448-5466, 1998. C.-M. Kim. Mechanism of chaos synchronization and on-off intermittency.
Phys. Rev. E, 56(3):3697-3700, 1997. V. Kirk and E. Stone. Effect of a refractory period on the entrainment of
pulse-coupled integrate-and-fire oscillators. Phys. Lett. A, 232:70-76,1997. L. Kocarev and U. Parlitz. Generalized synchronization, predictability, and
equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems. Phys. Rev.
Lett., 76(11):1816-1819, 1996. L. Kocarev, Z. Tasev, and U. Parlitz. Synchronizing spatiotemporal chaos of
partial differential equations. Phys. Rev. Lett., 79(1):51-54, 1997.
P. Koepchen. Physiology of rhythms and control systems: An integrative approach. In H. Haken and H. P. Koepchen, Editors, Rhythms in Physiological Systems, volume 55 of Springer Series in Synergetics, pages 3-20, Springer, Berlin, 1991.
R. Konnur. Equivalence of synchronization and control of chaotic systems.
Phys. Rev. Lett., 77(14):2937-2940, 1996. N. Kopell and G. B. Ermentrout, Symmetry and phase locking in chains of
weakly coupled oscillators. Comm. Pure Appl. Math., 39:623-660, 1986. N. Koshiya and J. C. Smith. Neuronal pacemaker for breathing visualized in
vitro. Nature, 400:360-363, 1999. Y. Kuramoto. Self-entrainment of a population of coupled nonlinear oscillators.
In H. Araki, Editor, International Symposium on Mathematical Problems
in Theoretical Physics, volume 39 of Springer Lecture Notes in Physics,
page 420, Springer, New York, 1975. Y. Kuramoto. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer, Berlin,
1984.
Y. Kuramoto, Т. Aoyagi, I. Nishikawa, Т. Chawanya, and К. Okuda. Neural
network model carrying phase information with application to collective
dynamics. Prog. Theor. Phys., 87(5):1119-1126, 1992. Y. Kuramoto and T. Tsuzuki. Persistent propagation of concentration waves
in dissipative media far from thermal equilibrium. Prog. Theor. Phys., 55:
356, 1976.
K. Kurokawa. Injection locking of microwave solid-state oscillators. Proc.
IEEE, 61(10):1386-1410, 1973. C. Kurrer. Synchronization and desynchronization of weakly coupled
oscillators. Phys. Rev. E, 56(4):3799-3802, 1997. J. Kurths, Editor. A focus issue on phase synchronization in chaotic systems.
Int. J. Bifurc. Chaos, 10:2289-2667,2000. J. Kurths and A. S. Pikovsky. Symmetry breaking in distributed systems and
modulational spatio-temporal intermittency. Chaos Solit. Fract., 5(10):
1893-1899,1995.
S. Kuznetsov, A. Pikovsky, and U. Feudel. Birth of a strange nonchaotic attractor: A renormalization group analysis. Phys. Rev. E, 51(3):R1629-R1632, 1995.
Y.-Ch. Lai. Symmetry-breaking bifurcation with on-off intermittency in
chaotic dynamical systems. Phys. Rev. E, 53(5):4267-4270, 1996a. Y.-Ch. Lai. Transition from strange nonchaotic to strange chaotic attractors.
Phys. Rev. E, 53(1):57-65, 1996b. Y.-Ch. Lai. Scaling laws for noise-induced temporal riddling in chaotic systems.
Phys. Rev. E, 56(4):3897-3908, 1997. Y.-Ch. Lai and C. Grebogi. Noise-induced riddling in chaotic systems. Phys.
Rev. Lett, 77(25):5047-5050, 1996. Y.-Ch. Lai, C. Grebogi, J. A. Yorke, and S. C. Venkataramani. Riddling
bifurcation in chaotic dynamical systems. Phys. Rev. Lett., 77(1):55-58,
1996.
В. C. Lampkin, T. Nagao, and A. M. Mauer. Synchronization of the mitotic cycle in acute leukaemia. Nature, 222:1274-1275, 1969.
P. S. Landa and M. G. Rosenblum. Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self-oscillating systems. Appl. Mech. Rev., 46(7): 414-426, 1993.
K.J. Lee, Y. Kwak, and Т.К. Lim. Phase jumps near a phase synchronization
transition in systems of two coupled chaotic oscillators. Phys. Rev. Lett.,
81(2):321-324, 1998. G V. Levina and A. A. Nepomnyaschiy. Analysis of an amplitude equation
for autovibrational flow regimes at resonance external forces. A. Angew.
Math. Mech., 66(6):241-246, 1986. A. J. Lichtenberg and M. A. Lieberman. Regular and Chaotic Dynamics.
Springer, New York, 1992. К. K. Likharev. Dynamics of Josephson Junctions and Circuits. Gordon and
Breach, Philadelphia, 1991.
A. L. Lin, М. Bertram, К. Martinez, Н. L. Swinney, A. Ardelea, and G. F.
Carey. Resonant phase patterns in a reaction-diffusion system. Phys. Rev.
Lett, 84(18):4240-4243, 2000. W. C. Lindsey and С. M. Chie, Editors. Phase-Locked Loops. IEEE Press,
New York, 1985.
M. Lipp and N. S. Longridge. Computerized dynamic posturography: Its
place in the evaluation of patients with dizziness and imbalance. J.
Otolaryngology, 23(3):177-183, 1994. J. N. Little and L. Shure. Signal Processing Toolbox for Use with MATLAB.
User's Guide. Mathworks, Natick, MA, 1992. Z. Liu and S. Chen. Symbolic analysis of generalized synchronization of chaos.
Phys. Rev. E, 56(6):7297-7300, 1997. Z. H. Liu, S. G. Chen, and В. B. Hu. Coupled synchronization of spatiotemporal
chaos. Phys. Rev. E, 59(3):2817-2821, 1999. L. Longa, S. P. Dias, and E. M. F. Curado. Lyapunov exponents and
coalescence of chaotic trajectories. Phys. Rev. E, 56(1):259-263, 1997. A. Longtin, A. Bulsara, D. Pierson, and F. Moss. Bistability and the dynamics
of periodically forced sensory neurons. Biol. Cybernetics, 70:569-578,1994. A. Longtin and D. R. Chialvo. Stochastic and deterministic resonances for
excitable systems. Phys, Rev. Lett, 81(18):4012-4015, 1998. R. Lopez-Ruiz and Y. Pomeau. Transition between two oscillation modes.
Phys. Rev. E, 55(4):R3820-R3823, 1997. E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 20:130-141,1963. E. N. Lorenz. The Essence of Chaos. University of Washington Press, Seattle,
1993.
M. N. Lorenzo, I. P. Marino, V. Perez-Munuzuri, M. A. Matias, and V. Perez-
Villar. Synchronization waves in arrays of driven chaotic systems. Phys.
Rev. E, 54(4):3094-3097, 1996. C. Ludwig. Beitrage zur Kenntnis des Einflusses der Respirationsbewegung auf
den Blutlauf im Aortensystem. Arch. Anat. Physiol., 13:242-302, 1847. W. A. MacKay. Synchronized neuronal oscillations and their role in motor
processes. Trends Gogn. Sci., 1:176-183, 1997. R. Mainieri and J. Rehacek. Projective synchronization in three-dimensional
chaotic systems. Phys. Rev. Lett, 82(15):3042-3045, 1999. Y. Maistrenko and T. Kapitaniak. Different types of chaos synchronization in
two coupled piecewise linear maps. Phys. Rev. E, 54(4):3285-3292, 1996. Y. Maistrenko, T. Kapitaniak, and P. Szuminski. Locally and globally riddled
basins in two coupled piecewise-linear maps. Phys. Rev. E, 56(6):6393-6399,
1997.
Y. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, O. Popovych, and E. Mosekilde.
Desynchronization of chaos in coupled logistic maps. Phys. Rev. E, 60
(3):2817-2830, 1999a. Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, O. Popovych, and E. Mosekilde.
Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic
maps. Phys. Rev. E, 57(3):2713-2724, 1998. Yu. L. Maistrenko, 0. Popovych, and M. Hasler. On strong and weak chaotic
partial synchronization. Int. J. Bifurc. Chaos, 10(1):179-204, 2000. S. C. Manrubia and A. S. Mikhailov. Mutual synchronization and clustering
in randomly coupled chaotic dynamical networks. Phys. Rev. E, 60(2):
1579-1589, 1999.
M. Manscher, M. Nordham, E. Mosekilde, and Yu. L. Maistrenko. Riddled basins of attraction for synchronized type-I intermittency. Phys. Lett. A, 238:358-364, 1998.
A. Maritan and J. R. Banavar. Chaos, noise, and synchronization. Phys. Rev.
Lett, 72:1451-1454, 1994. S. Martin and W. Martienssen. Circle maps and mode locking in the driven
electrical conductivity of barium sodium niobate crystals. Phys. Rev. Lett.,
56(15):1522-1525, 1986. G. Matsumoto, K. Aihara, Y. Hanyu, N. Takahashi, S. Yoshizawa, and
J. Nagumo. Chaos and phase locking in normal squid axons. Phys. Lett.
A, 123:162-166, 1987. K. Matsumoto and I. Tsuda. Noise-induced order. J. Stat. Phys., 31(1):87-106,
1983.
T. Matsumoto and M. Nishi. Subsystem decreasing for exponential
synchronization of chaotic systems. Phys. Rev. E, 59(2):1711-1718, 1999. P. C. Matthews, R. E. Mirollo, and S. H. Strogatz. Dynamics of a large system
of coupled nonlinear oscillators. Physica D, 52:293-331, 1991. P. C. Matthews and S. H. Strogatz. Phase diagram for the collective behavior
of limit-cycle oscillators. Phys. Rev. Lett., 65(14):1701-1704, 1990. M. K. McClintock. Menstrual synchrony and suppression. Nature, 229:244-245,
1971.
R. V. Mendes. Clustering and synchronization with positive Lyapunov
exponents. Phys. Lett A, 257:132-138, 1999. R. Mettin, U. Parlitz, and W. Lauterborn. Bifurcation structure of the driven
van der Pol oscillator. Int. J. Bifurc. Chaos, 3(6):1529-1555, 1993. A. S. Mikhailov. Foundations of Synergetics 1. Distributed Active Systems.
Springer, Berlin, 1994. M. Milan, S. Campuzano, and A. Garcia-Bellido. Cell cycling and patterned
cell proliferation in the Drosophila wing during metamorphosis. Proc. Natl.
Acad. Sci. USA, 93(21):11687-11692, 1996.
J. Milnor. On the concept of attractor. Commun. Math. Phys., 99:177-195, 1985.
A. A. Minai and T. Anand. Chaos-induced synchronization in discrete-time oscillators driven by a random input. Phys. Rev. E, 57(2):1559-1562,1998.
A. A. Minai and T. Anand. Synchronization of chaotic maps through a noisy-coupling channel with application to digital communication. Phys. Rev. E, 59(1):312-320, 1999a.
A. A. Minai and Т. Anand. Synchronizing multiple chaotic maps with a
randomized scalar coupling. Physica D, 125(3-4):241-259, 1999b. N. Minorsky. Nonlinear Oscillations. Van Nostrand, Princeton, NJ, 1962. R. Mirollo and S. Strogatz. Amplitude death in an array of limit-cycle
oscillators. J. Stat. Phys., 60:245-262, 1990a. R. Mirollo and S. Strogatz. Synchronization of pulse-coupled biological
oscillators. SI AM J. Appl. Math., 50:1645-1662, 1990b. F. Mitschke. Acausal filters for chaotic signals. Phys. Rev. A, 41:1169-1171,
1990.
F. Mitschke, M. Moller, and H. W. Lange. Measuring filtered chaotic signals.
Phys. Rev. A, 37:4518-4521, 1988. S. Miyazaki and H. Hata. Universal scaling law of the power spectrum in the
on-off intermittency. Phys. Rev. E, 58(6):7172-7175, 1998. R. Y. Moore. A clock for the ages. Science, 284:2102-2103, 1999. L. G. Morelli and D. H. Zanette. Synchronization of stochastically coupled
cellular automata. Phys. Rev. E, 58(1):R8-R11, 1998. O. Morgiil. Necessary condition for observer-based chaos synchronization.
Phys. Rev. Lett, 82(1):77-80, 1999. O. Morgiil and M. Feki. A chaotic masking scheme by using synchronized
chaotic systems. Phys. Lett. A, 251(3):169-176, 1999. F. Mormann, K. Lehnertz, P. David, and С. E. Elger. Mean phase coherence
as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of
epilepsy patients. Physica D, 144(3-4):358-369, 2000. F. Moss, A. Bulsara, and M. Shlesinger, Editors. The proceedings of the NATO
advanced research workshop: Stochastic resonance in physics and biology.
J. Stat. Phys, 70:1-512, 1993. F. Moss, D. Pierson, and D. O'Gorman. Stochastic resonance: Tutorial and
update. Int. J. Bifurc. Chaos, 4(6):1383-1397, 1994. N. Mousseau. Synchronization by disorder in coupled systems. Phys. Rev.
Lett, 77:968-971, 1996. R. Mrowka, A. Patzak, and M. G. Rosenblum. Quantitative analysis
of cardiorespiratory synchronization in infants. Int. J. Bifurc. Chaos,
10(11):2479-2518, 2000. Y. Nagai and Y.-Ch. Lai. Characterization of blowout bifurcation by unstable
periodic orbits. Phys. Rev. E, 55(2):1251-1254, 1997a. Y. Nagai and Y.-Ch. Lai. Periodic-orbit theory of the blowout bifurcation.
Phys. Rev. E, 56(4):4031-4041, 1997b. N. Nakagawa and Y. Kuramoto. Collective chaos in a population of globally-coupled oscillators. Prog. Theor. Phys., 89(2):313-323, 1993. N. Nakagawa and Y. Kuramoto. From collective oscillations to collective chaos
in a globally- coupled oscillator system. Physica D, 75:74-80, 1994. N. Nakagawa and Y. Kuramoto. Anomalous Lyapunov spectrum in globally-coupled oscillators. Physica D, 80:307-316, 1995.
Н. Nakao. Asymptotic power law of moments in a random multiplicative
process with weak additive noise. Phys. Rev. E, 58(2):1591-1600, 1998. S. Nakata, T. Miyata, N. Ojima, and K. Yoshikawa. Self-synchronization in
coupled salt-water oscillators. Physica D, 115:313-320, 1998. Z. Neda, E. Ravasz, Y. Brechet, T. Vicsek, and A.-L. Barabasi. Tumultuous
applause can transform itself into waves of synchronized clapping. Nature,
403(6772):849-850, 2000. A. Neiman, X. Pei, D. F. Russell, W. Wojtenek, L. Wilkens, F. Moss, H.
Braun, M. T. Huber, and K. Voigt. Synchronization of the noisy electrosensitive cells in the paddlefish. Phys. Rev. Lett., 82(3):660-663, 1999a.
A. Neiman, L. Schimansky-Geier, A. Cornell-Bell, and F. Moss. Noise-enhanced phase synchronization in excitable media. Phys. Rev. Lett., 83(23):4896-4899, 1999b.
A. Neiman, L. Schimansky-Geier, F. Moss, B. Shulgin, and J. J. Collins. Synchronization of noisy systems by stochastic signals. Phys. Rev. E, 60 (1):284-292, 1999c.
A. Neiman, A. Silchenko, V. S. Anishchenko, and L. Schimansky-Geier.
Stochastic resonance: Noise-enhanced phase coherence. Phys. Rev. E, 58
(6):7118-7125, 1998. A. B. Neiman, D. F. Russell, X. Pei, W. Wojtenek, J. Twitty, E. Simonotto,
A. Wettring, E. Wagner, L. A. Wilkens, and F. Moss. Stochastic synchronization of electroreceptors in the paddlefish. Int. J. Bifurc. Chaos, 10(11):2499-2518, 2000.
A. C. Newell. Envelope equations. In Lectures in Applied Mathematics, volume 15, page 157, American Mathematical Society, Providence, RI, 1974.
S. Nichols and K. Wiesenfeld. Ubiquitous neutral stability of splay-phase states.
Phys. Rev. A, 45:8430-8435, 1992. K. Niizeki, K. Kawahara, and Y. Miyamoto. Interaction among
cardiac, respiratory, and locomotor rhythms during cardiolocomotor
synchronization. J. Appl. Physiol., 75(4):1815-1821, 1993. T. Nishikawa and K. Kaneko. Fractalization of torus revisited as a strange
nonchaotic attrator. Phys. Rev. E, 54(6):6114-6124, 1996.
E. P. Odum. Fundamentals of Ecology. Saunders, Philadelphia, 1953.
K. Okuda. Variety and generality of clustering in globally coupled oscillators. Physical), 63:424-436, 1993.
F. Ollendorf and W. Peters. Schwingungstabilitat parallelarbeitender Synchromaschinen. In Wissenschaftliche Veroffentlichungen aus dem Siemens Konzem, volume 6, pages 7-26. Springer, Berlin, 1925-1926.
G Osipov, A. Pikovsky, M. Rosenblum, and J. Kurths. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators. Phys. Rev. E, 55(3): 2353-2361, 1997.
S. Ostlund, D. Rand, J. Sethna, and E. Siggia. Universal properties of the
transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems. Physica D, 8:303-342, 1983.
E. Ott. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
G. Paladin and A. Vulpiani. Anomalous scaling laws in multifractal objects.
Phys. Rep., 156:147-225, 1987. M. Palus. Detecting phase synchronization in noisy systems. Phys. Lett. A,
227:301-308, 1997.
P. Panter. Modulation, Noise, and Spectral Analysis. McGraw-Hill, New York, 1965.
P. Paoli, A. Politi, and R. Badii. Long-range order in the scaling behaviour of
hyperbolic dynamical systems. Physica D, 36(6):263-286, 1989a. P. Paoli, A. Politi, G. Broggi, M. Ravani, and R. Badii. Phase transitions in
filtered chaotic signals. Phys. Rev. Lett, 62(21):2429-2432, 1989b. N. Parekh, V. R. Kumar, and B. D. Kulkarni. Analysis and characterization of
complex spatio-temporal patterns in nonlinear reaction-diffusion systems.
Physica A, 224(1-2):369-381, 1996.
E. -H. Park, M. A. Zaks, and J. Kurths. Phase synchronization in the forced
Lorenz system. Phys. Rev. E, 60(6):6627-6638, 1999. K. Park, S. W. Rhee, and M. Y. Choi. Glass synchronization in the network of
oscillators with random phase shifts. Phys. Rev. E, 57(5):5030-5035, 1998. S. H. Park, S. Kim, H.-B. Pyo, and S. Lee. Effects of time-delayed interactions
on dynamic patterns in a coupled oscillator system. Phys. Rev. E, 60(4):
4962-4965, 1999a.
S. H. Park, S. Kim, H.-B. Pyo, and S. Lee. Multistability analysis of phase
locking patterns in an excitatory coupled neural system. Phys. Rev. E, 60
(2):2177-2181, 1999b. U. Parlitz, L. Junge, and L. Kocarev. Subharmonic entrainment of unstable
periodic orbits and generalized synchronization. Phys. Rev. Lett., 79(17):
3158-3161, 1997.
U. Parlitz, L. Junge, W. Lauterborn, and L. Kocarev. Experimental observation
of phase synchronization. Phys. Rev. E, 54(2):2115-2118, 1996. U. Parlitz and L. Kocarev. Synchronization of chaotic systems. In
H. Schuster, Editor, Handbook of Chaos Control, pages 271-303. Wiley-
VCH, Weinheim, 1999. V. Parlitz and W. Lauterborn. Period-doubling cascades and devil's staircases
of the driven van der Pol oscillator. Phys. Rev. A, 36(3):1428-1434, 1987.
F. Pasemann. Synchronized chaos and other coherent states for two coupled
neurons. Physica D, 128(2-4):236-249, 1999. I. Pastor-Diaz and A. Lopez-Fraguas. Dynamics of two coupled van der Pol
oscillators. Phys. Rev. E, 52(2):1480-1489, 1995. I. Pastor-Diaz, V. Perez-Garcia, F. Encinas-Sanz, and J. M. Guerra. Ordered
and chaotic behavior of two coupled van der Pol oscillators. Phys. Rev. E,
48(1):171-182, 1993.
Т. Pavlidis. Populations of interacting oscillators and circadian rhythms. J.
Theor. Biol, 22:418-436, 1969. L. Pecora, Editor. A focus issue on synchronization in chaotic systems. Chaos,
7(4):509-687, 1997.
L. M. Pecora and T. L. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Phys.
Rev. Lett, 64:821-824, 1990. L. M. Pecora and T. L. Carroll. Driving systems with chaotic signals. Phys.
Rev. A, 44:2374-2383, 1991. L. M. Pecora and T. L. Carroll. Discontinuous and nondifferentiable functions
and dimension increase induced by filtering chaotic data. Chaos, 6(3):
432-439, 1996.
L. M. Pecora and T. L. Carroll. Master stability functions for synchronized coupled systems. Phys. Rev. Lett, 80(10):2109-2112, 1998.
L. M. Pecora, T. L. Carroll, and J. F. Heagy. Statistics for continuity and differentiability: An application to attractor reconstruction from time series. In C. D. Cutler and D. T. Kaplan, Editors, Nonlinear Dynamics and Time Series, volume 11 of Fields Inst. Communications, pages 49-62. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997a.
L. M. Pecora, T. L. Carroll, G. Johnson, and D. Mar. Volume-preserving and volume-expanding synchronized chaotic systems. Phys. Rev. E, 56(5): 5090-5100, 1997b.
L. M. Pecora, T. L. Carroll, G. A. Johnson, D. J. Mar, and J. F.
Heagy. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and
applications. Chaos, 7(4):520-543, 1997c. J. Peinke, R. Richter, and J. Parisi. Spatial coherence of nonlinear dynamics
in a semiconductor experiment. Phys. Rev. B, 47(1):115-124, 1993. H.-O. Peitgen, H. Jiirgens, and D. Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers
of Science. Springer, New York, 1992. J. H. Peng, E. J. Ding, M. Ding, and W. Yang. Synchronizing hyperchaos with
a scalar transmitted signal. Phys. Rev. Lett., 76(6):904-907, 1996. H. Pessenhofer and T. Kenner. Zur Methodik der kontinuierlichen Bestimmung
der Phasenbeziehung zwischen Herzschlag und Atmung. Pfliigers Arch.,
355:77-83, 1975.
D. W. Peterman, M. Ye, and P. E. Wigen. High frequency synchronization of
chaos. Phys. Rev. Lett, 74:1740-1742, 1995. D. Petracchi, M. Barbi, S. Chillemi, E. Pantazelou, D. Pierson, C. Dames,
L. Wilkens, and F. Moss. A test for a biological signal encoded by noise.
Int. J. Bifurc. Chaos, 5(1):89-100, 1995. V. Petrov, Q. Ouyang, and H. L. Swinney. Resonant pattern formation in a
chemical system. Nature, 388:655-657, 1997. A. Pikovsky and U. Feudel. Correlations and spectra of strange nonchaotic
attractors. J. Phys. A: Math., Gen., 27(15):5209-5219, 1994. A. Pikovsky, G. Osipov, M. Rosenblum, M. Zaks, and J. Kurths. Attractor-
repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase
synchronization. Phys. Rev. Lett., 79:47-50, 1997a. A. Pikovsky, M. Rosenblum, and J. Kurths. Synchronization in a population of
globally coupled chaotic oscillators. Europhys. Lett., 34(3):165-170, 1996. A. Pikovsky, M. Rosenblum, G. Osipov, and J. Kurths. Phase synchronization
of chaotic oscillators by external driving. Physica D, 104:219-238, 1997b. A. Pikovsky and S. Ruffo. Finite-size effects in a polpulation of interacting
oscillators. Phys. Rev. E, 59(2):1633-1636, 1999. A. Pikovsky, M. Zaks, M. Rosenblum, G. Osipov, and J. Kurths. Phase
synchronization of chaotic oscillations in terms of periodic orbits. Chaos, 7
(4):680-687, 1997c.
A. S. Pikovsky. On the interaction of strange attractors. Z. Physik B, 55(2): 149-154, 1984a.
A. S. Pikovsky. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by-external noise. In R. Z. Sagdeev, Editor, Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, pages 1601-1604, Harwood, Singapore, 1984b.
A. S. Pikovsky. Statistics of trajectory- separation in noisy dynamical systems. Phys. Lett. A, 165:33, 1992.
A. S. Pikovsky. Comment on "Chaos, Noise, and Synchronization". Phys. Rev. Lett, 73(21):2931, 1994.
A. S. Pikovsky- and U. Feudel. Characterizing strange nonchaotic attractors. Chaos, 5(1):253-260, 1995.
A. S. Pikovsky- and P. Grassberger. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors. J. Phys. A: Math., Gen., 24(19):4587-4597, 1991.
A. S. Pikovsky- and J. Kurths. Roughening interfaces in the dynamics of perturbations of spatiotemporal chaos. Phys. Rev. E, 49(1):898-901, 1994.
A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, and J. Kurths. Phase synchronization in regular and chaotic systems. Int. J. Bifurc. Chaos, 10(1):2291-2306, 2000.
N. Piatt, S. M. Hammel, and J. F. Heagy. Effects of additive noise on on-off intermittency. Phys. Rev. Lett, 72:3498-3501, 1994.
N. Piatt, E. A. Spiegel, and C. Tresser. On-off intermittency: A mechanism for bursting. Phys. Rev. Lett, 70:279-282, 1989.
A. A. Polezhaev and E. I. Volkov. On the possible mechanism of cell cycle synchronization. Biol. Cybern., 41:81-89, 1981.
Politi, R. Livi, G.-L. Oppo, and R. Kapral. Unpredictable behavior of stable
systems. Europhys. Lett., 22:571, 1993.
Pompe. Measuring statistical dependencies in a time series. J. Stat. Phys.,
73:587-610, 1993.
D. Postnov, S. K. Han, and H. Kook. Synchronization of diffusively- coupled oscillators near the homoclinic bifurcation. Phys. Rev. E, 60(3):2799-2807, 1999a.
D. E. Postnov, Т. E. Vadivasova, О. V. Sosnovtseva, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, and E. Mosekilde. Role of multistability in the transition to chaotic phase synchronization. Chaos, 9(1):227-232, 1999b.
A. Prasad, V. Mehra, and R. Ramaswamy. Strange nonchaotic attractors in
the quasiperiodically forced logistic map. Phys. Rev. E, 57(2):1576-1584, 1998.
W. H. Press, S. T. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. Numerical
Recipes in C: the Art of Scientific Computing. Cambridge University Press,
Cambridge, second edition, 1992. K. Pyragas. Weak and strong synchronization of chaos. Phys. Rev. E, 54(5):
R4508-R4511, 1996. K. Pyragas. Conditional Lyapunov exponents from time series. Phys. Rev. E,
56(5):5183-5188, 1997. W. J. Rappel and A. Karma. Noise-induced coherence in neural networks.
Phys. Rev. Lett, 77(15):3256-3259, 1996.
V. R. Reddy, A. Sen, and G. L. Johnston. Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation. Physica D, 129(1-2):15-34,1999.
C. Reichhardt and F. Nori. Phase locking, devil's staircase, Farey trees, and
Arnold tongues in driven vortex lattices with periodic pinning. Phys. Rev.
Lett, 82(2):414-417, 1999. P. Reimann, C. Van den Broeck, and P. Kawai. Nonequilibrium noise in
coupled phase oscillators. Phys. Rev. E, 60(6):6402-6406, 1999. L. Ren and B. Ermentrout. Phase locking in chains of multiple-coupled
oscillators. Physical), 143(1-4):56-73,2000. A. Renyi. Probability Theory. Akademiai Kiado, Budapest, 1970. P. Richard, В. M. Bakker, B. Teusink, K. Van Dam, and H. V.
Westerhoff. Acetaldehyde mediates the synchronization of sustained
glycolytic oscillations in population of yeast cells. Eur. J. Biochem., 235:
238-241, 1996.
H. Z. Risken. The Fokker Planck Equation. Springer, Berlin, 1989.
Rodriguez, N. George, J.-P. Lachaux, J. Martinerie, B. Renault, and F. J.
Varela. Perception's shadow: Long distance synchronization of human brain activity. Nature, 397(4):430-433, 1999. О. E. Rossler. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. A, 57:397-398, 1976.
J. L. Rogers and L. T. Wille. Phase transitions in nonlinear oscillator chains. Phys. Rev. E, 54(3):R2193-R2196, 1996.
J. Romeiras, A. Bondeson, E. Edward Ott, Th. M. Antonsen Jr., and C. Grebogi. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors. Physica D, 26:277-294, 1987.
E. Rosa Jr., E. Ott, and M. H. Hess. Transition to phase synchronization of
chaos. Phys. Rev. Lett, 80(8):1642-1645, 1998. E. Rosa Jr., W. B. Pardo, С. M. Ticos, J. A. Walkenstein, and M. Monti.
Phase synchronization of chaos in a plasma discharge tube. Int. J. Bifurc.
Chaos, 10(11):2551-2564,2000. J. E. Rose, J. F. Brugge, D.J. Anderson, and J. E. Hind. Phase-locked response
to low-frequency tones in single auditory nerve fibers of the squirrel monkey.
J. Neurophysiol, 30:769-793, 1967.
М. Rosenblum, A. Pikovsky, and J. Kurths. Phase synchronization of chaotic
oscillators. Phys. Rev. Lett., 76:1804, 1996. M. Rosenblum, A. Pikovsky, and J. Kurths. Effect of phase synchronization
in driven chaotic oscillators. IEEE Trans. CAS-I, 44(10):874-881, 1997a. M. Rosenblum, A. Pikovsky, and J. Kurths. From phase to lag synchronization
in coupled chaotic oscillators. Phys. Rev. Lett., 78:4193-4196, 1997b. M. G. Rosenblum. A characteristic frequency of chaotic dynamical system.
Chaos, Solit. Fract, 3(6):617-626, 1993. M. G. Rosenblum, G. I. Firsov, R. A. Kuuz, and B. Pompe. Human postural
control: Force plate experiments and modelling. In H. Kantz, J. Kurths,
and G. Mayer-Kress. Editors, Nonlinear Analysis of Physiological Data,
pages 283-306. Springer, Berlin, 1998. M. G. Rosenblum and J. Kurths. Analysing synchronization phenomena from
bivariate data by means of the Hilbert transform. In H. Kantz, J. Kurths,
and G. Mayer-Kress. Editors, Nonlinear Analysis of Physiological Data,
pages 91-99. Springer, Berlin, 1998. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, C. Schafer, and P. A. Tass. Phase
synchronization: From theory to data analysis. In F. Moss and S. Gielen,
Editors, Handbook of Biological Physics. Vol. 4< Neuro-informatics, pages
279-321. Elsevier, Amsterdam, 2001. M. G. Rosenblum, P. A. Tass, and J. Kurths. Estimation of synchronization
from noisy data with application to human brain activity. In J. A. Freund
and T. Poschel, Editors, Stochastic Processes in Physics, Chemistry, and
Biology, Lecture Notes in Physics, LNP 557, pages 202-211. Springer,
Berlin, 2000.
О. E. Rossler. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. A, 57(5):397, 1976.
R. Roy and K. S. Thornburg. Experimental synchronization of chaotic lasers.
Phys. Rev. Lett, 72:2009-2012, 1994. N. F. Rulkov. Images of synchronized chaos: Experiments with circuits. Chaos,
6(3):262-279, 1996.
N. F. Rulkov and M. M. Suschik. Experimental observation of synchronized
chaos with frequency ratio 1:2. Phys. Lett. A, 214:145-150, 1996. N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, and H. D. I. Abarbanel.
Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic
systems. Phys. Rev. E, 51(2):980-994, 1995. D. F. Russell, L. A. Wilkens, and F. Moss. Use of behavioral stochastic
resonance by paddle fish for feeding. Nature, 402:291-294, 1999. T. Saitoh and T. Nishino. Phase locking in a double junction of Josephson
weak links. Phys. Rev. B, 44(13):7070-7073, 1991. H. Sakaguchi and Y. Kuramoto. A solvable active rotator model showing phase
transition via mutual entrainment. Prog. Theor. Phys., 76(3):576-581,
1986.
H. Sakaguchi, S. Shinomoto, and Y. Kuramoto. Mutual entrainment in
oscillator lattices with поп variational type interaction. Prog. Theor. Phys.,
79(5):1069-1079, 1988a. H. Sakaguchi, S. Shinomoto, and Y. Kuramoto. Phase transitions and their
bifurcation analysis in a large population of active rotators with mean-field
coupling. Prog. Theor. Phys., 79(3):600-607, 1988b. E. Sanchez, M. A. Matias, and V. Perez-Munuzuri. Analysis of synchronization
of chaotic systems by noise: An experimental study. Phys. Rev. E, 56(4):
4068-4071, 1997.
G. Santoboni, A. Varone, and S. R. Bishop. Spatial distribution of chaotic transients in unidirectional synchronisation. Phys. Lett. A, 257(3-4):175-181, 1999.
P. Sassone-Corsi. Molecular clocks: Mastering time by gene regulation. Nature, 392:871-874, 1999.
M. Sauer and F. Kaiser. Synchronized spatiotemporal chaos and spatiotemporal оп-off intermittency in a nonlinear ring cavity. Phys. Rev. E, 54(3):2468-2473, 1996.
J. P. Saul. Cardiorespiratory variability: Fractals, white noise, nonlinear oscillators, and linear modeling. What's to be learned? In H. Haken and H. P. Koepchen, Editors, Rhythms in Physiological Systems, volume 55 of Springer Series in Synergetics, pages 115-126. Springer, Berlin, 1991.
C. Schafer, M. G. Rosenblum, H.-H. Abel, and J. Kurths. Synchronization in the human cardiorespiratory system. Phys. Rev. E, 60:857-870, 1999.
C. Schafer, M. G. Rosenblum, J. Kurths, and H.-H. Abel. Heartbeat synchronized with ventilation. Nature, 392(6673):239-240, March 1998.
M. Schiek, F. R. Drepper, R. Engbert, H.-H. Abel, and K. Suder. Cardiorespiratory synchronization. In H. Kantz, J. Kurths, and G. Mayer-Kress, Editors, Nonlinear Analysis of Physiological Data, pages 191-209. Springer, Berlin, 1998.
S. J. Schiff, P. So, T. Chang, R. E. Burke, and T. Sauer. Detecting dynamical interdependence and generalized synchrony through mutual prediction in a neural ensemble. Phys. Rev. E, 54(6):6708-6724, 1996.
Schmidt and A. A. Chernikov. General form of coupling leading to synchronization of oscillating dynamical systems. Phys. Rev. E, 60(3): 2767-2770, 1999.
A. Schrader, M. Braune, and H. Engel. Dynamics of spiral waves in excitable media subjected to external periodic forcing. Phys. Rev. E, 52(1):98-108, 1995.
G. Schuster, Editor. Handbook of Chaos Control. Wiley-VCH, Weinheim,
1999.
H. G. Schuster, S. Martin, and W. Martienssen. A new method for determining the largest Lyapunov exponent in simple nonlinear systems. Phys. Rev. A, 33:3547, 1986.
D. M. Scolnick and T. D. Halazonetis. Chfr defines a mitotic stress checkpoint that delays entry into metaphase. Nature, 406:354-356, 2000.
Н. Seidel and Н.-Р. Herzel. Analyzing entrainment of heartbeat and respiration
with surrogates. IEEE Eng. Med. Biol, 17(6):54-57, 1998. S. Shapiro. Josephson current in superconducting tunneling: The effect of
microwaves and other observations. Phys. Rev. Lett., 11(2):80-82, 1963. S. Shinomoto and Y. Kuramoto. Cooperative phenomena in two-dimensional
active rotator systems. Prog. Theor. Phys., 75(6):1319-1327, 1986. В. I. Shraiman, A. Pumir, W. van Saarlos, P. C. Hohenberg, H. Chate, and
M. Holen. Spatiotemporal chaos in the one-dimensional Ginzburg-Landau
equation. Physica D, 57:241-248, 1992. J. W. Shuai and K. W. Wong. Noise and synchronization in chaotic neural
networks. Phys. Rev. E, 57(6):7002-7007, 1998. B. Shulgin, A. Neiman, and V. Anishchenko. Mean switching frequency locking
in stochastic bistable systems driven by a periodic force. Phys. Rev. Lett.,
75(23):4157-4160, 1995. A. E. Siegman. Lasers. University Science Books, Mill Valley, CA, 1986. A. Simon and A. Libchaber. Escape and synchronization of a Brownian particle.
Phys. Rev. Lett, 68:3375, 1992. J. Simonet, M. Warden, and E. Brun. Locking and Arnold tongues in an
infinite-dimensional system: The nuclear magnetic resonance laser with
delayed feedback. Phys. Rev. E, 50:3383-3391, 1994. W. Singer. Striving for coherence. Nature, 397(4):391-393, 1999. W. Singer and С. M. Gray. Visual feature integration and the temporal
correlation hypothesis. Annu. Rev. Neurosci., 18:555-586, 1995. G. Sivashinsky. Self-turbulence in the motion of a free particle. Found. Phys.,
8(9-10):735-744, 1978.
S. Smale. The Mathematics of Time. Springer, New York, 1980.
M. J. T. Smith and R. M. Mersereau. Introduction to Digital Signal Processing. A Computer Laboratory Textbook. Wiley, New York, 1992.
M. Smolensky. Chronobiology and chronotherapeutics: Applications to cardiovascular medicine. In P. C. Deedwania, Editor, Circadian Rhythms of Cardiovascular Disorders, pages 173-206. Futura, Armonk, NY, 1997.
Y. Soen, N. Cohen, D. Lipson, and E. Braun. Emergence of spontaneous rhythm disorders in self-assembled networks of heart cells. Phys. Rev. Lett., 82(17): 3556-3559, 1999.
О. V. Sosnovtseva, A. G. Balanov, T. E. Vadivasova, V. V. Astakhov, and
E. Mosekilde. Loss of lag synchronization in coupled chaotic systems. Phys.
Rev. E, 60(6):6560-6565, 1999. P. Stange, A. S. Mikhailov, and B. Hess. Mutual synchronization of molecular
turnover cycles in allosteric enzymes. J. Phys. Chem. B, 102(32):6273-6289,
1998.
P. Stange, A. S. Mikhailov, and B. Hess. Mutual synchronization of molecular turnover cycles in allosteric enzymes II. J. Phys. Chem. B, 103(29):6111-6120, 1999.
J. Stark. Invariant graphs for forced systems. Physica D, 109(1-2):163-179, 1997.
0. Steinbock, V. Zykov, and S. Miiller. Control of spiral-wave dynamics in active media by periodic modulation of excitability. Nature, 366:322-324, 1993.
P. N. Steinmetz, A. Roy, P. J. Fitzgerald, S. S. Hsiao, К. O. Johnson, and
E. Niebur. Attention modulates synchronized neuronal firing in primate
somatosensory cortex. Nature, 404(9):187-190, 2000. E. A. Stern, D. Jaeger, and C. J. Wilson. Membrane potential synchrony
of simultaneously recorded striatal spiny neurons in vivo. Nature, 394:
475-478, 1998.
E. F. Stone. Frequency entrainment of a phase coherent attractor. Phys. Lett.
A, 163:367-374, 1992. M. Stopfer, S. Bhagavan, В. H. Smith, and G. Laurent. Impaired odour
descrimination on desynchronization of odour-encoding neural assemblies.
Nature, 390(6):70-74, 1997. S. H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Addison-Wesley, Reading, MA, 1994. S. H. Strogatz. From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of
synchronization in populations of coupled oscillators. Physica D, 143(1-4):
1-20, 2000.
S. H. Strogatz, С. M. Marcus, R. M. Westervelt, and R. E. Mirollo. Collective dynamics of coupled oscillators with random pinning. Physica D, 36:23-50, 1989.
S. H. Strogatz and R. E. Mirollo. Stability of incoherence in a population of coupled oscillators. J. Stat. Phys., 63(3/4):613-635, 1991.
S. H. Strogatz and R. E. Mirollo. Splay states in globally coupled Josephson arrays: Analytical prediction of Floquet multipliers. Phys. Rev. E, 47(1): 220-227, 1993.
S. H. Strogatz, R. E. Mirollo, and P. C. Matthews. Coupled nonlinear oscillators
below the synchronization threshold: Relaxation by generalized Landau
damping. Phys. Rev. Lett, 68(18):2730-2733, 1992. S. H. Strogatz and I. Stewart. Coupled oscillators and biological
synchronization. Sci. Am., 12:68-75, 1993. J. Sturis, C. Knudsen, N. M. O'Meara, J. S. Thomsen, E. Mosekilde, E. Van
Cauter, and K. S. Polonsky. Phase-locking regions in a forced model of
slow insulin and glucose oscillations. Chaos, 5(1):193-199, 1995. J. Sturis, E. Van Cauter, J. Blackman, and K. S. Polonsky. Entrainment of
pulsatile insulin secretion by oscillatory glucose infusion. J. Clin. Invest.,
87:439-445, 1991.
К. H. Stutte and G. Hildebrandt. Untersuchungen iiber die Koordination von Herzschlag und Atmung. Pfliigers Arch., 289:R47, 1966.
T. Sugawara, M. Tachikawa, T. Tsukamoto, and T. Shimizu. Observation of synchronization in laser chaos. Phys. Rev. Lett., 72:3502-3505, 1994.
J. W. Swift, S. H. Strogatz, and K. Wiesenfeld. Averaging of globally coupled
oscillators. Physica D, 55:239-250, 1992. S. Taherion and Y.-C. Lai. Observability of lag synchronization of coupled
chaotic oscillators. Phys. Rev. E, 59(6):R6247-R6250, 1999. F. Takens. Detecting strange attractors in turbulence. In Dynamical Systems
and Turbulence, volume 898 of Springer Lecture Notes in Mathematics,
pages 366-381. Springer, New York, 1981. A. Tamasevicius and A. Cenys. Synchronizing hyperchaos with a single
variable. Phys. Rev. E, 55(1):297-299, 1997. T. Tamura, N. Inaba, and J. Miyamichi. Mechanism for taming chaos by weak
harmonic perturbations. Phys. Rev. Lett., 83(19):3824-3827, 1999. H. Tanaka, A. Lichtenberg, and S. Oishi. First order phase transition resulting
from finite inertia in coupled oscillator systems. Phys. Rev. Lett., 78(11):
2104-2107, 1997a.
H.-A. Tanaka, A. J. Lichtenberg, and Sh. Oishi. Self-synchronization of coupled
oscillators with hysteretic responses. Physica D, 100:279-300, 1997b. D. Y. Tang, R. Dykstra, M. W. Hamilton, and N. R. Heckenberg. Experimental
evidence of frequency entrainment between coupled chaotic oscillations.
Phys. Rev. E, 57(3):3649-3651, 1998a. D. Y. Tang, R. Dykstra, M. W. Hamilton, and N. R. Heckenberg. Observation
of generalized synchronization of chaos in a driven chaotic system. Phys.
Rev. E, 57(5):5247-5251, 1998b. D. Y. Tang, R. Dykstra, M. W. Hamilton, and N. R. Heckenberg. Stages of
chaotic synchronization. Chaos, 8(3):697-701, 1998c. P. Tass. Phase and frequency shifts of two nonlinearly coupled oscillators. Z.
PhysikB, 99:111-121, 1995. P. Tass. Phase and frequency shifts in a population of phase oscillators. Phys.
Rev. E, 56(2):2043-2060, 1997. P. Tass and H. Haken. Synchronization in networks of limit cycle oscillators.
Z. PhysikB, 100:303-320, 1996. P. Tass, J. Kurths, M. G. Rosenblum, J. Weule, A. S. Pikovsky, J. Volkmann,
A. Schnitzler, and H.-J. Freund. Complex phase synchronization in
neurophysiological data. In C. Uhl, Editor, Analysis of Neurophysiological
Brain Functioning, Springer Series in Synergetics, pages 252-273.
Springer, Berlin, 1999. P. Tass, M. G. Rosenblum, J. Weule, J. Kurths, A. S. Pikovsky, J. Volkmann,
A. Schnitzler, and H.-J. Freund. Detection of n : rn phase locking from
noisy data: Application to magnetoencephalography. Phys. Rev. Lett., 81
(15):3291-3294, 1998. P. A. Tass. Phase Resetting in Medicine and Biology. Stochastic Modelling
and Data Analysis. Springer, Berlin, 1999. J. R. Terry, K. S. Thornbug, D. J. DeShazer, G. D. VanWiggeren, S. Q. Zhu,
P. Ashwin, and R. Roy. Synchronization of chaos in an array of three
lasers. Phys. Rev. E, 59(4):4036-4043, 1999.
К. S. Thornburg, М. Moller, R. Roy, Т. W. Carr, R.-D. Li, and Т. Erneux. Chaos and coherence in coupled lasers. Phys. Rev. E, 55(4):3865-3869, 1997.
С. M. Ticos, E. Rosa Jr., W. B. Pardo, J. A. Walkenstein, and M. Monti. Experimental real-time phase synchronization of a paced chaotic plasma discharge. Phys. Rev. Lett, 85(14):2929-2932,2000.
E. Toledo, M. G. Rosenblum, J. Kurths, and S. Akselrod. Cardiorespiratory synchronization: Is it a real phenomenon? In A. Murray and S. Swiryn, Editors, Computers in Cardiology, pages 237-240. IEEE Computer Society-Press, Hannover, 1999.
E. Toledo, M. G. Rosenblum, C. Schafer, J. Kurths, and S. Akselrod. Quantification of cardiorespiratory- synchronization in normal and heart transplant subjects. In Proc. of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications, volume 1, pages 171-174. Crans-Montana, Switzerland, Sept. 14-17, 1998. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998.
A. Torcini, P. Grassberger, and A. Politi. Error propagation in extended
systems. J. Phys. A: Math. Gen., 27:4533, 1995. C. Tresser, P. Worfolk, and C. W. Wu. Master-slave synchronization from the
point of view of global dynamics. Chaos, 5(4):693-699, 1995. K. Y. Tsang, R. E. Mirollo, S. H. Strogatz, and K. Wiesenfeld. Dynamics of
globally- coupled oscillator array. Physica D, 48:102-112, 1991a. K. Y. Tsang, S. H. Strogatz, and K. Wiesenfeld. Reversibility- and noise
sensitivity- in globally- coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 66:1094-1097,
1991b.
M. Tsodyks, I. Mitkov, and H. Sompolinsky. Pattern of synchrony in inhomogeneous networks of oscillators with pulse interactions. Phys. Rev. Lett, 71(8):1280-1283, 1993.
T. Tsukamoto, M. Tachikawa, T. Hirano, T. Kuga, and T. Shimizu. Synchronization of a chaotic laser pulsation with its prerecorded history. Phys. Rev. E, 54(4):4476-4479, 1996.
T. Tsukamoto, M. Tachikawa, T. Tohei, T. Hirano, T. Kuga, and T. Shimizu. Synchronization of a laser system to a modulation signal artificially-constructed from its strange attractor. Phys. Rev. E, 56(6):6564-6568, 1997.
N. Tufillaro, T. R. Abbott, and J. Reilly. An Experimental Approach to
Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley, Reading, MA,1992. J. Urias, G. Salazar, and E. Ugalde. Synchronization of cellular automation
pairs. Chaos, 8(4):814-818, 1998. Т. E. Vadivasova, A. G. Balanov, О. V. Sosnovtseva, D. E. Postnov, and
E. Mosekilde. Synchronization in driven chaotic systems: Diagnostics and
bifurcations. Phys. Lett A, 253:66-74, 1999. T. P. Valkering, C. L. A. Hooijer, and M. F. Kroon. Dynamics of two
capacitively coupled Josephson junctions in the overdamped limit. Physica
D, 135(1-2):137-153, 2000. В. van der Pol. A theory of the amplitude of free and forced triode vibration.
Radio Rev., 1:701, 1920. B. van der Pol. On relaxation oscillation. Phil. Mag., 2:978-992, 1926. B. van der Pol. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance.
(Reception with reactive triode). Phil. Mag., 3:64-80, 1927. B. van der Pol and J. van der Mark. Frequency demultiplication. Nature, 120
(3019):363-364, 1927.
van der Pol and J. van der Mark. The heartbeat considered as a relaxation
oscillation, and an electrical model of the heart, Phil. Mag., 6:763-775, 1928.
J. L. van Hemmen and W. F. Wreszinski. Lyapunov function for the Kuramoto model of nonlinearly coupled oscillators. J. Stat. Phys., 72(1/2):145-166, 1993.
N. G. van Kampen. Stochastic Processes in Physics and Chemistry, 2nd edition. North Holland, Amsterdam, 1992.
van Vreeswijk. Partial synchronization in populations of pulse-coupled oscillators. Phys. Rev. E, 54(5):5522-5537, 1996.
V. K. Vanag, L. Yang, M. Dolnik, A. M. Zhabotinsky, and I. R. Epshtein.
Oscillatory cluster patterns in a homogeneous chemical system with global
feedback. Nature, 406:389-391, 2000. S. R. S. Varadhan. Large Deviations and Applications. SIAM, Philadelphia,
1984.
Ju. M. Vasiliev, I. M. Gelfand, V. I. Guelstein, and A. G. Malenkov.
Interrelationships of contacting cells in the cell complexes of mouse ascites
hepatoma. Int. J. Cancer, 1:451-462, 1966. J. J. P. Veerman. Irrational rotation numbers. Nonlinearity, 2:419-428, 1989. S. C. Venkataramani, T. M. Antonsen, E. Ott, and J. C. Sommerer. On-off
intermittency: Power spectrum and fractal properties of time series. Physica
D, 96(1-4):66-99, 1996. Sh. C. Venkataramani, Th. M. Antonsen Jr., E. Ott, and J. C. Sommerer.
Characterization of on-off intermittent time series. Phys. Lett. A, 207:
173-179, 1995.
M. D. Vieira. Chaos and synchronized chaos in an earthquake model. Phys. Rev. Lett, 82(1):201-204, 1999.
J. Volkmann, M. Joliot, A. Mogilner, A. A. Ioannides, F. Lado, E. Fazzini, U. Ribary, and R. Llinas. Central motor loop oscillations in Parkinsonian resting tremor revealed by magnetoencephalography. Neurology, 46:13591370, 1996.
E. I. Volkov and V. A. Romanov. Bifurcations in the system of two identical diffusively coupled brusselators. Phys. Scr., 51(1):19-28, 1994.
H. Voss and J. Kurths. Reconstruction of nonlinear time delay models from data by the use of optimal transformations. Phys. Lett. A, 234:336-344, 1997.
H. U. Voss. Anticipating chaotic synchronization. Phys. Rev. E, 61(5):5115- 5119, 2000.
D. Walgraef. Spatio-Temporal Pattern Formation. Springer, New York, 1997. T. J. Walker. Acoustic synchrony: Two mechanisms in the snowy tree cricket. Science, 166:891-894, 1969.
I. Waller and R. Kapral. Synchronization and chaos in coupled nonlinear
oscillators. Phys. Lett. A, 105:163-168, 1984. W. Wang, I. Z. Kiss, and J. L. Hudson. Experiments on arrays of globally-coupled chaotic electrochemical oscillators: Synchronization and clustering.
Chaos, 10(1):248-256, 2000a. W. Wang, G. Perez, and H. A. Cerdeira. Dynamical behavior of the firings in
a coupled neuronal system. Phys. Rev. E, 47(4):2893-2898, 1993. Y. Wang, D. T. W. Chik, and Z. D. Wang. Coherence resonance and
noise-induced synchronization in globally- coupled Hodgkin-Huxley neurons.
Phys. Rev. E, 61(1):740-746, 2000b. S. Watanabe and S. H. Strogatz. Integrability of a globally- coupled oscillator
array. Phys. Rev. Lett., 70(16):2391-2394, 1993. S. Watanabe and S. H. Strogatz. Constants of motion for superconducting
Josephson arrays. Physica D, 74:197-253, 1994. D. Whitmore, N. S. Foulkes, and P. Sassone-Corsi. Light acts directly- on
organs and cells in culture to set the vertebrate circadian clock. Nature,
404:87-91, 2000.
K. Wiesenfeld. Noise, coherence, and reversibility- in Josephson arrays. Phys.
Rev. B, 45(1):431-435, 1992. K. Wiesenfeld, P. Colet, and S. H. Strogatz. Synchronization transition in a
disordered Josephson series array. Phys. Rev. Lett., 76(3):404-407, 1996. K. Wiesenfeld and F. Moss. Stochastic resonance: From ice ages to crayfish
and SQUIDs. Nature, 373:33-36, 1995. K. Wiesenfeld and J. W. Swift. Averaged equations for Josephson junction
series arrays. Phys. Rev. E, 51(2):1020-1025, 1995. S. Wiggins. Global Bifurcations and Chaos (Analytical Methods). Springer,
New York, 1988.
S. Wiggins. Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos. Springer, New York, 1990.
L. A. Wilkens, D. F. Russell, X. Pei, and C. Gurgens. The paddlefish rostrum
functions as an electrosensory antenna in plankton feeding. Proc. Roy. Soc.
Lond. B, 264:1723-1729, 1997. A. T. Winfree. Biological rhythms and the behavior of populations of coupled
oscillators. J. Theor. Biol., 16:15-42, 1967. A. T. Winfree. The Geometry of Biological Time. Springer, New York, 1980. H. G. Winful and L. Rahman. Synchronized chaos and spatiotemporal chaos
in arrays of coupled lasers. Phys. Rev. Lett., 65:1575-1578, 1990. F. Xie, G. Hu, and Z. Qu. On-off intermittency- in a coupled-map lattice
system. Phys. Rev. E, 52(2):1265, 1995.
V. Yakhot. Large-scale properties of unstable systems governed by the
Kuramoto-Sivashinski equation. Phys. Rev. A, 24:642, 1981. T. Yalcinkaya and Y.-Ch. Lai. Bifurcation to strange nonchaotic attractors.
Phys. Rev. E, 56(2):1623-1630, 1997. T. Yamada and H. Fujisaka. Stability theory of synchronized motion in
coupled-oscillator systems. II. The mapping approach. Prog. Theor. Phys.,
70(5):1240-1248, 1983. T. Yamada and H. Fujisaka. Stability theory of synchronized motion in
coupled-oscillator systems. III. Mapping model for continuous system. Prog.
Theor. Phys., 72(5):885-894, 1984. T. Yamada and H. Fujisaka. Intermittency caused by chaotic modulation.
I. Analysis with a multiplicative noise model. Prog. Theor. Phys., 76(3):
582-591, 1986.
T. Yamada and H. Fujisaka. Effect of inhomogenety on intermittent chaos in a coupled system. Phys. Lett. A, 124(8):421-425, 1987.
Y. Yamaguchi and H. Shimizu. Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noises. Physica D, 11:212-226, 1984.
H. L. Yang and E. J. Ding. Synchronization of chaotic systems and on-off
intermittency. Phys. Rev. E, 54(2):1361-1365, 1996. T. Yang and K. Bilimgut. Experimental results of strange nonchaotic
phenomenon in a second-order quasi-periodic forced electronic circuit. Phys.
Lett. A, 236(5-6):494-504, 1997. A. R. Yehia, D. Jeandupeux, F. Alonso, and M. R. Guevara. Hysteresis and
bistability in the direct transition from 1:1 to 2:1 rhythm in periodically
driven ventricular cells. Chaos, 9(4):916-931, 1999. M. K. Stephen Yeung and S. H. Strogatz. Time delay in the Kuramoto model
of coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 82(3):648-651, 1999. K.-P. Yip and N.-H. Holstein-Rathlou. Chaos and non-linear phenomena in
renal vascular control. Cardiovasc. Res., 31:359-370, 1996. L. Yu, E. Ott, and Q. Chen. Transition to chaos for random dynamical systems.
Phys. Rev. Lett., 65:2935-2938, 1990. Y. H. Yu, K. Kwak, and Т. K. Lim. On-off intermittency in an experimental
synchronization process. Phys. Lett. A, 198(1):34-38, 1995. M. A. Zaks, E.-H. Park, M. G. Rosenblum, and J. Kurths. Alternating locking
ratios in imperfect phase synchronization. Phys. Rev. Lett., 82:4228-4231,
1999.
D. Zanette and A. S. Mikhailov. Condensation in globally coupled populations of chaotic dynamical systems. Phys. Rev. E, 57(1):276-281, 1998a.
D. Zanette and A. S. Mikhailov. Mutual synchronization in ensembles of globally coupled neural networks. Phys. Rev. E, 58(1):872-875, 1998b.
G. M. Zaslavsky. The simplest case of a strange attractor. Phys. Lett. A, 69(3): 145-147, 1978.
W.-Z. Zeng, M. Courtemanche, L. Sehn, A. Shrier, and L. Glass. Theoretical
computation of phase locking in embrionic atrial heart cell aggregates. J.
Theoretical Biology, 145:225-244, 1990. Z. G. Zheng, G. Hu, and B. Hu. Phase slips and phase synchronization of
coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 81(24):5318-5321, 1998. T. Zhou, F. Moss, and A. Bulsara. Simulations of a strange non-chaotic
attractor in a SQUID. In S. Vohra, M. Spano, M. Schlesinger, L. Pecora,
and W. Ditto, Editors, Proc. of the 1st Experiment. Chaos Conf, Arlington
VA, Oct. 1-3, 1991, pages 303-314. World Scientific, Singapore, 1992. Zh. Zhu and Zh. Liu. Strange nonchaotic attractors of Chua's circuit with
quasiperiodic excitation. J. Bifurc. Chaos, 7(1):227-238, 1997. L. Zonghua and C. Shigang. General method of synchronization. Phys. Rev.
E, 55(6):6651-6655, 1997a. L. Zonghua and C. Shigang. Synchronization of a conservative map. Phys.
Rev. E, 56(2):1585-1589, 1997b.
Предметный указатель
автогенератор
триодный, 25, 144, 151
электронный, 66, 68 автоколебания
вынуждаемые, 78, 96
с шумом, 113
хаотические, 186 автоколебательная система, 28, 49-71, 232, 248
слабо нелинейная, 237, 292 Адлера уравнение, 241 амплитуда, 54-59, 73, 242
комплексная, 237, 249, 293, 348, 363
мгновенная, 206, 453, 457 амплитудное уравнение, 248, 250,
293 ансамбль
вынуждаемых осцилляторов, 135
копий хаотической системы, 332
нейронов, 369
хаотических осцилляторов, 197 хаотических отображений, 410-416 аплодисменты, 176 Арнольда язык, 81, 97, 269, 303,
334, 335 аттрактор-воронка, 323
аттрактор, 53, 406
симметричный, 387, 402 случайный, 436 странный, 185-189, 402 странный нехаотический, 444 топологический, 407 хаотический, 53
Белоусова-Жаботинского реакция, 167-169, 173
биений частота, 79, 145, 244, 336
биения, 164
бифуркация вилки,403, 407 докритическая, 365, 407 закритическая, 365, 403, 404 коразмерности 2 и 3, 258 седло-узел, 244, 255, 271, 276 удвоения периода, 128, 403 хаос-хаос, 408 Хопфа, 251, 254, 256, 364
большие отклонения, 391
Ван-дер-Поля уравнение, 24, 233,
250, 455 взаимодействие
отталкивающее, 290
отталкивающее фазы, 143, 160
притягивающее фазы, 143, 160
статистическое, 423 возмущение, 53
локальное, 413
начальных условий, 188
поперечное, 387
продольное, 387 возмущений метод, 247 вращения число, 266, 272, 292, 303 время возврата, 191, 236, 325 вымирание колебаний, см. гашение колебаний
гашение колебаний, 24, 150, 295,
336, 368 генератор, 136
пилообразного напряжения, 151 Гильберта преобразование, 206, 453 Гинзбурга-Ландау комплексное
уравнение, 348, 350, 352, 422 гиперхаос, 337 гистерезис, 108, 365 гликолитические колебания, 174
Данжуа теорема, 267 данные
двухканальные, 209-213, 221
многоканальные, 217 деление частоты, 106 демодуляция, 283, 314 Джозефсона контакт, 157, 280-282, 370
динамическая система, 49
автономная, 29, 324
диссипативная, 184
неавтономная, 324
с дискретным временем, 324 диссипация, 50, 60 дефект, 350, 352
пространственно-временной, 166 дифференциальные уравнения
автономные, 186
в частных производных, 343, 348, 421
неавтономные, 186
нелинейные, 63
обыкновенные, 186, 417, 425
стохастические, 310 диффузия, 305, 349, 400, 419, 433
фазы, 113, 192, 305 Дуффинга осциллятор, 454 дыхание, 85, 113, 146, 177, 206
захват мод, 151
частот, 32, 77-82, 97, 141, 193,
210, 243, 327 фаз, 35, 77-82, 100, 142, 193, 243
изохрона, 235-238 импульсная сила, 264 импульсов последовательность, 93-99
инвариантная кривая, 261, 273, 278
Каплана-Йорке формула, 439, 444 Кардара-Паризи-Жанга уравнение, 346, 350
кластер, 42, 161, 164, 173, 197, 202, 342, 362, 366, 415
в цепочке осцилляторов, 340 клеточный автомат, 423 когерентность, 135, 331-333, 347,
350, 356, 357, 360, 374 колебания
возбуждаемые шумом, 131
затухающие, 454
изохронные, 238, 251
когерентные, 135, 326
коллективные, 42
неизохронные, 238, 299
противофазные, 148, 343
свободные, 37
сердечные, 120
синфазные, 148, 373
хаотические, 184
циркадные, 137 кольца отображение, 260, 273-278 корреляция взаимная, 210, 225 косая система, 389 квазипериодическая сила, 272
квазипериодическое движение, 84,
267, 269, 288, 340 Курамото модель, 371, 373 Курамото переход, 170, 197, 373 Курамото-Сивашинского
уравнение, 350, 421
лазер, 133, 136, 151, 161 взаимодействие, 198 полупроводниковый, 136 с задержанной обратной связью, 101
Ланжевена уравнение, 306, 361 Лежандра преобразование, 393, 441 Лиссажу фигура, 85, 145 локомоция, 177
Лоренца система, 185, 321, 426 взаимодействие, 198 диффузия фазы, 326 с периодической силой, 430 синхронизация внешней силой, 329
Ляпунова показатель, 59, 189, 312, 336, 387, 432, 444 в системе с шумом, 432 локальный по времени, 391 максимальный, 188 нулевой, 59, 190, 234, 279, 318 по предыстории, 442 поперечный, 388, 411, 417, 419,
420, 424, 425 продольный, 388 условный, 426
менструальный цикл, 124, 174 Милнора аттрактор, 406 Миролло-Строгатца модель, 369 многообразие
неустойчивое, 236, 274, 276, 407
устойчивое, 236, 407 модуляция, 110
хаотическая, 277
частоты, 109 мозга активность, 153, 217 мультистабильность, 159, 278, 439
накопление-сброс осциллятор, 68-71, 106-109, 151, 263, 300, 369
нейрон, 70, 132, 181, 183, 221, 369 неустойчивость
абсолютная, 414
конвективная, 414
поперечная, 407,423 Ньюэла критерий, 350
область притяжения, 53
область синхронизации, 81, 97, 99,
108, 243, 270 обобщенная синхронизация, 199,
438
обратная связь, 63, 66, 67, 101, 124, 145
окружности отображение, 96, 261-274, 289, 291-292, 433
обратимое, 265, 291
разрывное, 264, 271 окружности поворот, 262, 265, 291 органные трубы, 23 осциллятор
автономный, 50, 73
взаимодействие, 141
квазилинейный, 54, 73-85
линейный, 454
на соляном растворе, 178
слабо нелинейный, 248
хаотический, 42,184-190, 318
химический, 173
циркадный, 123
электрохимический, 201 отображение
кольца, см. кольца отображение
логистическое, 382, 388, 445
одномерное, 382
окружности, см. окружности отображение
разрывное, 264
с шумом, 433
сброса, 301
связанные, 382
типа косой тент, 384, 397, 425
типа тент, 382
перемежаемость, 278, 354
модуляционная, 386, 392, 421, 437
перемешивание, 189, 193
перепад фазовый, 352
переустановка фазы, 93
переход к синхронизации, 82, 246, 254-257, 357, 385, 387
переход к хаосу, 128
период, 29, 30, 54, 233 средний, 113, 192 топологический, 319, 335 хаотических колебаний, 191
периодическая траектория, 267, 318, 335
подавление колебаний, 73, 128
полная синхронизация, 45, 197-198
популяция
клеток, 174, 179
осцилляторов с шумом, 360, 364
связанных осцилляторов, 27, 140, 355, 360 порог синхронизации, 360, 385,
388-390 порядка функция, 366 порядка параметр, 357, 367 потенциал
бистабильный, 133
действия, 70, 130, 153
наклонный, 75, 306
U-образный, 57 потенциальный барьер, 114, 307 поток специальный, 320 предельный цикл, 51-54, 233-236 профиль амплитуды, 166 профиль фазы, 166, 346, 350 проскок фазы, 82, 115, 117, 157, 307, 335
противофазная синхронизация, 22, 35, 142, 143, 159, 160, 290, 297
Пуанкаре отображение, 90, 191, 236, 319, 325
размерность, 52 ляпуновская, 439
обобщенная, 441 фрактальная, 270 разность фаз, 74, 81, 100, 241, 289, 460
обобщенная, 213 циклическая, 216, 222, 225 расплывшееся состояние, 373 распределение
автономных частот, 172, 356, 364,
367, 368, 376 локальных по времени
показателей Ляпунова, 391 фаз, 119, 226, 358, 362 циклической разности фаз, 156 расстройка, 32, 73, 94, 142, 241, 265,
293, 310, 335 реакции-диффузии уравнения, 419 резонанс, 37, 130
резонансное условие, 240, 241, 289 релаксационный осциллятор, 45, 59, 67-71, 73, 299-303 взаимодействие, 151 с внешней силой, 102-112 репеллер, 53 решетка двумерная, 163 Рёсслера система, 320, 327, 335-336, 375
ридлинг, 407 ритм, 28
дыхания, 85, 179
сердечный, 106, 119, 220
суточной активности, 51
физиологический,51, 71 ротатор, 157-159, 279-282, 365
ансамбль глобально связанных, 371
светлячок, 91-93
связи функция, 366
связи оператор
собственные значения, 415 спектр, 411
связь, 22, 30
асимметричная, 287, 414 ближайших соседей, 339, 414 глобальная, 170-176, 201, 375, 415
диссипативная, 297, 382, 415
диффузионная, 293, 336, 420
задержанная, 148
линейная, 383, 410
линейный оператор, 382
непосредственная, 293
однонаправленная, 40, 41, 105, 199, 316, 412, 438
реактивная, 297, 299, 349, 368
симметричная,290, 383
управление-подчинение, 200 сердечно-сосудистой и дыхательной
систем взаимодействие, 220 сердце, 50, 70, 104, 152
частота биений, 146, 224, 459 сигнал
нестационарный, 455
аналитический, 453 сила
гармоническая, 73
квазипериодическая, 444
флуктуирующая, 131, 305, 388
хаотическая, 437 симметрия, 201, 395, 438 синоатриальный узел, 104, 152 синфазная синхронизация, 35, 142,
143, 159, 160, 290, 297 синхрограмма, 219 синхронизация
взаимная,22, 141,287-303, 315, 327
глобально связанных
осцилляторов, 175 порядка п :т, 97, 99, 106, 211 ротаторов, 157, 158 сердцебиений, дыхания и
локомоции, 178 сильная, 404
системы и ее копии, 201, 425, 439
слабая, 404, 416
управление-подчинение, 201
через подавление хаоса, 202, 430 случайное блуждание, 113, 192,
212, 305, 313 спайк, 70, 109, 131 спектр
особенностей, 440
пространственный, 346 спектр мощности, 202, 257, 306, 314, 331, 333
взаимный, 210, 213, 225 спиральная волна, 167, 169, 351 среднее поле, 171, 332, 357, 360, 375
хаотическое, 368
комплексное, 356 стохастический резонанс, 131-134 стробоскоп фазовый, 148, 218 стробоскопический метод, 196, 226,
236, 262, 328 стробоскопическое отображение, 261
термодинамический предел, 356,
362, 374, 414 тор, 261, 342, 444
инвариантный, 274, 288 точечный процесс, 91 турбулентность
фазовая, 350
узел, 277
усилитель, 66, 145, 412 усреднения метод, 250, 292, 348,371 устойчивость, 56, 60, 189, 386
асимптотическая, 76, 234, 428
нейтральная,73
поперечная, 387
топологическая, 270
фаза, 33, 54-59, 63, 233
мгновенная, 206, 453, 457
начальная, 55
оценка по сигналу, 204-208
плохо определенная, 323
развернутая, 219, 460
хаотических колебаний, 190
циклическая, 55, 218 фазовая когерентность, 326, 350 фазовая плоскость, 53 фазовая синхронизация, 42,
192-197, 375 фазовое пространство, 52, 233
283-285, 314,315 фазовый объем, 61 фазовый переход, 357, 360, 364
неравновесный, 401 фазовый портрет, 52 фазовый сдвиг, 35, 78, 81, 234 Фоккера-Планка уравнение, 309,
362, 365, 400
хаос, 108, 184, 186, 276, 382 коллективный, 368 пространственно однородный, 418, 419
пространственно-временной, 418, 421
хаотизация колебаний, 73
химическая реакция, 419 колебательная, 167, 342, 352 светочувствительная,167
хищник-жертва система, 180
Хопфа-Коула преобразование, 345
хронотерапия,123
центральный генератор ритма, 148,
160 цепочка
осцилляторов, 161,165, 197, 418, 419
слабо нелинейных, 348 связанных отображений, 414, 418 с однонаправленной связью, 413
циркадный ритм, 26, 41, 51, 67, 121-124
частота, 30, 54, 234
автономная, 30, 73, 234, 339, 356, 376
зависящая от амплитуды, 238 мгновенная, 192, 305, 325, 454, 461
наблюдаемая, 78, 141, 243, 266,
290, 327 несоизмеримая, 267, 272, 288 оценка по сигналу, 208, 461
средняя, 43, 114, 192, 197, 320-321, 335
точечного процесса, 463
угловая, 30, 54 частоты профиль, 165 часы,447
биологические, 25, 51, 138
маятниковые, 19, 30, 447-452 чертова лестница, 270, 303 численная ловушка, 394, 416, 437
Шапиро ступеньки, 282 шум, 113-119, 360, 364
гауссовский, 115, 305, 309, 346, 362
мультипликативный, 401 ограниченный, 114,308-309 узкополосный, 314
щель спектральная, 412, 413, 420
Эдвардса-Уилкинсона уравнение, 346
электрическая сеть, 157 электрокардиограмма, 205-207, 457-458
энтропийная функция, 393, 398 эпилепсия, 182, 227 эргодичность, 274, 387